高考数学平面向量专题研究

高考数学平面向量专题研究

高考数学平面向量专题研究 ‎ 姚围有 从历届高考来看，向量题往往已经成为浙江高考数学的点睛之笔。向量作为一种既有大小又有方向的量，同时兼具代数和几何双重身份，一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算，另一方面，又可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。因此，向量是重要而基本的数学概念之一，是高中数学的重点内容之一。几乎每年都是浙江省高考数学的热点，而且题目比较新颖独特，基本以压轴题的形式出现，对学生的要求比较高，重在考查学生的能力。‎ 一、2017年浙江高考考试说明要求 ‎1.1考试内容：‎ 平面向量的基本概念，平面向量的线性运算及几何意义，平面向量的基本定理及坐标 表示，平面向量的数量积，平面向量的应用。‎ ‎1.2考试要求：‎ ‎1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向 ‎ 量、向量夹角的概念。‎ ‎2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。‎ ‎3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。‎ ‎4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。‎ ‎5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。‎ ‎6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。‎ ‎7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。‎ ‎8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直。 ‎ ‎9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。‎ 二、说明研读，地位分析 从近几年的的浙江省数学高考真题来看，一般出现在选择、填空题的压轴题的位置。对于学生的能力要求较高，体现了 “在考查基础知识的同时，注重考查能力”的高考命题原则，凸显以能力立意命题的指导思想，又考查学生对数学思想方法的理解，试题以中、高档题为主，往往成为试题的亮点。作为新高考文理不分科后的首次高考，对于平面向量的考查 仍然是高考的考查重点，仍然会以中、高档题为主，以选择题或填空题出现，但是可能题目难度略低于理科难度， ‎ 三、考情分析，总结原因 ‎3.1一模考试得失分情况分析 本次模拟试卷涉及平面向量考点有3道题，分别是选择题第7题，解答题第19题，第21题向量与解析几何的综合运用，具体各题得分情况如下：‎ 题号 知识点 平均分 标准差 难度系数 杭州市一模 选择题第7题 平面向量基本定理，三角形内心 ‎2.04（满分4分）‎ ‎2‎ ‎0.51‎ 解答题第19题 向量的坐标运算，数量积运算，函数中的最值问题 ‎9.52（满分15分）‎ ‎3.41‎ ‎0.63‎ ‎3.2本届学生存在的问题 根据学生平时学习情况和本次一模考试的得分情况，在平面向量这块内容上， 我校学生主要存在以下问题：‎ ‎（1）部分学生基础不扎实，对平面向量的基本概念、基础知识理解不够，如加减法的几何意义、向量模和夹角、投影等。如杭州市一模试题第21题中向量的加法。‎ ‎（2）平面向量的基本定理及其意义理解不够深刻，基底运算应用不够熟练。如一模题中第7题，设是的内心，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（3）向量运算几何转化意识不够，在向量运算过程中，学生不能够准确地挖掘向量运算的几何背景。‎ ‎（4）由于平面向量题基本以中、高档题为主，导致学生对向量题目产生恐惧心理，遇到向量题目不愿意动手。‎ ‎（5）向量与平面几何、函数、解析几何、不等式等其他知识的综合问题熟练程度不够，综合能力不够强。‎ 三、高考试题分析 ‎1.考查线性运算几何意义 例1.（08年理17）记，，设为平面向量，则（ ）‎ A. B.‎ C. D. ‎ 分析：本题主要考查平面向量的线性运算中模长关系的比较，平行四边形中对角线长度与边长关系的联系。‎ 解：和是以为邻边的平行四边形的对角线 ‎，可以得出答案选D.‎ ‎2.平面向量与不等式综合考查 例3．（13年理17题）设、为单位向量，非零向量，、.若、的夹角为，则的最大值等于__________.‎ 分析：该题表述简洁清晰，灵活考查了平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示，平面向量的数量积、平面向量的几何意义等知识，渗透了多种数学思想方法。‎ 解法一：直接求解 由题意得 当时，‎ 解法二：坐标法，设，，则.‎ 下同解法一。‎ 解法三：判别式法 设可得，‎ 当时，，‎ 则，故解得 解法四：几何法，如图，设，‎ D O E A B 则，‎ 当点在内时，显然；‎ 当点在外时，在中，由正弦定理知 当且仅当时，等号成立。‎ 从考后调查来看，学生通过平方再构造函数求解居多，虽然也能解题，但显然违背了向量的内涵。当然，可能也是由于这个代数式的不协调（分子是数的绝对值，分母是向量的模）造成的。其实如果学生想到把改写成，那么问题还可以这样解决。‎ 解法五：把看成一个固定向量，由平面向量的基本定理或平行四边形法则知 ‎，如图所示，的终点一定在直线上，那么比值显然在 与直线垂直时达到最大，即 例3. （2015浙理15）已知是空间单位向量，，若空间向量满足 ‎，且对于任意，‎ ‎，则 ， ， ．‎ 分析：本题与2013年高考数学向量题惊人的相似，既可以利用两边平方然后配方，求出取到最小值时的值和，但这样的处理有一定的技巧和较大的计算量。其实如果对例3有足够的理解，应该能想到例4和例3其实本质是一样的，只不过把一维定理的运用换成了二维定理。‎ 解法一（代数法）：因为，即当时，。‎ 解法二（几何法）：表示由确定的平面内的任一向量，由 设，所以当 时，，‎ 所以，即有，由勾股定理便可得到。‎ 反思：虽然两道高考题都能从代数角度予以解决，但例3的处理难度要远难于例2，笔者思考如果在复习例2时能找到问题的本质并理解它、运用它，那么相信面对例3时，应该会有足够的信心从向量的角度解决 ‎。两年高考填空的最后一题，从结构上来看貌似毫无相关性，但本质上其实都是定理的运用，只不过将向量的背景从平面转移到了空间。‎ 例4.（2017高考样卷）已知向量，，对任意t∈R，恒有，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 分析：几何背景：直线（向量所在直线）外的一点（的终点）与直线上的各点（的终点）的连线中，垂线段最短。‎ 解法一（代数法）：由恒成立得到，恒成立，所以，推出 图2‎ 解法二（几何法）：如图2，因恒成立，‎ 所以，‎ ‎（衢州一模）已知平面向量夹角为，对任意,有，则的最小值是 ‎ ‎3.平面向量数量积的最值问题 例5.（16年理15题）已知平面向量，对任意的单位向量，有 ‎，则的最大值为 ‎ 分析：本题是不等式与平面向量的综合题，难度较大，主要考查平面向量的数量积、坐标运算、绝对值不等式。‎ 解法一：（坐标法）设 则，设。‎ 两式平方相加得，‎ 即对任意的单位向量恒成立，则 解法二：由三角不等式可得，‎ 则，因此，则。‎ ‎4.平面向量基本定理与等和线考查 例6（嘉兴一模）已知任意两个向量不共线，若，，‎ ‎，,则下列结论正确的是（ ）‎ A. 三点共线 B. 三点共线 ‎ ‎ C. 三点共线 C. 三点共线 分析：本题是试题中选择题第6题，应属于较容易题，主要考查平面向量的基本定理及其推论共线定理的应用。‎ 解析：由题意易知，即。故选B。‎ 例7.（温州九校一模）已知扇环如图所示，，是扇环边界上一动点，且满足，则的取值范围是 ‎ 分析：考查平面向量的基本定理、等和线的应用，难度较大。‎ 解析：如图易知时，三点共线，作直线的平行线，与扇环交于点和相切于，所以：‎ 等和线有关结论：‎ ‎5.平面向量与解三角形综合考查 例7．（湖州一模）已知的面积是4，，点满足，过点作边所在直线的垂线，垂足分别是，则_______.‎ 分析：本题以三角形为试题背景，综合考查平面向量数量积和解三角形的应用，利用面积相等和线段比可求解，属于中档题。‎ 解析：根据解三角形面积公式可得，再根据三角形底乘高的面积公式得，，‎ 通过上式可得 又 在宁波一模和台州一模中也考查了平面向量与解三角形结合的题目，‎ ‎（宁波一模）已知三边分别为，，，且则边所对应的角 大小为_________，此时，如果，则的最大值为_________.‎ ‎（台州一模）已知不共线的平面向量，满足，. 若向量 ‎，且，，则 ．‎ 从以上几个例子，我们可以看出解决数量积的最值问题，一般是根据题目做出一个初步的判断，明确解题选择的方向：代数法还是几何法．代数法有两个方向可以考虑，第一是坐标运算；第二是纯向量的字母运算，利用数量积的定义求解．几何法就是充分挖掘平面几何图形的几何性质，结合数量积的几何意义解决．‎ 不管选择什么方法解决，都需要注重数形结合．仔细分析图形，可以有以下几种选择：第一，利用已有的坐标系或者建立适当的坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化为常见函数的最值问题，这可以使问题的难度降低.第二，利用数量积的几何意义．第三，如果数量积的最值位置可以是三点共线，则转化为代数运算．除此外，也会出现直接求解都不通的情况，这时就需要我们利用平面向量的线性运算进行转化，从纯几何角度出发，把不共线的数量积问题转化为共线的或者易求的数量积问题，从而达到解决问题的目的．一般要求所选向量的模或者向量之间的夹角确定，以相对确定的向量来表示变化向量，从而减少运算量、思维量，达到事半功倍、以静制动的效果．运用向量的分解转化，实际上是化归转化思想的运用，化未知为已知，化变化为不变，化动为静，从而使问题轻松解决．‎ 四、命题方向，复习建议 ‎4.1命题方向 对于平面向量的考查，浙江省侧重于考查学生的能力，对向量内涵的理解，通过对考试说明的研读和对浙江省历届高考向量题的分析，主要从以下几个知识点命题：‎ ‎（1）平面向量加法、减法和数乘运算及其几何意义 ‎（2）平面向量数量积的概念及其几何意义 ‎（3）平面向量的基本定理及意义，定理的一维、二维、三维形式。‎ ‎（4）平面向量与圆、解三角形结合考查，如三角形的“四心”问题、‎ ‎（5）平面向量与不等式结合考查，如等 ‎（6）平面向量常用结论的考查，如等高线、极化恒等式等。‎ 对向量的纯坐标运算的考查可能性较低，几乎不可能考查向量的坐标化运算，但坐标法作为处理平面向量问题的重要的方法还是需要在复习中注意渗透，而且 比较适合我校大部分学生的学情。 ‎ ‎4.2教学建议 ‎1.教师层面 ‎（1）习题教学。在习题教学中我们不但要重视题目的思路来源和解题过程，更要重视解题之后的深思、归纳与总结。在教师的引领下，让学生从不同的角度深入思考、逐步感悟，掌握通性通法，体会题目解法中渗透的数学思想。‎ ‎（2）高效讲评。高三复习阶段综合训练测试居多，所以试卷讲评课效率的高低对整个复习教学影响较大，讲评课不要追求面面俱到，要做到高效讲评，必须做出取舍，同时要洞察错因、暴露过程，引导学生分析和解决问题。‎ ‎（3）发挥集体力量。备课组老师要合作探究，集思广益，研究高考试题和最新的模拟题，并多和其他成员交流。根据向量考查的重点，编制向量专题复习材料，进行重点突破。‎ ‎2.学生层面 经过高三的一轮复习，学生的知识不再是零碎散乱的，而是整体串联起来，对高中数学的知识比较系统化、综合化。所以在二轮复习中，应该更要侧重于各知识点间的融会贯通。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应该做好以下几点：‎ ‎（1）继续夯实基础。根据高考考试要求，继续巩固一轮复习的成果，掌握平面向量的基本概念、基本运算、基本方法。基础概念的理解是重中之重，没有基础的支撑就会导致理解题目不到位，比如向量的数量积运算与数乘运算的区别，向量的模、夹角。‎ ‎（2）总结方法，强化练习。在学完解题方法后，要通过同类题型的强化训练才能真正熟练掌握，做到融会贯通，并尝试着从不同的角度去分析问题，掌握不同的方法。在练习中 ‎（3）解题反思，及时总结。做完题后，要特别注意解题后反思和及时总结，特别是错题、难题，对照题目解析过程，仔细思考自己是哪里没有想到，思维难点在哪里，才能得以提高。‎ 练习：‎ ‎1.（温州十校）在中，点A在OM上，点B在ON上，且，，若，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，‎ 的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.（宁波一模）过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.（金华一模）设单位向量的夹角为锐角，若对任意的 ‎，都有成立，则的最小值为 ‎ ‎5.（2016年省模拟题）设是非零向量，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎