2020-2021学年初三数学上册同步练习:二次函数y=a(x减h)2加k
2020-2021 学年初三数学上册同步练习:二次函数 y=a(x-h)2+k
1.不论 m 取任何实数,抛物线 y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( )
A.在 y=x 直线上 B.在直线 y=-x 上
C.在 x 轴上 D.在 y 轴上
【答案】B
【解析】【分析】
直接利用配方法可求顶点坐标为(-m,m),即可判断顶点所在直线.
【详解】
∵抛物线的解析式为 y=a(x+m)2+m(a≠0),
∴顶点坐标为(-m,m),
∴顶点在直线 y=-x 上.
故选 B.
【点评】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法.熟练掌握二次函数解析式顶点式:y=a(x-h)
2+k 的表达形式是解题关键.
2.若所求的二次函数图象与抛物线 2241yxx 有相同的顶点,并且在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而
增大,在对称轴的右侧, 随 的增大而减小,则所求二次函数的解析式为( )
A. 2 25y x x B. 2 2 3( 0)y ax ax a a
C. 2245yxx D. 2 23(0)yaxaxaa
【答案】D
【解析】【分析】
先求解 2y 2 4 1xx 的顶点,则所求二次函数的顶点可知;再由增减性可判断所求二次函数的开口方向,
由顶点和开口方向可进行判断.
【详解】
由二次函数顶点公式求解 22 4 1y x x 顶点:
4x124
b
a
,
24816y348
acb
a
,
则顶点坐标为(1,-3),
令所求函数为 y=a(x-1)2-3,由题意可知 a<0,
展开所求函数得: 2 23(0)yaxaxaa
故选择 D.
【点评】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键.
3.若二次函数 2 6yxmx 配方后为 22y x k ( ) ,则 m,k 的值分别为
A.0,6 B.0,2
C.4,6 D.4,2
【答案】D
【解析】∵ 2 2 22 4 4 4 4y x k x x k x x k ( ) ( ),
,
∴ 224 4 6x x k x mx ( ) ,
∴-4=-m,4+k=6,
∴m=4,k=2.
故选 D.
4.已知 y=ax2+k 的图象上有三点 A(-3,y1),B(1,y2),C(2,y3),且 y2
0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
【答案】A
【解析】∵点 A(-3,y1), B(1,y2), C(2,y3)在抛物线 y=ax2+k 上,
∴y1=a•(-3)2+k=9a+k,y2=a•12+k=a+k,y3=a•22+k=4a+k,
∵y2<y3<y1,
∴a+k<4a+k<9a+k,
∴a>0.
故选 A.
5.在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=a(x+c)2 的图象大致为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项 A,由图象可知二次函数开口向下,可得 a<0,对称轴在 y 轴的右侧,可得 c<0;一次函数
经过一、二、三象限,可得 a>0,c>0,所以 A 选项错误;选项 B,由图象可知二次函数开口向下,可得
a<0,对称轴在 y 轴的左侧,可得 c>0;一次函数经过一、二、四象限,可得 a>0,c>0,所以 B 选项正
确;选项 C,由图象可知二次函数开口向上,可得 a>0,对称轴在 y 轴的左侧,可得 c>0;一次函数经过
一、三、四象限,可得 a>0,c<0,所以 C 选项错误;选项 C,由图象可知二次函数开口向上,可得 a>0,
对称轴在 y 轴的右侧,可得 c<0;一次函数经过一、二、四象限,可得 a>0,c>0,所以 D 选项错误;故
选 B.
【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质,所用到的知识点:二次函数和一次函数的常数项
是图象与 y 轴交点的纵坐标;一次函数的一次项系数大于 0,图象经过一、三象限;小于 0,经过二、四象
限;二次函数的二次项系数大于 0,图象开口向上;二次项系数小于 0,图象开口向下.
6.若一个函数图象的对称轴是 y 轴,则该函数称为偶函数.那么在下列四个函数:
①y=2x;②y= 6
x
;③y=x2;④y=(x﹣1)2+2 中,属于偶函数的是______(只填序号).
【答案】③
【解析】①y=2x,是正比例函数,函数图象的对称轴不是 y 轴,错误;
②y= 6
x
是反比例函数,函数图象的对称轴不是 y 轴,错误;
③y=x2 是抛物线,对称轴是 y 轴,是偶函数,正确;
④y=(x﹣1)2+2 对称轴是 x=1,错误.
故答案为③.
7.若函数 2211()2
mmymx 是二次函数,则 m=______.
【答案】-1
【解析】解:由二次函数的定义可知:
2
1 02
212
m
mm
,解得:m=-1.故答案为:-1.
【点评】本题考查二次函数的定义,要注意二次项系数不等于 0 的条件不能漏.
8.将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______;
将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕原点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______.
【答案】y=2(x+1)2+1 y=2(x﹣1)2﹣1
【解析】(1)∵将抛物线绕其顶点旋转 180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同,只有开口方
向变了,
∴将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为: 22(1)1yx ;
(2)∵抛物线绕原点旋转 180°后,新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称,新抛物线
对称轴和原抛物线的对称轴关于 y 轴对称,开口方向和原来开口方向相反,
∴将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕原点旋转 180°后得到的新抛物线的解析式为: 2y2(x1)1 .
【点评】(1)抛物线 2()y a x h k 关于其顶点对称的抛物线的解析式为: 2()y a x h k ;
(2)抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式: 2()y a x h k .
9.如图,在平面直角坐标系中,点 A 是抛物线 2y = a x 3 + k 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另
一点,且 AB∥x 轴,则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 .
【答案】18。
【解析】根据二次函数的性质,抛物线 的对称轴为 x=3。
∵A 是抛物线 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另一 点,且 AB∥x 轴。
∴A,B 关于 x=3 对称。∴AB=6。
又∵△ABC 是等边三角形,∴以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 6×3=18。
10.已知二次函数 y=(x-2a)2+(a-1)(a 为常数),当 a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图
分别是当 a=-1,a=0,a=1,a=2 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是
____________________.
【答案】y=0.5x-1
【解析】【分析】
已知抛物线的顶点式,写出顶点坐标,用 x、y 代表顶点的横坐标、纵坐标,消去 a 得出 x、y 的关系式.
【详解】
解:由已知得抛物线顶点坐标为(2a,a-1),
设 x=2a①,y=a-1②,
①-②×2 ,消去 a 得,x-2y=2,
即 y= 1
2 x-1.
故答案填 y= x-1.
【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法,消元的思想.
11.已知二次函数 y=﹣ (x+1)2+2.
(1)填空:此函数图象的顶点坐标是 ;
(2)当 x 时,函数 y 的值随 x 的增大而减小;
(3)设此函数图象与 x 轴的交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,连接 AC 及 BC,试求△ ABC 的面积.
【答案】(1)(﹣1,2);(2)x>﹣1(或 x≥﹣1);( 3)3.
【解析】【分析】
(1)根据二次函数顶点式的形式解答即可;(2)根据二次函数的性质,图像的开口方向及对称轴解答即可;
(3)先求出 A、B、C 三点坐标,再求出 AB 的距离,即可求出△ ABC 的面积;
【详解】
(1)二次函数 y=﹣ 21 ( 1)2 x +2 的顶点坐标是(﹣1,2).
故答案是:(﹣1,2);
(2)因为二次函数 y=﹣ +2 的开口方向向下,且对称轴是直线 x=﹣1,
所以当 x>﹣1(或 x≥﹣1)时,函数 y 的值随 x 的增大而减小.
故答案是:x>﹣1(或 x≥﹣1);
(3)令 x=0 时,易求: y= 3
2
,
∴点 C 的坐标为(0, )即:OC=
令 y=0 时,易求:x1=1,x2=﹣3
易求:AB=4.
∴ ABC
13422S =3.
【点评】本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.