【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2节学案
第2节 函数的单调性与最大(小)值
最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.
知 识 梳 理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的
图像
描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.
2.函数的最值
前提
函数f(x)的定义域为D
条件
(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
[常用结论与微点提醒]
1.“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( )
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
答案 D
4.(2018·上饶模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A. B.－ C.－2 D.2
解析 易知f(x)在上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
答案 A
5.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________.
解析 二次函数的对称轴方程为x＝－，
由题意知－≥1，即a≤－2.
答案 (－∞，－2]
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1】 (1)(2018·河南中原名校质检)函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为( )
A. B. C.(－2，3) D.
解析 由－x2＋x＋6>0，得－20，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.
规律方法 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
【训练1】 (1)(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A.y＝ B.y＝cos x
C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数.
答案 D
(2)(一题多解)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.
证明 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.
证明如下：
法一 设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数.
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数.
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，
解得x>或x<－(舍).
令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B. C.2 D.4
解析 (1)∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.
∴f(x)的最小值为2－3.
(2)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，
所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，
则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，
即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.
答案 (1)0 2－3 (2)C
规律方法 求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【训练2】 (1)(2016·北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.
(2)(一题多解)(2018·石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
解析 (1)易得f(x)＝＝1＋，
当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
(2)法一 在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)图像，
依题意，h(x)的图像如图所示.
易知点A(2，1)为图像的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二 依题意，h(x)＝
当02时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
答案 (1)2 (2)1
考点三 函数单调性的应用(多维探究)
命题角度1 比较函数值或自变量的大小
【例3－1】 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
解析 由于函数f(x)的图像向左平移1个单位后得到的图像关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图像本身关于直线x＝1对称，
所以a＝f ＝f .
当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.
答案 D
命题角度2 求解函数不等式
【例3－2】 (2018·铜川模拟)设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，2]
C.[2，6] D.[2，＋∞)
解析 易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，
∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.
故实数a的取值范围是(－∞，2].
答案 B
命题角度3 求参数的值或取值范围
【例3－3】 已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
答案
规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.
2.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.
【训练3】 (1)(2018·安徽六安一中月考)已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________.
(2)(2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________.
解析 (1)∵f(x)＝x＋(a>0)的增区间为(，＋∞)和(－∞，－)，
又f(x)在(2，＋∞)上递增，∴(2，＋∞)⊆(，＋∞)，
则≤2，∴0f(－)＝f()，
因此2|a－1|<＝2，
又y＝2x是增函数，
∴|a－1|<，解得0，所以0＝b>0，c＝log2<0，∴f(a)>f(b)>f(c).
答案 B
4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
答案 D
5.已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[4，8) C.(4，8) D.(1，8)
解析 由已知可得解得4≤a<8.
答案 B
二、填空题
6.(2018·吉安模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.
解析 由题意知g(x)＝
函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的减区间是[0，1).
答案 [0，1)
7.(2018·石家庄调研)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.
解析 由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案 3
8.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.
(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，
＋∞)上是增函数.
(2)解 ∵f(x)在上的值域是，
又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f ＝，f(2)＝2，易知a＝.
10.(2018·西安月考)已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)0，2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，试确定a的取值范围.
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.
则f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
