北京市高考数学试卷文科解析

北京市高考数学试卷文科解析

‎2015年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分,共40分）‎ ‎1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|﹣3＜x＜2}‎ B．‎ ‎{x|﹣5＜x＜2}‎ C．‎ ‎{x|﹣3＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|﹣5＜x＜3}‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（x﹣1）2+（y﹣1）2=1‎ B．‎ B（x+1）2+（y+1）2=1‎ C．‎ ‎（x+1）2+（y+1）2=2‎ D．‎ ‎（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=x2sinx B．‎ y=x2cosx C．‎ y=|lnx|‎ D．‎ y=2﹣x ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ ‎　‎ A．‎ ‎90‎ B．‎ ‎100‎ C．‎ ‎180‎ D．‎ ‎300‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分而不必要条件 B．‎ 必要而不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6升 B．‎ ‎8升 C．‎ ‎10升 D．‎ ‎12升 ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　　　　　；‎ ‎②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． ‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎ 98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分,共40分）‎ ‎1．（5分）（2015•北京）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|﹣3＜x＜2}‎ B．‎ ‎{x|﹣5＜x＜2}‎ C．‎ ‎{x|﹣3＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|﹣5＜x＜3}‎ 考点：‎ 交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 直接利用集合的交集的运算法则求解即可．‎ 解答：‎ 解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，‎ 则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（x﹣1）2+（y﹣1）2=1‎ B．‎ B（x+1）2+（y+1）2=1‎ C．‎ ‎（x+1）2+（y+1）2=2‎ D．‎ ‎（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ 考点：‎ 圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；直线与圆．‎ 分析：‎ 利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．‎ 解答：‎ 解：由题意知圆半径r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=x2sinx B．‎ y=x2cosx C．‎ y=|lnx|‎ D．‎ y=2﹣x 考点：‎ 函数奇偶性的判断．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．‎ 解答：‎ 解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；‎ 对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；‎ 对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；‎ 对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；‎ 故选B 点评：‎ 本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x） 关系，相等是偶函数，相反是奇函数．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　）‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ ‎　‎ A．‎ ‎90‎ B．‎ ‎100‎ C．‎ ‎180‎ D．‎ ‎300‎ 考点：‎ 分层抽样方法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；概率与统计．‎ 分析：‎ 由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，‎ 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 程序框图．菁优网版权所有 专题：‎ 图表型；算法和程序框图．‎ 分析：‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ 解答：‎ 解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q=‎ a=，k=1‎ 不满足条件a＜，a=，k=2‎ 不满足条件a＜，a=，k=3‎ 不满足条件a＜，a=，k=4‎ 满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分而不必要条件 B．‎ 必要而不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用；简易逻辑．‎ 分析：‎ 由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．‎ 解答：‎ 解：（1）；‎ ‎∴时，cos ‎=1；‎ ‎∴；‎ ‎∴∥；‎ ‎∴“”是“∥”的充分条件；‎ ‎（2）∥时，的夹角为0或π；‎ ‎∴，或﹣；‎ 即∥得不到；‎ ‎∴“”不是“∥”的必要条件；‎ ‎∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案 解答：‎ 解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，‎ 底面为正方形如图：‎ 其中PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形 ‎∴PA=1，AB=1，AD=1，‎ ‎∴PB=，PC==．‎ PD=‎ 该几何体最长棱的棱长为：‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键 ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）‎ ‎　‎ ‎6升 ‎8升 ‎10升 ‎12升 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 一次函数的性质与图象．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．‎ 解答：‎ 解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（5分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为　﹣1　．‎ 考点：‎ 复数的基本概念．菁优网版权所有 专题：‎ 数系的扩充和复数．‎ 分析：‎ 直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．‎ 解答：‎ 解：复数i（1+i）=﹣1+i，‎ 所求复数的实部为：﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•北京）2﹣3，3，log25三个数中最大数的是　log25　．‎ 考点：‎ 不等式比较大小．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．‎ 解答：‎ 解：由于0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，‎ log25＞log24=2，‎ 则三个数中最大的数为log25．‎ 故答案为：log25．‎ 点评：‎ 本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．‎ 考点：‎ 正弦定理．菁优网版权所有 专题：‎ 解三角形．‎ 分析：‎ 由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．‎ 解答：‎ 解：由正弦定理可得，‎ ‎=，‎ 即有sinB===，‎ 由b＜a，则B＜A，‎ 可得B=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=　　．‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．‎ 解答：‎ 解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），‎ 由题意可得=2，‎ 解得b=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•北京）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　7　．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ 解答：‎ 解：由z=2x+3y，得y=，‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．‎ 即A（2，1）．‎ 此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；‎ ‎②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学　．‎ 考点：‎ 两个变量的线性相关．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 根据散点图分析三位同学总成绩名次，语文、数学名次．‎ 解答：‎ 解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知 ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；‎ ‎②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；‎ 故答案为：乙；数学．‎ 点评：‎ 本题考查了对散点图的认识；属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．‎ 考点：‎ 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；‎ ‎（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2‎ ‎=sinx﹣2×‎ ‎=sinx+cosx﹣‎ ‎=2sin（x+）﹣‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==2π；‎ ‎（2）∵x∈[0，]，‎ ‎∴x+∈[，π]，‎ ‎∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，‎ ‎∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ 考点：‎ 等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求 ‎（II）由b2=a3‎ ‎=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求 解答：‎ 解：（I）设等差数列{an}的公差为d．‎ ‎∵a4﹣a3=2，所以d=2‎ ‎∵a1+a2=10，所以2a1+d=10‎ ‎∴a1=4，‎ ‎∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）‎ ‎（II）设等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵b2=a3=8，b3=a7=16，‎ ‎∴‎ ‎∴q=2，b1=4‎ ‎∴=128，而128=2n+2‎ ‎∴n=63‎ ‎∴b6与数列{an}中的第63项相等 点评：‎ 本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． ‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎ 98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 考点：‎ 相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ ‎（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．‎ ‎（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．‎ ‎（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，‎ 故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．‎ ‎（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），‎ 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．‎ ‎（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，‎ 同时购买甲和丙的概率为 ‎=0.6，‎ 同时购买甲和丁的概率为=0.1，‎ 故同时购买甲和丙的概率最大．‎ 点评：‎ 本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ 考点：‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ ‎（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；‎ ‎（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=‎ ‎，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ 点评：‎ 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；‎ ‎（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．‎ 解答：‎ 解：（1）由f（x）=‎ f'（x）=x﹣‎ 由f'（x）=0解得x=‎ f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：‎ X ‎ （o，）‎ ‎ （）‎ ‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎↑‎ 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；‎ f（x）在x=处的极小值为f（）=．‎ ‎（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．‎ 因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e 当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0‎ 所以x=是f（x）在区间（1，]上唯一零点．‎ 当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，‎ 所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ 综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ 点评：‎ 本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；‎ ‎（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；‎ ‎（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：+y2=1，‎ ‎∴a=，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的离心率e==；‎ ‎（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，‎ ‎∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），‎ ‎∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），‎ 令x=3，得M（3，2﹣y1），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM==1；‎ ‎（3）结论：直线BM与直线DE平行．‎ 证明如下：‎ 当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，‎ 又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），‎ 令x=3，则点M（3，），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM=，‎ 联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，‎ 由韦达定理，得x1+x2=‎ ‎，x1x2=，‎ ‎∵kBM﹣1=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=0，‎ ‎∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；‎ 综上所述，直线BM与直线DE平行．‎ 点评：‎ 本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；双曲线；maths；吕静；caoqz；雪狼王；cst（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2015年6月13日