高考数学复习 17-18版 第3章 第12课 不等关系与不等式
第三章 不等式
第12课 不等关系与不等式
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
不等式的性质
√
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a
b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则a.(双向性)
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________．(填序号)
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
①③ [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]
3．已知a<0，－1ab2>a [由－1ab2>a.]
4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x满足的不等关系__________________．
[三边分别缩短x个单位长度后，三边分别为15－x,19－x,23－x个单位长度，由题意可知，构成钝角三角形需满足]
5．(2017·吉林长春二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是________．(填序号)
①a2>b2；
②>1；
③2a>2b；
④lg(a－b)>0.
③ [取a＝－1，b＝－2，排除①，②，④.]
比较两个数(式)的大小
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是________．
(2)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为________.
【导学号：62172069】
(1)c≥b>a (2)a>b>c [(1)由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0得c≥b.
又由得b＝1＋a2.
又b－a＝1＋a2－a＝2＋>0，
故b>a.
∴c≥b>a.
(2)令f(x)＝ln x，则a，b，c可以看作点(3，ln 3)，(4，ln 4)，(5，ln 5)与原点连线的斜率．
显然a>b>c.]
[规律方法] 比较大小的两类方法：
[变式训练1] 已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为________．
m>n [m－n＝(x＋1)－(x2＋x＋1)＝>0.
∴m>n.]
不等式的性质
若＜＜0，给出下列不等式：
①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.
其中正确的不等式是________．(填序号)
①③ [法一：由＜＜0，可知b＜a＜0.
①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.
故＜，故①正确．
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误．
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，所以a－＞b－，故③正确．
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．
由以上分析，知①③正确．
法二：因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；
因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．
综上，可知①③正确．]
[规律方法] 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证 ；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
[变式训练2] 若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中能成立的命题为________．
②③④ [∵a＞0＞b，c＜d＜0，
∴ad＜0，bc＞0，则ad＜bc，①错误．
由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0，又－c＞－d＞0，
因此a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0，
∴＋＝＜0，故②正确．
显然a－c＞b－d，∴③正确．
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴④正确．]
不等式的应用
设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 【导学号：62172070】
[5,10] [法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.
法二：由得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.]
[规律方法] 由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向可乘的性质求得F(x，y)的取值范围．
[变式训练3] 已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，则f(3)的取值范围为________．
[－1,20] [法一：∵f(x)＝ax2－c，
∴
∴
∴f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
又－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，
∴－1≤f(3)≤20，
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
法二：设f(3)＝λf(1)＋μf(2)，
∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)，
∴解得
∴f(3)＝－f(1)＋f(2)．
又－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，
∴－1≤f(3)≤20，
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．]
[思想与方法]
1．倒数性质，若ab>0，则a>b⇔<.
2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．
4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．
[易错与防范]
1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．
3．利用作商法比较大小时，要注意两代数式的符号．
课时分层训练(十二)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N
的大小关系是________．
M>N [M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0，
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M>N.]
2．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________．
[∵α∈，∴2α∈(0，π)．
又β∈，∴∈，－∈，
∴2α－∈.]
3．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________________. 【导学号：62172071】
[设矩形的宽为x m，面积为S m2，根据题意得S＝x(30－2x)≥216,0＜30－2x≤18，∴]
4．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连结)
z>y>x [∵a>b>c>0，
∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2
＝2c(a－b)>0，
则y2>x2，即y>x.
同理可证z>y.
∴z>y>x.]
5．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的________条件．
充分不必要 [因为a＋－＝，若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a
>b>1不成立，所以必要性不成立．]
6．(2016·北京高考改编)已知x，y∈R，且x>y>0，则下列不等关系正确的是________．(填序号)
①－>0； ②sin x－sin y>0；
③x－y<0; ④ln x＋ln y>0.
③ [函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0⇒<⇒－<0，故①错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故②错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故④错误．]
7．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是________．
①②③ [由a＞b＞1，c＜0得，＜，＞；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．]
8．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是________.
【导学号：62172072】
(－∞，－1) [∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，
当a＞0时，b2＞1＞b，
即解得b＜－1；
当a＜0时，b2＜1＜b，
即无解．
综上可得b＜－1.]
9．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
27 [将4≤≤9两边平方，得16≤≤81.①
由3≤xy2≤8，得≤≤.②
由①②，得2≤≤27，即的最大值是27.]
10．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是__________________．
＋≥＋ [＋－
＝＋
＝(a－b)
＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，a2b2＞0，
∴≥0，
∴＋≥＋.]
二、解答题
11．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，
∴0＜＜.
又∵e＜0，∴＞.
12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“
你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 【导学号：62172073】
[解] 设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设[x]表示不超过x的最大整数，x，y满足方程组如果x不是整数，那么x＋y的取值范围是________．
(93,94) [化为：
解得[x]＝20，y＝73.
∵x不是整数，∴20
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