2020-2021学年初三数学上册同步练习:二次函数y=a(x减h)2加k

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2020-2021学年初三数学上册同步练习:二次函数y=a(x减h)2加k

2020-2021 学年初三数学上册同步练习:二次函数 y=a(x-h)2+k 1.不论 m 取任何实数,抛物线 y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( ) A.在 y=x 直线上 B.在直线 y=-x 上 C.在 x 轴上 D.在 y 轴上 【答案】B 【解析】【分析】 直接利用配方法可求顶点坐标为(-m,m),即可判断顶点所在直线. 【详解】 ∵抛物线的解析式为 y=a(x+m)2+m(a≠0), ∴顶点坐标为(-m,m), ∴顶点在直线 y=-x 上. 故选 B. 【点评】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法.熟练掌握二次函数解析式顶点式:y=a(x-h) 2+k 的表达形式是解题关键. 2.若所求的二次函数图象与抛物线 2241yxx 有相同的顶点,并且在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而 增大,在对称轴的右侧, 随 的增大而减小,则所求二次函数的解析式为( ) A. 2 25y x x    B. 2 2 3( 0)y ax ax a a     C. 2245yxx  D. 2 23(0)yaxaxaa 【答案】D 【解析】【分析】 先求解 2y 2 4 1xx   的顶点,则所求二次函数的顶点可知;再由增减性可判断所求二次函数的开口方向, 由顶点和开口方向可进行判断. 【详解】 由二次函数顶点公式求解 22 4 1y x x   顶点: 4x124 b a      , 24816y348 acb a  , 则顶点坐标为(1,-3), 令所求函数为 y=a(x-1)2-3,由题意可知 a<0, 展开所求函数得: 2 23(0)yaxaxaa 故选择 D. 【点评】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键. 3.若二次函数 2 6yxmx 配方后为 22y x k  ( ) ,则 m,k 的值分别为 A.0,6 B.0,2 C.4,6 D.4,2 【答案】D 【解析】∵ 2 2 22 4 4 4 4y x k x x k x x k          ( ) ( ), , ∴ 224 4 6x x k x mx     ( ) , ∴-4=-m,4+k=6, ∴m=4,k=2. 故选 D. 4.已知 y=ax2+k 的图象上有三点 A(-3,y1),B(1,y2),C(2,y3),且 y20 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0 【答案】A 【解析】∵点 A(-3,y1), B(1,y2), C(2,y3)在抛物线 y=ax2+k 上, ∴y1=a•(-3)2+k=9a+k,y2=a•12+k=a+k,y3=a•22+k=4a+k, ∵y2<y3<y1, ∴a+k<4a+k<9a+k, ∴a>0. 故选 A. 5.在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=a(x+c)2 的图象大致为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选项 A,由图象可知二次函数开口向下,可得 a<0,对称轴在 y 轴的右侧,可得 c<0;一次函数 经过一、二、三象限,可得 a>0,c>0,所以 A 选项错误;选项 B,由图象可知二次函数开口向下,可得 a<0,对称轴在 y 轴的左侧,可得 c>0;一次函数经过一、二、四象限,可得 a>0,c>0,所以 B 选项正 确;选项 C,由图象可知二次函数开口向上,可得 a>0,对称轴在 y 轴的左侧,可得 c>0;一次函数经过 一、三、四象限,可得 a>0,c<0,所以 C 选项错误;选项 C,由图象可知二次函数开口向上,可得 a>0, 对称轴在 y 轴的右侧,可得 c<0;一次函数经过一、二、四象限,可得 a>0,c>0,所以 D 选项错误;故 选 B. 【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质,所用到的知识点:二次函数和一次函数的常数项 是图象与 y 轴交点的纵坐标;一次函数的一次项系数大于 0,图象经过一、三象限;小于 0,经过二、四象 限;二次函数的二次项系数大于 0,图象开口向上;二次项系数小于 0,图象开口向下. 6.若一个函数图象的对称轴是 y 轴,则该函数称为偶函数.那么在下列四个函数: ①y=2x;②y= 6 x ;③y=x2;④y=(x﹣1)2+2 中,属于偶函数的是______(只填序号). 【答案】③ 【解析】①y=2x,是正比例函数,函数图象的对称轴不是 y 轴,错误; ②y= 6 x 是反比例函数,函数图象的对称轴不是 y 轴,错误; ③y=x2 是抛物线,对称轴是 y 轴,是偶函数,正确; ④y=(x﹣1)2+2 对称轴是 x=1,错误. 故答案为③. 7.若函数 2211()2 mmymx  是二次函数,则 m=______. 【答案】-1 【解析】解:由二次函数的定义可知: 2 1 02 212 m mm     ,解得:m=-1.故答案为:-1. 【点评】本题考查二次函数的定义,要注意二次项系数不等于 0 的条件不能漏. 8.将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______; 将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕原点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______. 【答案】y=2(x+1)2+1 y=2(x﹣1)2﹣1 【解析】(1)∵将抛物线绕其顶点旋转 180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同,只有开口方 向变了, ∴将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为: 22(1)1yx ; (2)∵抛物线绕原点旋转 180°后,新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称,新抛物线 对称轴和原抛物线的对称轴关于 y 轴对称,开口方向和原来开口方向相反, ∴将抛物线 y=﹣2(x+1)2+1 绕原点旋转 180°后得到的新抛物线的解析式为: 2y2(x1)1 . 【点评】(1)抛物线 2()y a x h k   关于其顶点对称的抛物线的解析式为: 2()y a x h k    ; (2)抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式: 2()y a x h k    . 9.如图,在平面直角坐标系中,点 A 是抛物线   2y = a x 3 + k 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另 一点,且 AB∥x 轴,则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 . 【答案】18。 【解析】根据二次函数的性质,抛物线 的对称轴为 x=3。 ∵A 是抛物线 与 y 轴的交点,点 B 是这条抛物线上的另一 点,且 AB∥x 轴。 ∴A,B 关于 x=3 对称。∴AB=6。 又∵△ABC 是等边三角形,∴以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 6×3=18。 10.已知二次函数 y=(x-2a)2+(a-1)(a 为常数),当 a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图 分别是当 a=-1,a=0,a=1,a=2 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 ____________________. 【答案】y=0.5x-1 【解析】【分析】 已知抛物线的顶点式,写出顶点坐标,用 x、y 代表顶点的横坐标、纵坐标,消去 a 得出 x、y 的关系式. 【详解】 解:由已知得抛物线顶点坐标为(2a,a-1), 设 x=2a①,y=a-1②, ①-②×2 ,消去 a 得,x-2y=2, 即 y= 1 2 x-1. 故答案填 y= x-1. 【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法,消元的思想. 11.已知二次函数 y=﹣ (x+1)2+2. (1)填空:此函数图象的顶点坐标是 ; (2)当 x 时,函数 y 的值随 x 的增大而减小; (3)设此函数图象与 x 轴的交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,连接 AC 及 BC,试求△ ABC 的面积. 【答案】(1)(﹣1,2);(2)x>﹣1(或 x≥﹣1);( 3)3. 【解析】【分析】 (1)根据二次函数顶点式的形式解答即可;(2)根据二次函数的性质,图像的开口方向及对称轴解答即可; (3)先求出 A、B、C 三点坐标,再求出 AB 的距离,即可求出△ ABC 的面积; 【详解】 (1)二次函数 y=﹣ 21 ( 1)2 x  +2 的顶点坐标是(﹣1,2). 故答案是:(﹣1,2); (2)因为二次函数 y=﹣ +2 的开口方向向下,且对称轴是直线 x=﹣1, 所以当 x>﹣1(或 x≥﹣1)时,函数 y 的值随 x 的增大而减小. 故答案是:x>﹣1(或 x≥﹣1); (3)令 x=0 时,易求: y= 3 2 , ∴点 C 的坐标为(0, )即:OC= 令 y=0 时,易求:x1=1,x2=﹣3 易求:AB=4. ∴ ABC 13422S  =3. 【点评】本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.
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