2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.3 频率与概率

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.3 频率与概率

10.3 频率与概率 学习目标 1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现 实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率. 知识点一 频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性.一般地，随着试验 次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率 fn(A)估计 概率 P(A). 思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷 10 次，100 次，1 000 次，正面向上的频率与 0.5 相比， 有什么变化？ 答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近 0.5. 知识点二 随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模 拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙 特卡洛方法. 1.设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品.( × ) 2.做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 51 100.( × ) 3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × ) 4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × ) 一、频率与概率的关系 例 1 (1)下列说法一定正确的是( ) A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B.一个骰子掷一次得到 2 的概率是1 6 ，则掷 6 次一定会出现一次 2 C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.随机事件发生的概率与试验次数无关 答案 D 解析 A 错误，概率小不代表一定不发生；B 错误，概率不等同于频率；C 错误，概率是预 测，不必然出现；D 正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关. (2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下： 抽取台数 50 100 200 300 500 1 000 优等品数 40 92 192 285 478 954 ①根据表中数据分别计算 6 次试验中抽到优等品的频率； ②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？ 解 ①抽到优等品的频率分别为 0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954. ②由表中数据可估计优等品的概率约为 0.95. 反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. 跟踪训练 1 一个地区从某年起 4 年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 m 2 883 4 970 6 994 8 892 (1)计算男婴出生的频率(保留 4 位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 解 (1)计算m n 即得男婴出生的频率依次约是 0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3. (2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近 0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率 约为 0.517 3. 二、概率思想的实际应用 例 2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有 99 个白球，1 个黑球，乙箱中有 1 个白球， 99 个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪 一个箱子中取出的？ 解 甲箱中有 99 个白球，1 个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是 99 100.乙箱中有 1 个白球，99 个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 1 100.由此可见，这一白球从甲箱 中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是 从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的. 反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大. 跟踪训练 2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕 出一定数量的天鹅，如 200 只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经 过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅， 如 150 只.查看其中有记号的天鹅，设有 20 只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅 的数量. 解 设保护区中天鹅的数量为 n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕 一只， 设事件 A＝{捕到带有记号的天鹅}，则 P(A)＝200 n . 从保护区中捕出 150 只天鹅， 其中有 20 只带有记号， 由概率的定义可知 P(A)≈ 20 150. 由200 n ≈ 20 150 ，解得 n≈1 500， 所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1 500 只. 三、用随机模拟估计概率 例 3 一个袋中有 7 个大小、形状相同的小球，6 个白球，1 个红球，现任取 1 个球，若为 红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次 摸到红球的概率. 解 用 1,2,3,4,5,6 表示白球，7 表示红球，利用计算器或计算机产生 1 到 7 之间(包括 1 和 7) 取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如 下，产生 20 组随机数： 666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 114 662 就相当于做了 20 次试验，在这些数组中，前两个数字不是 7，第三个数字恰好是 7 就表示 第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是 567 和 117，共两组，因 此恰好第三次摸到红球的概率约为 2 20 ＝0.1. 反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表 一个基本事件. (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 跟踪训练 3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好 者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率. 解 利用计算机或计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，用 1,2,3,4,5,6 表示投中，用 7,8,9,0 表示未投中，这样可以体现投中的概率是 60%，因为投篮 4 次，所以每 4 个随机数 作为 1 组，例如 5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共 100 组这样的随机数，若所有数 组中没有 7,8,9,0 或只有 7,8,9,0 中的一个数的数组的个数为 n，则至少投中 3 次的概率近似 值为 n 100. 1.“某彩票的中奖概率为 1 1 000 ”意味着( ) A.买 1 000 张彩票就一定能中奖 B.买 1 000 张彩票中一次奖 C.买 1 000 张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性是 1 1 000 答案 D 2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( ) A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法 答案 B 解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数. 3.某医院治疗一种疾病的治愈率为1 5 ，那么，前 4 个病人都没有治愈，第 5 个病人被治愈的 概率是( ) A.1 B.1 5 C.4 5 D.0 答案 B 解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第 5 个人被治愈的概率仍为1 5. 4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟的方法估计这三 天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生 0 到 9 之间的取整数值的随机数，如果我们用 1,2,3,4 表示下雨，用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨，顺次产生的随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 631 257 393 027 556 488 730 113 137 989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为( ) A.13 20 B. 7 20 C. 9 20 D.11 20 答案 B 解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数，在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共 7 组随机数，∴ 所求概率为 7 20. 5.在一次掷硬币试验中，掷 100 次，其中有 48 次正面朝上，设反面朝上为事件 A，则事件 A 出现的频率为________. 答案 0.52 解析 100－48 100 ＝0.52. 1.知识清单： (1)概率与频率的关系. (2)用频率估计概率. (3)用随机模拟估计概率. 2.常见误区：频率与概率的关系易混淆. 1.气象台预测“本市明天降雨的概率是 90%”，对预测的正确理解是( ) A.本市明天将有 90%的地区降雨 B.本市明天将有 90%的时间降雨 C.明天出行不带雨具肯定会淋雨 D.明天出行不带雨具可能会淋雨 答案 D 解析 降雨概率为 90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为 90%，明天也可能不下 雨，故选 D. 2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为 80%，经调查，某市市场上的食用油 大约有 80 个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( ) A.64 个 B.6 个 C.16 个 D.8 个 答案 C 解析 80×(1－80%)＝16. 3.给出下列 3 种说法： ①设有一大批产品，已知其次品率为 0.1，则从中任取 100 件，必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3 7 ； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确. 4.某种心脏手术，成功率为 0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率； 先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3 表示手术不成功，4,5,6,7,8,9 表示手术成功；再以每 3 个随机数为一组，作为 3 例手术的结 果，经随机模拟产生如下 10 组随机数： 812,832,569,683,271,989,730,537,925,907 由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 答案 A 解析 由 10 组随机数知，3 个随机数都在 4～9 中的有 569,989 两组，故所求的概率为 P＝ 2 10 ＝0.2. 5.从一批电视机中随机抽出 10 台进行检验，其中有 1 台次品，则关于这批电视机，下列说 法正确的是( ) A.次品率小于 10% B.次品率大于 10% C.次品率等于 10% D.次品率接近 10% 答案 D 解析 抽出的样本中次品的频率为 1 10 ，即 10%，所以样本中次品率大约为 10%，所以总体 中次品率大约为 10%. 6.已知随机事件 A 发生的频率是 0.02，事件 A 出现了 10 次，那么共进行了________次试验. 答案 500 解析 设进行了 n 次试验，则有10 n ＝0.02，得 n＝500，故进行了 500 次试验. 7.从一堆苹果中任取了 20 个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下： 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中，质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的________%. 答案 70 解析 计算出样本中质量不小于 120 克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于 120 克的苹果所占的比例，由题意知10＋3＋1 20 ＝0.7＝70%. 8.在用随机数(整数)模拟“有 4 个男生和 5 个女生，从中抽选 4 个，并选出 2 个男生 2 个女 生”的概率时，可让计算机产生 1～9 的随机整数，并且 1～4 代表男生，用 5～9 代表女生. 因为是选出 4 个，所以每 4 个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表 的含义是________________. 答案 选出的 4 人中，只有 1 个男生 解析 用 1～4 代表男生，用 5～9 代表女生，4678 表示 1 个男生 3 个女生. 9.在一个不透明的袋中有大小相同的 4 个小球，其中有 2 个白球，1 个红球，1 个蓝球，每 次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据： 摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300 出现红球的频数 2 20 27 36 50 出现红球的频率 30% 26% 24% (1)请将表中数据补充完整； (2)如果按照此方法再摸球 300 次，所得频率与表格中摸球 300 次对应的频率一定一样吗？ 为什么？ (3)试估计红球出现的概率. 解 (1)频数分别是 15,65,72；频率分别是 20%,25%,27%,24%,25%. (2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化. (3)频率集中在 25%附近，所以可估计概率为 0.25. 10.如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行 调查，调查结果如下表： 所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择 L1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率. 解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人，故由调查结果得频率为 所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择 L1 的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择 L2 的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1 11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000 个鱼卵能孵出 8 513 尾鱼苗，根据概率的统 计定义，这种鱼卵的孵化概率( ) A.约为 0.851 3 B.必为 0.851 3 C.再孵一次仍为 0.851 3 D.不确定 答案 A 解析 这种鱼卵的孵化频率为 8 513 10 000 ＝0.851 3， 它近似的为孵化的概率. 12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳 出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲 公司有 100 辆桑塔纳出租车，3 000 辆帕萨特出租车，乙公司有 3 000 辆桑塔纳出租车，100 辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( ) A.甲公司 B.乙公司 C.甲或乙公司均可 D.以上都对 答案 B 解析 由于甲公司桑塔纳的比例为 100 100＋3 000 ＝ 1 31 ， 乙公司桑塔纳的比例为 3 000 3 000＋100 ＝30 31 ， 可知肇事车在乙公司的可能性大些. 13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事 件的概率最大( ) A.至少一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都是正面向上 D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上 答案 A 解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少 有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大. 14.通过模拟试验产生了 20 组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰好有三个数在 1,2,3,4,5,6 中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击 中目标的概率约为________. 答案 0.25 解析 表示三次击中目标分别是 3013,2604,5725,6576,6754，共 5 组数，而随机数总共 20 组， 所以所求的概率近似为 5 20 ＝0.25. 15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( ) A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于 7 则甲胜，否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 答案 ACD 解析 对于 A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是1 2 ，游戏是公平的；对于 B，点数之和大于 7 和点数之和小于 7 的概率相等，但点数等于 7 时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平. 16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘 A，B.转盘 A 被平均分成 3 等份，分别标上 1,2,3 三个数字；转盘 B 被平均分成 4 等份，分别标上 3,4,5,6 四个数字.有人为甲、乙两人设 计了一个游戏规则：自由转动转盘 A 与 B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指 的两个数字相加，如果和是 6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如 果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？ 解 列表如下： B A 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，等可能的结果有 12 种，和为 6 的结果只有 3 种. 因为 P(和为 6)＝ 3 12 ＝1 4 ，所以甲、乙获胜的概率不相等. 所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是 6 或 7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游 戏规则是公平的.