【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-3函数的奇偶性及周期性学案
第3讲 函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.判断函数奇偶性的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
(3)判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(4)得出结论．
特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4．函数周期性的意义．
函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件．以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，
代入相应的函数解析式求值．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．
(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
0，且a≠1)；
(3)f(x)＝
解：(1)因为函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)因为f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝＋＝＋＝＋
＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f(x)．
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－x，
则当x＞0时，－x＜0，故
f(－x)＝x2＋x＝f(x)，
故原函数是偶函数．
函数的周期性
[典例引领]
(1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2017·高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
【解析】 (1)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.综上可知，共有4个交点．
(2)由f(x＋4)＝f(x－2)得f(x＋6)＝f(x)，
故f(x)是周期为6的函数．
所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
因为f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)．
又x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，
所以f(－1)＝6－(－1)＝6.
从而f(1)＝6，故f(919)＝6.
【答案】 (1)C (2)6
若本例(1)的条件不变，求f(x)(x∈[－2，0))的解析式．
解：当x∈[－2，0)，则0≤x＋2<2.
所以f(x＋2)＝(x＋2)3－(x＋2)，
所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋6.
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[通关练习]
1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝－，所以其周期为4，
故f(8)＝f(2×4＋0)＝f(0)＝0.
2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＝________．
解析：因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos π＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
答案：
函数性质的综合应用(高频考点)
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，
在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题．高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)函数的奇偶性与单调性相结合；
(2)函数的奇偶性与周期性相结合；
(3)函数的奇偶性与对称性相结合．
[典例引领]
角度一 函数的奇偶性与单调性相结合
(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
【解析】 因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.
【答案】 D
角度二 函数的奇偶性与周期性相结合
设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f(x)＝则f(2 019)＝________．
【解析】 设02时，f(x)＝f(x－4)，故其周期为4，f(－2 019)＝f(2 019)＝f(2 018＋1)＝f(1)＝e.
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选C.f(x)的图象如图．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.
当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．
故x∈(－1，0)∪(1，3)．
5．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，2]上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)0，则－x<0，又因为当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝ex－1＋x，综上可知，f(x)＝
答案：
8．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f(－1)＝f(1)，即－a＋1＝.①
又因为f＝f＝－a＋1，
f＝f，所以－a＋1＝.②
联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝－10.
答案： －10
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
1．(2018·平江一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 017)＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．log27
解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
所以f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)，
因为－1∈，且x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
所以f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
所以f(2 017)＝－f(－1)＝－2.
2．(2018·安徽池州模拟)奇函数f(x)满足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则
<0的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
解析：选B.由于函数f(x)是奇函数，所以<0等价于<0，由于f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上也单调递减，且f(－1)＝－f(1)＝0，所以当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)>0；当x∈(－1，0)∪(1，＋∞)时，f(x)<0，又因为在(－∞，0)上2x－1<0，在(0，＋∞)上2x－1>0，综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
3．若关于x的函数f(x)＝(t>0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．
解析：由题意，f(x)＝＝t＋，
设g(x)＝，可知g(x)是奇函数，又函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，
所以M－t＝－(N－t)，即2t＝M＋N＝4，所以t＝2.
答案：2
4．已知函数f(x)＝函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝f(x)．若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
解析：因为当x>0时，h(x)＝f(x)，所以当x>0时，h(x)＝易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，又函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即解得－2
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