人教A版文科数学课时试题及解析（30）等差数列

人教A版文科数学课时试题及解析（30）等差数列

课时作业(三十)　[第30讲　等差数列]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差为(　　)‎ A．7 B．‎6 C．3 D．2‎ ‎2． 等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝(　　)‎ A．21 B．‎28 C．32 D．35‎ ‎3． 已知数列{an}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎4． 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．‎ ‎5． 数列{an}满足a1＝1，a2＝，且＋＝(n≥2)，则an等于(　　)‎ A. B. C.n D.n－1‎ ‎6． 已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}的前15项和S15＝(　　)‎ A．10 B．15‎ C．30 D．60‎ ‎7． 在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋…＋a7，则k＝(　　)‎ A．21 B．22‎ C．23 D．24‎ ‎8． 已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于(　　)‎ A．－ B. C. D．5‎ ‎9．已知数列{an}满足an＋1＝an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝18，则log3(a5＋a7＋a9)的值为(　　)‎ A．－3 B．‎3 C．2 D．－2‎ ‎10． Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.‎ ‎11． 已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.‎ ‎12． 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________．‎ ‎13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．‎ ‎14．(10分) 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．‎ ‎15．(13分)在数列{an}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线y＝x－2上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)已知数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝an，试比较an与bn的大小．‎ ‎16．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．‎ ‎(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；‎ ‎(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．‎ 课时作业(三十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] S2＝‎2a1＋d＝4，S4＝‎4a1＋6d＝20，解得d＝3.故选C.‎ ‎2．B　[解析] 因为‎2a4＝a3＋a5，所以‎3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝‎7a4＝28.故选B.‎ ‎3．A　[解析] 由已知得a5＝，而a2＋a8＝‎2a5＝，所以cos(a2＋a8)＝－.故选A.‎ ‎4．110　[解析] 设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，解之得a1＝20，‎ d＝－2，∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] 解法1(直接法)：由＋＝(n≥2)，得数列是等差数列，其首项＝1，公差d＝－＝－1＝，∴＝1＋(n－1)·＝，则an＝，故选A.‎ 解法2(特值法)：当n＝1时，a1＝1，排除B，C；当n＝2时，＋＝，∴a3＝，排除D，故选A.‎ ‎6．C　[解析] 由a3＋a13－a8＝2，得‎2a8－a8＝2，所以a8＝2，所以S15＝＝‎15a8＝30.故选C.‎ ‎7．B　[解析] 由已知等式得(k－1)d＝，所以k－1＝21，即k＝22.故选B.‎ ‎8．B　[解析] 设的公差为d，则有＝＋4d，解得d＝，所以＝＋8d，即＝＋，解得a11＝.故选B.‎ ‎9．B　[解析] 因为{an}是等差数列，公差为1，且a2＋a4＋a6＝18，所以a5＋a7＋a9＝27，所以所求值为3.故选B.‎ ‎10．－1　[解析] 由S2＝S6，得‎2a1＋d＝‎6a1＋d解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即‎2a4＋d＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.‎ ‎11．4　[解析] 因为对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，‎ 所以an＋1－an＝a1＝，数列{an}是以a1＝为首项，公差为的等差数列，故a36＝＋(36－1)×＝4.‎ ‎12．405　[解析] 由⇒所以an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n，数列{bn}的前9项和为S9＝×9＝405.‎ ‎13．3　[解析] 由题意知：an＋an＋1＝5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，a18＝3.‎ ‎14．[解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.‎ 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.‎ 解得d＝－2.‎ 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.‎ ‎(2)由(1)可知an＝3－2n.‎ 所以Sn＝＝2n－n2.‎ 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.‎ 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.‎ 又k∈N*，故k＝7为所求．‎ ‎15．[解答] (1)因为点(，)在直线y＝x－2上，‎ 所以＝＋2，即数列{}是以＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列．‎ 所以＝2＋2(n－1)＝2n，‎ 所以an＝4n2.‎ ‎(2)方法一：因为b1＋b2＋…＋bn＝an，所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4，‎ 当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．所以bn＝8n－4，‎ 所以an－bn＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，所以an≥bn.‎ 方法二：由b1＋b2＋…＋bn＝an得，an－bn＝an－1＝‎ ‎4(n－1)2≥0，所以an≥bn.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，‎ 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.‎ 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.‎ ‎(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：‎ 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得：‎ a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，‎ a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．‎ 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，‎ 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.‎ 于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.‎ 这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．‎