2014高考广东（理科数学）试卷
2014·广东卷(理科数学)
1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( )
A．{0，1}B．{－1，0，2}
C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}
1．C [解析]本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．
2．[2014·广东卷] 已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝( )
A．－3＋4iB．－3－4i
C．3＋4iD．3－4i
2．D [解析]本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解．
因为(3＋4i)z＝25，
所以z＝＝＝3－4i.
3．[2014·广东卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5B．6
C．7D．8
3．B [解析]本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.
4．[2014·广东卷] 若实数k满足0
0，25－k>0.
对于双曲线－＝1，
其焦距为2＝2；
对于双曲线－＝1，
其焦距为2＝2.所以焦距相等．
5．[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
5．B [解析]本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示．设所求向量是b，若b与a成60°夹角，则根据数量积公式，只要满足＝即可，所以B选项满足题意．
6．[2014·广东卷] 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图11和图12所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
图11 图12
A．200，20B．100，20
C．200，10D．100，10
6．A [解析]本题考查统计图表的实际应用．根据图题中的图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10000×2%＝200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为2000×2%×50%＝20.
7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D [解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
8．、[2014·广东卷] 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )
A．60B．90C．120D．130
8．D [解析]本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5
的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．
当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；
当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．
故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，
即满足题意的元素个数为130.
9．[2014·广东卷] 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
9．(－∞，－3]∪[2，＋∞) [解析]本题考查绝对值不等式的解法．|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
10．、[2014·广东卷] 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
10．y＝－5x＋3 [解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.
11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
11. [解析]本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有CC种方法．故这七个数的中位数是6的概率P＝＝.
12．[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________．
12．2 [解析]本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将bcosC＋ccosB＝2b化简得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB．∵sin(B＋C)＝sinA，∴sinA＝2sinB，利用正弦定理化简得a＝2b，故＝2.
13．、[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．
13．50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，
∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，
∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝
ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.
14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
14．(1，1) [解析]本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C1的方程ρsin2θ＝cosθ化为直角坐标方程为y2＝x，将曲线C2的方程ρsinθ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由解得
故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1，1)．
15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．
图13
15．9 [解析]本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方．
∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AEF∽△CDF，∴＝＝9.
16．、[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.
17．、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30]
3
0.12
(30，35]
5
0.20
(35，40]
8
0.32
(40，45]
n1
f1
(45，50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．
18．、[2014·广东卷] 如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角DAFE的余弦值．
图14
19．、[2014·广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．、[2014·广东卷] 设函数f(x)＝，其中k<－2.
(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)；
(2)讨论函数f(x)在D上的单调性；
(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)．
