高中数学必修1公开课教案3_2_1 几类不同增长的函数模型 第2课时

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高中数学必修1公开课教案3_2_1 几类不同增长的函数模型 第2课时

第2课时 几类不同增长的函数模型 导入新课 思路1情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他要什么.发明者说:“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g,据查,目前世界年度小麦产量为6亿吨,但不能满足发明者要求,这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.‎ 思路2直接导入 我们知道,对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①在区间(0,+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.‎ ‎②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.‎ ‎③结合函数的图象找出其交点坐标.‎ ‎④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.‎ 同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长,但它们与指数增长比起来相差甚远,因此指数增长又称“指数爆炸”.‎ 应用示例 思路1‎ 例1某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元,卖出价是每份0.30‎ 元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元?‎ 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:‎ 设摊主每天从报社买进x份,显然当x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价-付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分:①可卖出400份的20天里,收入为20·0.30x;②可卖出250份的10天里,收入为10·0.30·250;③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.‎ 解:设摊主每天从报社买进x份,显然当x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625,x∈[250,400].‎ 因函数y在[250,400]上为增函数,故当x=400时,y有最大值825元.‎ 例2某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.‎ ‎(1)写出服药后y与t之间的函数关系式;‎ ‎(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳?‎ 图3-2-1-15‎ 解:(1)依题意,得y=‎ ‎(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时,则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00;‎ 设第三次服药在第一次服药后t2小时,则此时血液中含药量应为两次服药量的和,即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时,故第三次服药应在16:00;‎ 设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次的和,(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3=13.5小时,故第四次服药应在20:30.‎ 变式训练 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间:讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强〕,x表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下的公式:‎ f(x)=‎ ‎(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?‎ ‎(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?‎ 解:(1)当087.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.‎ 点评:本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.‎ 拓展提升 探究内容 ‎①在函数应用中如何利用图象求解析式.‎ ‎②分段函数解析式的求法.‎ ‎③函数应用中的最大值、最小值问题.‎ 举例探究:(2007山东省青岛高三教学质量检测,理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业,第一批产品A上市销售40天内全部售完,该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研,结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.‎ 图3-2-1-18‎ ‎(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t 的关系式;‎ ‎(2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元?‎ 分析:1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.‎ ‎2.在t∈[0,40]上,有几个分界点,请同学们思考应分为几段.‎ ‎3.回忆函数最值的求法.‎ 解:(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0≤t≤40).‎ ‎(2)每件A产品销售利润h(t)=.‎ 该公司的日销售利润F(t)=,‎ 当0≤t≤20时,F(t)=3t(t2+8t),先判断其单调性.‎ 设0≤t1<t2≤20,则F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.‎ ‎∴F(t)在[0,20]上为增函数.∴F(t)max=F(20)=6 000<6 300.‎ 当206 300,则
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