2015高考数学人教A版本（10-7二项式定理）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（10-7二项式定理）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)‎ A．－1　　 　 B.　　 　‎ C．1　　　　 D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　Tr＋1＝Cx5－r()r＝C·ar·x5－2r 令5－2r＝3，得r＝1，∴Ca＝10，∴a＝2.‎ ‎2．(2013·山东济南一模)二项式(－)8的展开式中的常数项是(　　)‎ A．28 B．－7 ‎ C．7 D．－28‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　二项式(－)8展开式中的通项为Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－1)rC2r－8x8－，令8－＝0得r＝6，∴常数项是(－1)6＝7，故选C.‎ ‎3．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a1的值为(　　)‎ A．80 B．40 ‎ C．20 D．10‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由于x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中x－1的系数为C24＝80.‎ ‎4．在(3－2)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则xαdx＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　因为展开式一共12项，‎ 其通项公式为Tr＋1＝C·(3)11－r·(－2)r ‎＝C·311－r·(－2)r·x，r＝0,1，…，11.‎ 其中只有第4项和第10项是有理项，‎ 故概率α＝＝，∴xdx＝x|＝.‎ ‎5．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)‎ A．第11项 B．第13项 C．第18项 D．第20项 ‎[答案]　D ‎[解析]　(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.‎ ‎6．(2013·辽宁理，7)使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A．4　　　　 B．5　　　　 ‎ C．6　　　　 D．7‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　(3x＋)n展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(3x)n－rx－r＝C3n－rxn－r，若展开式中含常数项，则存在n∈N＋，r∈N，使n－r＝0，∴r＝2k，k∈N*，n＝5k.‎ 故最小的n值为5，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．(2012·沈阳市二模)若(－)n展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a的值是________．‎ ‎[答案]　±1‎ ‎[解析]　由条件知，2n＝1024，∴n＝10，二项展开式的通项Tr＋1＝C()10－r·(－)r＝(－a)r·C·x，令＝0得r＝2，∴常数项为T3＝(－a)2·C＝‎45a2＝45，∴a＝±1.‎ ‎8．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋‎2a2＋‎3a3＝________.‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　法1：令x＝－2得a0＝－1.‎ 令x＝0得27＝a0＋‎2a1＋‎4a2＋‎8a3.‎ 因此a1＋‎2a2＋‎4a3＝14.‎ ‎∵C(2x)3·30＝a3·x3.‎ ‎∴a3＝8.‎ ‎∴a1＋‎2a2＋‎3a3＝14－a3＝6.‎ ‎∴a0＋a1＋‎2a2＋‎3a3＝－1＋6＝5.‎ 法2：由于2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3‎ ‎＝8(x＋2)3－‎4C(x＋2)2＋‎2C(x＋2)－1，‎ 故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.‎ 故a0＋a1＋‎2a2＋‎3a3＝－1＋6－24＋24＝5.‎ ‎9．若a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式(a＋)8展开式中含x项的系数是________．‎ ‎[答案]　1792‎ ‎[解析]　a＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝2.‎ ‎∵(2＋)8展开式的通项公式为 Tr＋1＝C(2)8－r·()r＝28－r·C·x4－，‎ 令4－＝1得，r＝2，∴T3＝26·Cx＝1792x，‎ 故所求系数为1792.‎ ‎10．(2013·深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式(－)6展开式的常数项，则a‎3a7＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　(－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·()6－r·(－)r＝C·(－)r·x3－.令3－＝0得r＝2，因此(－)6的展开式中的常数项是C·(－)2＝，即有a5＝，‎ a‎3a7＝(a5)2＝()2＝.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a＝7b，则m＝(　　)‎ A．5　　　　 B．6　　　　 ‎ C．7　　　　 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意可知，a＝C，b＝C，‎ 又∵‎13a＝7b，∴13·＝7·，‎ 即＝.解得m＝6.故选B.‎ ‎12．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－3 ‎ C．－2 D．－1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　因为(1＋x)5的二项展开式的通项为Cxr(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为Cx2＋ax·Cx＝(10＋‎5a)x2，所以10＋‎5a＝5，a＝－1.‎ ‎13．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，) B．[，＋∞)‎ C．(－∞，－] D．(1，＋∞)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.依题意有由此得由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)，选D.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·山东烟台质检)若(x2－)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．‎ ‎[答案]　255‎ ‎[解析]　T6＝C(x2)n－5(－)5＝－Cx2n－15，令2n－15＝1得，n＝8，‎ 令x＝1，a0＋a1＋…＋an＝(－2)8＝256，‎ 令x＝0得，a0＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＝255.‎ ‎15．设a为函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是________．‎ ‎[答案]　－192‎ ‎[解析]　y＝sinx＋cosx＝2sin的最大值为a＝2，二项式6的展开式中第r＋1项Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝2，则r＝1，∴x2项的系数为(－1)1×25×C＝－192.‎ ‎16．(2013·陕西榆林期末)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.‎ ‎[答案]　364‎ ‎[解析]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36；‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，‎ ‎∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝；‎ 令x＝0，则a0＝1，‎ ‎∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.‎ 考纲要求 ‎1．能用计数原理证明二项式定理．‎ ‎2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 补充说明 ‎1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．‎ ‎2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．‎ ‎3．求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R*)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即为所求．‎ 对于(a－bx)x(a，b∈R＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．‎ ‎4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法．‎ 备选习题 ‎1．(2013·广东江门调研)二项式(ax－)3的展开式的第二项的系数为－，则－2x2dx的值为(　　)‎ A．3 B. ‎ C．3或 D．3或－ ‎[答案]　C ‎[解析]　二项式(ax－)3的展开式的第二项为 T2＝C(ax)2(－)＝－a2x2，‎ ‎∴a2＝1，即a＝±1.‎ 则x2dx＝x3|＝，－2x2dx＝x3|＝3，故选C.‎ ‎2．(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．11 D．12‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查二项展开式的应用．‎ ‎512012＝(52－1)2012＝C522012－C522011＋C522010＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a＝12.‎ ‎3．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)‎ A．2 B．－1 ‎ C．－2 D．1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　令x＋2＝1，则x＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－2＋1)9＝－2，故选C.‎