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文档介绍
2015届高考数学二轮专题训练:专题八 第2讲 数形结合思想
第2讲 数形结合思想 1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解. 热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014·山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 答案 B 解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为(,1). 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. 设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 解得b=4,c=2,∴f(x)= 作出函数y=f(x)及y=x的函数图象如图所示, 由图可得交点有3个. 热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若f (1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是________. (2)若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是________. 答案 (1)(-1,0)∪(0,1) (2) 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1). (2)作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图,依题意知应有2a≤2-2a, 故a≤. 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (1)设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使A⊆B成立的实数m的取值范围是__________. (2)若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=________. 答案 (1)[-1,+∞) (2) 解析 (1)集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A⊆B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有=1,又m>0, 所以m=-1, 故m的取值范围是m≥-1. (2)令y1=, y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,因≤k(x+2)-的解集为[a,b]且b-a=2. 结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2). 又因为点(-2,-)在直线上, 所以k==. 热点三 利用数形结合思想解最值问题 例3 (1)已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y +1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________. (2)已知点P(x,y)的坐标x,y满足则x2+y2-6x+9的取值范围是( ) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16] 答案 (1)2 (2)B 解析 (1)从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值, 此时|PC|==3, 从而|PA|==2. 所以(S四边形PACB)min =2××|PA|×|AC|=2. (2)画出可行域如图,所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方,由图形知最小值为Q到射线x-y-1=0(x≥0)的距离d的平方,最大值为|QA|2=16. ∵d2=()2=()2=2. ∴取值范围是[2,16]. 思维升华 (1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值. (2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解. (1)(2013·重庆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 (2)若实数x、y满足则的最小值是____. 答案 (1)B (2)2 解析 (1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B. (2)可行域如图所示. 又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. 由图知,过点A的直线OA的斜率最小. 联立得A(1,2), 所以kOA==2.所以的最小值为2. 1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直线的距离公式等. 真题感悟 1.(2013·重庆)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. 答案 A 解析 设P(x,0),设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2|==5. 而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-4. 2.(2014·江西)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( ) A.π B.π C.(6-2)π D.π 答案 A 解析 ∵∠AOB=90°,∴点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D, 则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离, ∴点C在以O为焦点,以直线2x+y-4=0为准线的抛物线上, ∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|. 又|OD|==, ∴圆C的最小半径为, ∴圆C面积的最小值为π()2=π. 3.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D 解析 函数y=|f(x)|的图象如图. ①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立. ②当a>0时,只需在x>0时, ln(x+1)≥ax成立. 比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度. 显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立. ③当a<0时,只需在x<0时,x2-2x≥ax成立. 即a≥x-2成立,所以a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选D. 4.(2014·天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示. 由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时, 有两组不同解x1,x2, 消y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0, 且x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1,联立可得00, 且x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1,联立可得a>9, 综上知,09. 押题精练 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 A 解析 f(x)=|x+3|-|x-1|=画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.正确选项为A. 3.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________,________. 答案 [-1,1] [0,]∪[,π) 解析 如图所示,结合图形:为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角. 又kPA==-1, kPB==1,∴-1≤k≤1. 又当0≤k≤1时,0≤α≤; 当-1≤k<0时,≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0,]∪[,π). 4.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________. 答案 解析 由题意知原点O到直线x+y-2=0的距离为|OM|的最小值. 所以|OM|的最小值为=. 5.(2013·江西)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为________. 答案 - 解析 ∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤. 当∠AOB=时,S△AOB面积最大. 此时O到AB的距离d=. 设AB方程为y=k(x-)(k<0),即kx-y-k=0. 由d==得k=-. 6.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值; (2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围. 解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞), (1)f′(x)=3ax2-3a⇒f′(1)=0, g′(x)=2bx-⇒g′(1)=2b-1, 依题意得2b-1=0,所以b=. (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x-<0,即g(x)在(0,1)上单调递减, x∈(1,+∞)时,g′(x)=x->0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=; 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 当a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减, x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-1,0)上单调递增, 所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(1)所示, 从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解. 当a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-1)上单调递增, x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(2)所示, 从图(2)看出,若方程F(x)=a2有四个解,则查看更多
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