【数学】2020届一轮复习苏教版应用三角函数的性质求解参数学案

【数学】2020届一轮复习苏教版应用三角函数的性质求解参数学案

问题5应用三角函数的性质求解参数问题 一、考情分析 利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意.‎ 二、经验分享 ‎(1) 三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求；‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；‎ ‎③通过换元,转换成二次函数求值域．‎ ‎(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．‎ ‎(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．‎ ‎(4)对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎(5)求三角函数周期的方法：‎ ‎①利用周期函数的定义．‎ ‎②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(6)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ ‎(8)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0,ω>0)解析式的步骤 ‎①求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A＝,B＝.‎ ‎②求ω,确定函数的周期T,则ω＝.‎ ‎③求φ,常用方法如下：i.‎ 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．‎ ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点” (即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ 三、知识拓展 ‎1．对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．‎ ‎2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎3．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ) (ω>0,φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．‎ ‎4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ,k∈Z确定其横坐标．‎ 四、题型分析 ‎(一) 与函数最值相关的问题 ‎【例1】已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；‎ ‎（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值．‎ ‎【分析】（1）化为,可得周期,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而的最大值为 ‎,解得.‎ ‎【解析】（1）,‎ 则函数的最小正周期,‎ 根据,,得,,‎ 所以函数的单调递增区间为,．‎ ‎（2）因为,所以,则当,时,函数取得最大值0,‎ 即,解得．‎ ‎【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.‎ ‎【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在上有且只有两解，则实数的取值范围_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 所以当时， 与 只有一个交点，‎ 当时，方程解 所以要使方程在上有且只有两解，实数的取值范围 ‎(二) 根据函数单调性求参数取值范围 如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.‎ ‎【例2】已知ω＞0,函数f(x)＝sin在上单调递减,则ω的取值范围是________．‎ ‎【分析】根据y＝sinx在上递减,列出关于ω的不等式组 ‎【解析】　由＜x＜π,ω＞0得,＋＜ωx＋＜ωπ＋,‎ 又y＝sinx在上递减,所以解得≤ω≤.‎ ‎【答案】 ‎【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．‎ ‎【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，所以 ‎ ‎5． ‎ ‎(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围 ‎【例3】已知函数．‎ ‎(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;‎ ‎(2)若存在使成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出的最小值即可；‎ ‎(2)根据的范围求出的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m＝的取值范围．‎ ‎【解析】(1)首先将函数的解析式化简为：‎ ‎,又因为函数的图像关于直线对称,所以 ‎,即,又因为,所以的最小值为．‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 故． ‎ ‎【点评】对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移个单位,所得的图象关于轴对称,则的最小值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的图象向左平移个单位,得到图象关于轴对称,即,解得,又,当时, 的最小值为. ‎ ‎(四) 等式或不等式恒成立问题 在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.‎ ‎【例4】已知不等式对于恒成立,则实数的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为＝,所以原不等式等价于在恒成立．因为,所以∈,所以,故选B．‎ ‎【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上的最小值大于；若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上最大值小于．‎ ‎【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数,若对任意的实数,‎ 则：f（α）∈[﹣,0],由于使f（α）+f（β）=0,则：f（β）∈[0, ]．,‎ ‎,β=,所以：实数m的最小值是．故答案为： ‎ ‎ (五) 利用三角代换解决范围或最值问题 由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.‎ ‎【例5】已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【解析】设椭圆方程为(a＞b＞0),双曲线方程为(a＞0,b＞0),其中a＞a1,半焦距为c,于是|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|－|PF2|＝2a1,‎ 即|PF1|＝a＋a1,|PF2|＝a－a1,‎ 因为,由余弦定理：4c2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2－2(a＋a1)(a－a1)‎ 即4c2＝a2＋3a12,即 令＝2cosθ,＝2sinθ 所以 ‎【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.‎ ‎【小试牛刀】已知实数满足,则的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,可设,则=.‎ 五、迁移运用 ‎1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，‎ ‎∴φ＝,‎ ‎∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心 ‎∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，‎ ‎∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．‎ 又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．‎ 故答案为：． ‎ ‎2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为 ‎，所以满足 ，解得： ‎ ‎3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，‎ ‎∴当k＝0时，ω取得最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令＝1，，则 ‎，‎ ‎＝＝＝，m，n，k都是整数，‎ 因为，所以，‎ 所以，的最大值为.‎ ‎5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点， ， 满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不妨设， ，，得，由，得，解得.‎ ‎6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是， ， ，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以。‎ ‎7．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，若对任意的实数，‎ 则：f（α）∈[﹣，0]，‎ 由于使f（α）+f（β）=0，‎ 则：f（β）∈[0， ]．‎ ‎，‎ ‎，β=，‎ 所以：实数m的最小值是．‎ 故答案为： ‎ ‎8．【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数, ‎ 当时, , ‎ ‎,画出图形如图所示; ‎ ‎，‎ 则, ‎ 计算得出, ‎ 即的取值范围是.‎ ‎9．【江苏省横林高级中学2018届高三模拟】若函数对任意的实数且则=_______ .‎ ‎【答案】 或 ‎【解析】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为， ，则 ， 或.‎ ‎10．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数．若函数 的图象关于直线x＝2π对称，且在区间 上是单调函数，则ω的取值集合为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 是一条对称轴，‎ ‎，得，‎ 又在区间上单调，‎ ‎，得，‎ 且，得，‎ ‎，集合表示为。‎ ‎11.【2018届江苏省泰州高三12月月考】将的图像向右平移单位（）,使得平移后的图像仍过点,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将的图像向右平移单位（）得到,代入点得： ,因为,所以当时,第一个正弦值为的角,此时,故填.‎ ‎12．设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解,则 . ‎ ‎【解析】原方程可变为,如图作出函数的图象,再作直线,从图象可知函数在上递增,上递减,在 上递增,只有当时,直线与函数的图象有三个交点,,,,所以．‎ ‎13.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数在区间上单调递增 所以在区间恒成立,‎ 因为,所以在区间恒成立 所以 因为,所以 所以的取值范围是 ‎14．已知, ,且在区间有最小值,无最大值,则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以 ‎．又,所以当时,；当时, ,此时在区间内有最大值,故．‎ ‎15．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数（）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】（1）∵图象上相邻两个最高点之间的距离为，‎ ‎∴的周期为，∴且，‎ ‎∴，‎ 此时，‎ 又∵的图象与轴相切，∴且，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴当，即时， 有最大值为；‎ 当，即时， 有最小值为0.‎ ‎16．【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；‎ ‎（2）将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）设函数的周期为，由图可知，∴，即，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 上式中代入，有，得， ，‎ 即， ，‎ 又∵，∴，∴，‎ 令，解得，‎ 即的递增区间为；‎ ‎（2）经过图象变换，得到函数的解析式为，‎ 于是问题即为“存在，使得等式成立”，‎ 即在上有解，令，‎ 即在上有解，‎ 其中，‎ ‎∴，∴实数的取值范围为.‎ ‎17．已知函数.‎ ‎(1)若方程在上有解,求的取值范围;‎ ‎(2)在中, 分别是所对的边,当(1)中的取最大值且时,求的最小值.‎ ‎【答案】（1）;（2）1‎ ‎【解析】 (1= = =,‎ 因为,所以,‎ 则,‎ 因为方程在上有解,‎ 所以,则,‎ 故的取值范围是;‎ ‎(2)由(1)可得取最大值3, ,‎ 则,则,‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,‎ 当时有最小值1.‎ ‎18．【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】（Ⅰ）.‎ 因为函数的最小正周期为,且,‎ 所以,解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．.‎ 因为,‎ 所以.‎ 所以..‎ 因此,即的取值范围为.‎