初中几何辅助线做法大全

初中几何辅助线做法大全

- 1 - 线、角、相交线、平行线 规律 1.如果平面上有 n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共 可以画出 1 2 n(n－1)条. 规律 2.平面上的 n条直线最多可把平面分成〔 1 2 n(n+1)+1〕个部分. 规律 3.如果一条直线上有 n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 1 2 n(n－1)条. 规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B在线段 AC上，M是 AB的中点，N是 BC的中点. 求证：MN = 1 2 AC 证明：∵M是 AB的中点，N是 BC的中点 ∴AM = BM = 1 2 AB ,BN = CN = 1 2 BC ∴MN = MB+BN = 1 2 AB + 1 2 BC = 1 2 (AB + BC) ∴MN = 1 2 AC 练习：1.如图，点 C是线段 AB上的一点，M是线段 BC的中点. 求证：AM = 1 2 (AB + BC) 2.如图，点 B在线段 AC上，M是 AB的中点，N是 AC的中点. 求证：MN = 1 2 BC 3.如图，点 B在线段 AC上，N是 AC的中点，M是 BC的中点. 求证：MN = 1 2 AB 规律 5.有公共端点的 n条射线所构成的交点的个数一共有 1 2 n(n－1)个. 规律 6.如果平面内有 n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n－1）个. 规律 7. 如果平面内有 n条直线都经过同一点，则可构成 n（n－1）对对顶角. 规律 8.平面上若有 n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 1 6 n(n －1)(n－2）个. 规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o. 规律 10.平面上有 n条直线相交，最多交点的个数为 1 2 n(n－1)个. 规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的 角平分线互相垂直. NM CBA MC BA NM CBA N M CBA - 2 - 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律 13.已知 AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： 规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数. 解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ① ∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ② ①＋②得 ∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋ ∠CBE ∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， ∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C ∴∠E = 1 2 (∠A＋∠C) ∵∠A =45o,∠C =55o, ∴∠E =50o 三角形部分 1   ABC+BCD+CDE=360 E D C BA += CDEABCBCD 2  E D C BA -= CDE ABCBCD 3  E D C BA -= CDEABCBCD 4  E D C BA +=CDE ABCBCD 5  E D C BA += CDEABC BCD 6  E D C BA N M E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A - 3 - 规律 15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边 构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式 性质证题. 例：如图，已知 D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证法（一）：将 DE向两边延长，分别交 AB、AC于 M、N 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ① 在△BDM中，MB＋MD＞BD ② 在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ ①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 证法（二）延长 BD交 AC于 F，延长 CE交 BF于 G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的 量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图 P为△ABC内任一点， 求证： 1 2 (AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 规律 16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知 BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与 BD的延长 线交于 D. 求证：∠A = 2∠D 证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1,∠ABC =2∠2 ∵∠A =∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2 又∵∠D =∠1－∠2 ∴∠A =2∠D 规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90o＋ 1 2 ∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o ∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A① ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)= 180o－∠A FG N M E D C B A 2 1 C E D B A D CB A 21 - 4 - 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋ 1 2 ∠A 规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90o－ 1 2 ∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB ∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2 ∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ② ①＋②得 2（∠1＋∠2）=∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A 2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A ∴（∠1＋∠2）= 90o＋ 1 2 ∠A ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴∠BDC = 180o－(90o＋ 1 2 ∠A) ∴∠BDC = 90o－ 1 2 ∠A 规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对 值）的一半. 例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于 D， AE平分∠BAC. 求证：∠EAD = 1 2 (∠C－∠B) 证明：∵AE平分∠BAC ∴∠BAE =∠CAE = 1 2 ∠BAC ∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C) ∴∠EAC = 1 2 〔180o－(∠B＋∠C)〕 ∵AD⊥BC ∴∠DAC = 90o －∠C ∵∠EAD =∠EAC－∠DAC ∴∠EAD = 1 2 〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) = 90o－ 1 2 (∠B＋∠C)－90o＋∠C = 1 2 (∠C－∠B) 如果把 AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD = 1 2 (∠C－∠B). 21 FE D CB A E D CB A A B CD E F F E D CB A - 5 - 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌 握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处 在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长 BD交 AC于 E， ∵∠BDC是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结 AD，并延长交 BC于 F ∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 =∠2，∠3 =∠4， 求证：BE＋CF＞EF 证明：在 DA上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC 在△BDE和△NDE中， DN = DB ∠1 =∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 =∠2，∠3 =∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长 ED到 M，使 DM = DE，连结 CM、FM △BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 =∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o ∴∠FDM =∠EDF = 90o F A B C DED CB A 4 32 1 N FE D C B A M A B CD E F 1 2 3 4 5 - 6 - △EDF和△MDF中 ED = MD ∠FDM =∠EDF DF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF ∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF （此题也可加倍 FD，证法同上） 规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明：延长 AD至 E，使 DE = AD，连结 BE ∵AD为△ABC的中线 ∴BD = CD 在△ACD和△EBD中 BD = CD ∠1 =∠2 AD = ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE中有 AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 规律 24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d 例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 =∠2，P为 AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 证明：⑴截长法：在 AB上截取 AN = AC，连结 PN 在△APN和△APC中， AN = AC ∠1 =∠2 AP = AP ∴△APN≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN中有 PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵补短法：延长 AC至 M，使 AM = AB，连结 PM 在△ABP和△AMP中 AB = AM ∠1 =∠2 AP = AP 1 2 E D C B A P 1 2 N D CB A A B CD 21 P M - 7 - ∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM中有 CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC 练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点 O 求证：AC = AE＋CD 2.已知，如图，AB∥CD∠1 =∠2 ,∠3 =∠4. 求证：BC = AB＋CD 规律 25.证明两条线段相等的步骤： ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角 形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD相交于 F，∠B =∠C，∠1 =∠2，求证：DF = EF 证明：∵∠ADF =∠B＋∠3 ∠AEF =∠C＋∠4 又∵∠3 =∠4 ∠B =∠C ∴∠ADF =∠AEF 在△ADF和△AEF中 ∠ADF =∠AEF ∠1 =∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF 规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，过 A作任一条直线 AN，作 BD⊥AN于 D， CE⊥AN于 E，求证：DE = BD－CE 证明：∵∠BAC = 90o, BD⊥AN ∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 =∠3 ∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD和△CAE中， ∠BDA =∠AEC ∠2 =∠3 AB = AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD = AE且 AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE 规律 27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且 CF⊥AD于 F，BE⊥AD的延长线于 E 43 21 F ED CB A 3 21 N E D CB A 4 32 1 E D CB A - 8 - 求证：BE = CF 证明：（略） 规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD，AD⊥AC于 A，BCBD于 B 求证：AD = BC 证明：分别延长 DA、CB交于点 E ∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE =∠DBE = 90o 在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E ∴△DBE≌△CAE ∴ED = EC，EB = EA ∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC 规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD 证明：连结 AC（或 BD） ∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠1 =∠2 在△ABC和△CDA中， ∠1 =∠2 AC = CA ∠3 =∠4 ∴△ABC≌△CDA ∴AB = CD 练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF 规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”. 例：已知，如图，在 Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 =∠2 ，CE⊥BD的延长线于 E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长 BA、CE交于 F ∵BE⊥CF ∴∠BEF =∠BEC = 90o 在△BEF和△BEC中 2 1 D CB A F E O E D C BA 4 3 2 1 D CB A 2 1 E F D CB A E F D C BA - 9 - ∠1 =∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE = 1 2 CF ∵∠BAC = 90o , BE⊥CF ∴∠BAC =∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o ∠1＋∠BFC = 90o ∠BDA =∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC =∠CAF ∠BDA =∠BFC AB = AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE 练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于 D， 求证：AB－AC = 2CD 规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD相交于 O，且 AB = DC，AC = BD， 求证：∠A =∠D 证明：（连结 BC，过程略） 规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，∠A =∠D 求证：∠ABC =∠DCB 证明：分别取 AD、BC中点 N、M， 连结 NB、NM、NC（过程略） 规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离 相等证题. 例：已知，如图，∠1 =∠2 ，P为 BN上一点，且 PD⊥BC于 D，AB＋BC = 2BD， 求证：∠BAP＋∠BCP = 180o 证明：过 P作 PE⊥BA于 E ∵PD⊥BC，∠1 =∠2 ∴PE = PD O A B D C B A D C 21 D CB A - 10 - 在 Rt△BPE和 Rt△BPD中 BP = BP PE = PD ∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD ∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90o 在△PEA和△PDC中 PE = PD ∠PEB =∠PDC AE =CD ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB =∠EAP ∵∠BAP＋∠EAP = 180o ∴∠BAP＋∠BCP = 180o 练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于 P， PD⊥BM于 M，PF⊥BN于 F，求证：BP为∠MBN的平分线 2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分线，D是 AC 上一点，若∠CBD = 20o，求∠CED的度数。 规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于 D， 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC的平分线 AE，交 BC于 E，则∠1 =∠2 = 1 2 ∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 =∠DBC F M N P B A D C E D C B A 21 E D CB A N P E D C B A 2 1 - 11 - ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过 A作 AE⊥BC于 E（过程略） （方法三）取 BC中点 E，连结 AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为 BC中点，DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F， 求证：DE = DF 证明：连结 AD. ∵D为 BC中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使 AE = AF，求 证：EF⊥BC 证明：延长 BE到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC ∴∠B =∠ACB,∠ACN =∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF =∠AFE 又∵∠BAC =∠AEF ＋∠AFE ∠BAC =∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF =∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在 AB上，E在 AC延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC于 F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过 D作 DN∥AE，交 BC于 N，则∠DNB =∠ACB，∠NDE =∠E， ∵AB = AC， ∴∠B =∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 =∠2 ∠NDF =∠E FE D CB A N F E CB A 2 1 N F E D CB A 2 1 MF E D CB A - 12 - DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）过 E作 EM∥AB交 BC延长线于 M,则∠EMB =∠B（过程略） ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在 AC上，D在 BA延长线上，且 AD = AE，连结 DE 求证：DE⊥BC 证明：（证法一）过点 E作 EF∥BC交 AB于 F，则 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （证法二）过点 D作 DN∥BC交 CA的延长线于 N，（过程略） （证法三）过点 A作 AM∥BC交 DE于 M，（过程略） ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数. 解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结 CE 则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o ∴∠ACE = 1 2 (180o－∠EAC)= 80o ∵∠ACB= 1 2 (180o－∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80o－50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB =∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50o,∠ABE = 60o ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o N M F E D CB A P E CB A - 13 - ∴∠PBC =∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC =∠EBC BC = BC ∠PCB =∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = 1 2 (180o－∠ABP)= 70o 解法二：以 AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以 BC为一边作等边三角形△BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E在 BC的中垂线上 同理 A在 BC的中垂线上 ∴EA所在的直线是 BC的中垂线 ∴EA⊥BC ∠AEB = 1 2 ∠BEC = 30o =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50o ∴∠ABE =∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = 1 2 (180o－∠ABP) = 1 2 (180o－40o)= 70o 规律 35.有二倍角时常用的辅助线 ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在△ABC中，∠1 =∠2，∠ABC = 2∠C， 求证：AB＋BD = AC 证明：延长 AB到 E，使 BE = BD，连结 DE 则∠BED =∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E =∠C 在△AED和△ACD中 ∠E =∠C ∠1 =∠2 21 E D CB A P E CB A - 14 - AD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即 AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于 D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC =∠ACB 证明：作∠BAC的平分线 AE交 BC于 E，则∠BAE =∠CAE =∠DBC ∵BD⊥AC ∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o ∴AE⊥BC ∴∠ABC＋∠BAE = 90o ∵∠CAE＋∠C= 90o ∠BAE =∠CAE ∴∠ABC =∠ACB ⑶加倍小角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于 D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC =∠ACB 证明：作∠FBD =∠DBC,BF交 AC于 F（过程略） 规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为 AB的垂直平分线，EF交 BC于 F， 交 AB于 E 求证：BF = 1 2 FC 证明：连结 AF，则 AF = BF ∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o ∴∠B =∠C∠BAC = 1 2 (180o－∠BAC) = 30o ∴∠FAB = 30o ∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120o－30o =90o 又∵∠C = 30o D E CB A F D CB A F E CB A - 15 - ∴AF = 1 2 FC ∴BF = 1 2 FC 练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线 AD与 BC的垂直平分线 DE交于点 D，DM⊥AB 于 M，DN⊥AC延长线于 N 求证：BM = CN 规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于 D 求证：CD = AB＋BD 证明：（一）在 CD上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AE ∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C 又∵∠AEB =∠C＋∠EAC ∴∠C =∠EAC ∴AE = CE 又∵CD = DE＋CE ∴CD = BD＋AB （二）延长 CB到 F，使 DF = DC，连 结 AF则 AF =AC（过程略） 规律 38.有中点时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB,∠ABC = 2∠C,BD = CD 求证：△ABC为直角三角形 证明：过 D作 DE⊥BC，交 AC于 E，连结 BE，则 BE = CE， ∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC ∵BC = 2AB，BD = CD ∴BD = AB 在△ABE和△DBE中 AB = BD ∠ABE =∠EBC BE = BE ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE =∠BDE ∵∠BDE = 90o ∴∠BAE = 90o N M E D CB A E D C B A FD C B A E D C B A - 16 - 即△ABC为直角三角形 规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为 BC的垂直平分线 求证：BE2－AE2 = AC2 证明：连结 CE，则 BE = CE ∵∠A = 90o ∴AE2＋AC2 = EC2 ∴AE2＋AC2= BE2 ∴BE2－AE2 = AC2 练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为 BC上一点 求证：PB2＋PC2= 2PA2 规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB = 2 ，求 AC的长. 解：过 A作 AD⊥BC于 D ∴∠B＋∠BAD = 90o， ∵∠B = 45o，∠B =∠BAD = 45o， ∴AD = BD ∵AB2 = AD2＋BD2，AB = 2 ∴AD = 1 ∵∠C = 30o，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2 E D CB A D CB A P CB A - 17 - 四边形部分 规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,□ABCD的周长为 60cm，对角线 AC、BD相交于点 O，△AOB的周长比△BOC的周长多 8cm，求这个四边形各边长. 解：∵四边形 ABCD为平行四边形 ∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60 AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8 ∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm. 规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上） 规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于 D，AE平分∠CAB交 CD于 F，过 F作 FH∥AB 交 BC于 H 求证：CE = BH 证明：过 F作 FP∥BC交 AB于 P，则四边形 FPBH 为平行四 边形 ∴∠B =∠FPA，BH = FP ∵∠ACB = 90o，CD⊥AB ∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA 又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP ∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH 练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH 规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为 AB中点 求证：CM⊥DM 证明：延长 DM、CB交于 N ∵四边形 ABCD为平行四边形 5 4 3 2 1 P HF E D C BA G H F EB A C - 18 - ∴AD = BC，AD∥BC ∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC ∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN ∴∠1 =∠2，∠3 =∠N ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o， ∴∠1＋∠3 = 90o ∴CM⊥DM 规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF 规律 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三 角形的面积等于平行四边形面积的一半. 如图：S△BEC = 1 2 S□ABCD 规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的 面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC= S△BOC＋S△AOD = 1 2 S□ABCD 规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 如图：AO2＋OC2= BO2 ＋DO2 规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形 为矩形. 如图：四边形 GHMN是矩形 （规律 45～规律 49请同学们自己证明） 3 2 1 N M BA D C F E O D C B A E D C B A O D C B A N M H G D C B A A D CB O O B C DA - 19 - 规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图，E为矩形 ABCD的边 AD上一点，且 BE = ED，P为对角线 BD上一点，PF⊥BE 于 F，PG⊥AD于 G 求证：PF＋PG = AB 证明：证法一：过 P作 PH⊥AB于 H，则四边形 AHPG为矩形 ∴AH = GP PH∥AD ∴∠ADB =∠HPB ∵BE = DE ∴∠EBD =∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o ∴△PFB≌△BHP ∴HB = FP ∴AH＋HB = PG＋PF 即 AB = PG＋PF 证法二：延长 GP交 BC于 N，则四边形 ABNG为矩形，（证明略） 规律 51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形 ABCD的顶点 C作对角线 BD的垂线与∠BAD的平分线交于点 E 求证：AC = CE 证明：过 A作 AF⊥BD，垂足为 F，则 AF∥EG ∴∠FAE =∠AEG ∵四边形 ABCD为矩形 ∴∠BAD = 90o OA = OD ∴∠BDA =∠CAD ∵AF⊥BD ∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90o ∴∠BAF =∠ADB =∠CAD ∵AE为∠BAD的平分线 ∴∠BAE =∠DAE ∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC 即∠FAE =∠CAE ∴∠CAE =∠AEG ∴AC = EC ⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： ①有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是 DE的中点，G是 AB的中点 求证：GF⊥DE 证明：连结 GE、GD ∵AD、BE是△ABC的高，G是 AB的中点 ∴GE = 1 2 AB，GD = 1 2 AB ∴GE = GD ∵F是 DE的中点 ∴GF⊥DE N PH G F E D CB A G O F E D CB A G FE D CB A - 20 - ②有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在△ABC中，D是 BC延长线上一点，且 DA⊥BA于 A，AC = 1 2 BD 求证：∠ACB = 2∠B 证明：取 BD中点 E，连结 AE，则 AE = BE = 1 2 BD ∴∠1 =∠B ∵AC = 1 2 BD ∴AC = AE ∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B 规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等. 例：已知，如图，过正方形 ABCD对角线 BD上一点 P，作 PE⊥BC于 E，作 PF⊥CD于 F 求证：AP = EF 证明:连结 AC 、PC ∵四边形 ABCD为正方形 ∴BD垂直平分 AC，∠BCD = 90o ∴AP = CP ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90o ∴四边形 PECF为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点. 例：已知,如图，正方形 ABCD中，M为 AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交 MN于 N 求证：MD = MN 证明：取 AD的中点 P，连结 PM，则 DP = PA = 1 2 AD ∵四边形 ABCD为正方形 ∴AD = AB,∠A =∠ABC = 90o ∴∠1＋∠AMD = 90o，又 DM⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M为 AB中点 ∴AM = MB = 1 2 AB ∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN平分∠CBE ∴∠CBN = 45o ∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90o＋45o= 135o 即∠DPM =∠MBN 2 1 E DCB A P F E D CB A 2 1 P N M E D C BA - 21 - ∴△DPM≌△MBN ∴DM = MN 注意：把 M改为 AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。 练习：已知，Q为正方形 ABCD的 CD边的中点，P为 CQ上一点，且 AP = PC＋BC 求证：∠BAP = 2∠QAD 规律 54.利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端 点旋转到另一位置的引辅助线方法. 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中. 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，D为 BC边上任一点 求证：2AD2 = BD2＋CD2 证明：把△ABD绕点 A逆时针旋转 90o得△ACE ∴BD = CE ∠B =∠ACE ∵∠BAC = 90o ∴∠DAE = 90o ∴DE2 = AD2＋AE2 = 2AD2 ∵∠B＋∠ACB = 90o ∴∠DCE = 90o ∴CD2＋CE2 = DE2 ∴2AD2 = BD2＋CD2 注意：把△ADC绕点 A顺时针旋转 90o 也可，方法同上。 练习：已知，如图，在正方形 ABCD中，E为 AD上一点，BF平分∠CBE交 CD于 F 求证：BE = CF＋AE 规律 55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形. 例：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是 CD、DA的中点，BE与 CF交于 P点 求证：AP = AB 证明：延长 CF交 BA的延长线于 K ∵四边形 ABCD为正方形 ∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90o ∵E、F分别是 CD、DA的中点 ∴CE = 1 2 CD DF = AF = 1 2 AD ∴CE = DF ∴△BCE≌△CDF Q PD C BA E D CB A F E D CB A 2 1 K P F E DC B A - 22 - ∴∠CBE =∠DCF ∵∠BCF＋∠DCF = 90o ∴∠BCF＋∠CBE = 90o ∴BE⊥CF 又∵∠D =∠DAK = 90o DF = AF ∠1 =∠2 ∴△CDF≌△KAF ∴CD = KA ∴BA = KA 又∵BE⊥CF ∴AP = AB 练习：如图，在正方形 ABCD中，Q在 CD上，且 DQ = QC，P在 BC上，且 AP = CD＋CP 求证：AQ平分∠DAP 规律 56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求∠B的度数 解：过 A作 AE∥CD交 BC于 E，则四边形 AECD为平行四边形 ∴AD = EC， CD = AE ∵AB = CD = 4, AD = 3, BC = 7 ∴BE = AE = AB = 4 ∴△ABE为等边三角形 ∴∠B = 60o 规律 57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交 AC于 O 求证：CO = CD 证明：过 A、D分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F则四边形 AEFD为矩形 ∴AE = DF ∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90o， ∴AE = BE = CE = 1 2 BC，∠ACB = 45o ∵BC = BD ∴AE = DF = 1 2 BD 又∵DF⊥BC ∴∠DBC = 30o ∵BD = BC ∴∠BDC =∠BCD = 1 2 (180o－∠DBC) = 75o D CB A E O D CB A FE Q P D CB A - 23 - ∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o ∴∠BDC =∠DOC ∴CO = CD 规律 58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于 E 求 DE的长. 解：过 D作 DF∥AC，交 BC的延长线于 F，则四边形 ACFD为平行四边形 ∴AC = DF， AD = CF ∵四边形 ABCD为等腰梯形 ∴AC = DB ∴BD = FD ∵DE⊥BC ∴BE = EF = 1 2 BF = 1 2 (BC＋CF) = 1 2 (BC＋AD) = 1 2 ×10 = 5 ∵AC∥DF，BD⊥AC ∴BD⊥DF ∵BE = FE ∴DE = BE = EF = 1 2 BF = 5 答：DE的长为 5. 规律 59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形. 例：已知，如图，在四边形 ABCD中，有 AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC 求证：四边形 ABCD等腰梯形 证明：延长 BA、CD，它们交于点 E ∵∠B =∠C ∴EB = EC 又∵AB = DC ∴AE =DE ∴∠EAD =∠EDA ∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180o ∠B＋∠C＋∠E = 180o ∴∠EAD =∠B ∴AD∥BC ∵AD≠BC，∠B =∠C ∴四边形 ABCD等腰梯形 （此题还可以过一顶点作 AB或 CD的平行线；也可以过 A、D作 BC的垂线） 规律 60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，E为 CD中点，EF⊥AB于 F 求证：S 梯形 ABCD = EF·AB 证明：过 E作 MN∥AB，交 AD的延长线于 M，交 BC于 N，则四边形 ABNM为平行四边形 ∵EF⊥AB FE D CB A E D CB A 2 1 N MF E D CB A - 24 - ∴S□ABNM = AB·EF ∵AD∥BC ∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM ∴S 梯形 ABCD = S 五边形 ABNED＋S△CEN = S 五边形 ABNED＋S△DEM = S 梯形 ABCD = EF·AB 规律 61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形 转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于 A，DE = EC = BC 求证：∠AEC = 3∠DAE 证明：连结 BE并延长交 AD的延长线于 N ∵AD∥BC ∴∠3 =∠N 又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB ∴BE = EN DN = BC ∵AB⊥AD ∴AE = EN = BE ∴∠N =∠DAE ∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE ∵DE = BC BC = DN ∴DE = DN ∴∠N =∠1 ∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE ∴∠2 =∠DAE ∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE 即∠AEC = 3∠DAE 规律 62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线. 例：已知,如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是 AD、BC的中点，且 EF⊥BC 求证：∠B =∠C 证明：过 E作 EM∥AB, EN∥CD,交 BC于 M、N，则得□ABME，□NCDE ∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE ∵AE = DE ∴BM = CN 又∵BF = CF ∴FM = FN 又∵EF⊥BC ∴EM = EN ∴∠1 =∠2 ∵AB∥EM， CD∥EN ∴∠1 =∠B ∠2 =∠C ∴∠B =∠C 规律 63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半. 3 N E 2 1 D CB A 21 NM F E D CB A - 25 - 例：已知,如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，AC与 BD交于 O，且 AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4, 求梯形 ABCD的面积. 解：∵AC⊥BD ∴S△ABD = 1 2 AO·BD S△BCD= 1 2 CO·BD ∴S 梯形 ABCD = S△ABD ＋S△BCD = 1 2 AO·BD＋ 1 2 CO·BD = 1 2 (AO＋CO)·BD 即 S 梯形 ABCD= 1 2 AC·BD = 1 2 ×4×3.4 =6.8 答：梯形 ABCD面积为 6.8. 规律 64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题. 例:已知：△ABC中，D为 AB中点，E为 BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点 F 求证：F为 CD的中点 证明：过 D作 DN∥AE交 BC于 N ∵D为 AB中点 ∴BN = EN 又∵E为 BC的三等分点 ∴BN = EN = CE ∵DN∥AE ∴F为 CD的中点 规律 65.有下列情况时常作三角形中位线. ⑴有一边中点； ⑵有线段倍分关系； ⑶有两边（或两边以上）中点. 例：如图，AE为正方形 ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交 BD、BC于 F、E，AC、BD相交于 O 求证：OF = 1 2 CE 证明：取 AE的中点 N，连结 ON,则 ON为△ACE的中位线 ∴ON∥CE，ON = 1 2 CE ∴∠6 =∠ONE ∵四边形 ABCD为正方形 ∴∠3 =∠4 = 45o ∴∠5 =∠3＋∠1,∠6 =∠4＋∠2 ∵∠1 =∠2 ∴∠5 =∠6 ∵∠6 =∠ONE ∴∠ONE =∠5 ∴ON = OF O D CB A 6 5 4 3 O 21 N F E D CB A N F E D CB A - 26 - ∴OF = 1 2 CE 规律 66.有下列情况时常构造梯形中位线 ⑴有一腰中点 ⑵有两腰中点 ⑶涉及梯形上、下底和 例 1：已知,如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，∠DAB = 90o ,E为 CD的中点，连结 AE、BE 求证：AE = BE 证明：取 AB的中点 F，连结 EF，则 EF∥AD ∴∠DAB =∠EFB =90o ∴EF⊥AB ∴EF为 AB的中垂线 ∴AE = BE 例 2：从□ABCD的顶点 ABCD向形外的任意直线 MN引垂线 AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为 A’、 B’、C’、D’ 求证：AA’＋CC’ = BB’＋DD’ 证明：连结 AC、BD，它们交于点 O，过 O作 OE⊥MN于 E，则 AA’∥OE∥CC’ ∵四边形 ABCD为平行四边形 ∴AO = CO ∴A’E = C’E ∴AA’＋CC’ = 2OE 同理可证：BB’＋DD’ = 2OE ∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’ 规律 67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 规律 68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形. 规律 69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形. 规律 70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形. 规律 71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边 形、菱形、矩形、正方形、菱形. 规律 72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）. 以上各规律请同学们自己证明.（利用中位线证明） 规律 73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线 AC、BD相交于 O， ∠AOB = 60o ，且 E、F、M分别为 OD、OA、BC的中点 求证：△MEF是等边三角形 证明：连结 BF、CE ∵四边形 ABCD为等腰梯形 ∴AD = BC，AC = BD 又∵AB为公共边 ∴△ABD≌△BAC ∴∠CAB =∠DBA ∴OA = OB ∵∠AOB = 60o ∴△ABO为等边三角形 F E D CB A D'C'B' A' O NM E D C B A MO F E D C BA - 27 - 又∵F为 AO中点 ∴BF⊥AC ∵M为 BC中点 ∴MF = 1 2 BC 同理可证：ME = 1 2 BC ∵E、F分别为 OD、OA中点 ∴EF = 1 2 AD ∵AD = CB ∴ME = MF = EF ∴△MEF为等边三角形 规律 74.如果矩形对角线相交所成的钝角为 120o，则矩形较短边是对角线长的一半. 例：已知，四边形 ABCD为矩形，对角线 AC、BD相交于点 O，∠AOB = 120O. 求证：AB = 1 2 BD （证明略） 规律 75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积. 例：已知,如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，E为 CD中点，EF⊥AB于 F 求证：S 梯形 ABCD = EF·AB 证明：过 E作 MN∥AB，交 AD的延长线于 M，交 BC于 N，则四边形 ABNM为平行四边形 ∵EF⊥AB ∴S□ABNM = AB·EF ∵AD∥BC ∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM ∴S 梯形 ABCD = S 五边形 ABNED＋S△CEN = S 五边形 ABNED＋S△DEM 规律 76.若菱形有一内角为 120o，则菱形的周长是较短对角线长的 4倍. 例：已知，四边形 ABCD是菱形，∠ABC=120O. 求证:AB = BD （证明略） 2 1 N MF E D CB A O D CB A C D B A - 28 - 相似形和解直角三角形部分 规律 77.当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，F为 AB上任一点，CF交 AD于 E 求证： AF EF AB EC  证明：过 F作 FN∥BC交 AD于 N ∴ AF FN AB BD  FN EF CD CE  又∵CD = BD ∴ AF EF AB EC  规律 78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形. 例：AD为△ABC的中线，E为 AD上一点，BE、CE的延长线分别交 AC、AB于点 M、N 求证：MN∥BC 证明：延长 AD至 F，使 DF = DE，连结 BF、CF，则四边形 BFCE为平行四边形 ∴BF∥CN CF∥BM ∴ AN AE NB EF  AE AM EF MC  ∴ AN AM NB MC  ∴MN∥BC 规律 79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形. ⑴有特殊角时，如有 30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时. 构造直角三角形经常通过作垂线来实现. 例：一轮船自西向东航行，在 A处测得某岛 C在北偏东 60o的方向上，船前进 8海里后到达 B，再 测 C岛在北偏东 30的方向上，问船再前进多少海里与 C岛最近？最近距离是多少？ 解：由题可作图，且∠CAB = 60o ，∠ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里） 在 Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60o ， ∴BD = BC·cos60o = 8× 1 2 = 4（海里） CD = BC·sin60o = 8× 3 2 = 4 3（海里） NF E D CB A MN F E D CB A - 29 - 答：船再前进 4海里就与 C最近，最近距离是 4 3海里. 规律 80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表 另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为： 1、2、3、3、2、1， 3、9、27， 弦比 2，切比 3， 分子根号别忘添. 其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律 81. 同角三角函数之间的关系： （1）.平方关系： 2 2sin cos 1   （2）.倒数关系： tan cot 1   （3）.商数关系： sintan cos    coscot sin    规律 82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 规律 83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值. 规律 84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半. 例：已知△ABC中,∠A = 60o,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面积。 解：作 BD⊥AC于 D 在 Rt△ABD中，BD = AB·sinA ∴S△ABC = 1 2 AC·BD = 1 2 AC·AB·sinA = 1 2 ×4×6×sin60o = 12× 3 2 = 6 3 规律 85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的 2 倍. 三角函数 0o 30o 45o 60o 90o sin A 0 1 2 2 2 3 2 1 cos A 1 3 2 2 2 1 2 0 tan A 0 3 3 1 3 － cot A － 3 1 3 3 0 D CB A - 30 - 规律 86.在含有 30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是 30o角所对的直角边的 3倍.（即 30o 角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍 3 .） 规律 87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的 2倍，则斜边是较短直角边的 5倍. 圆 部 分 规律 88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一 是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题. 例：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D二点.求证：AC = BD 证明:过 O作 OE⊥AB于 E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是 AB上的一点，AB = 10cm， PA = 4cm. 求 ⊙O的半径. 规律 89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知 AB是⊙O的直径，M、N分别是 AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证： 证明：（一）连结 OC、OD ∵M、N分别是 AO、BO的中点 ∴OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA =∠DOB ∴ （二）连结 AC、OC、OD、BD ∵M、N分别是 AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴ O E DC BA P O B A O NM DC BA - 31 - 规律 90.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知 M、N分别是⊙O 的弦 AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN =∠CNM 证明：连结 OM、ON ∵O为圆心，M、N分别是弦 AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN =∠ONM ∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM 规律 91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距. 例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为 O1、O2的中点，过 P的直线分别交⊙O1、⊙O2于 A、C、 D、B.求证：AC = BD 证明：过 O1作 O1M⊥AB于 M,过 O2作 O2N⊥AB于 N，则 O1M∥O2N ∴ 1 1 2 2 O M O P O N O P  ∵O1P = O2P ∴O1M = O2N ∴AC = BD 规律 92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角 例：如图，已知 D、E分别为半径 OA、OB的中点，C为弧 AB的 中点，求证：CD = CE 证明：连结 OC ∵C为弧 AB的中点 ∴ AB BC ∴∠AOC =∠BOC ∵D、E分别为 OA、OB的中点，且 AO = BO ∴OD = OE = 1 2 AO = 1 2 BO 又∵OC = OC ∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE 规律 93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律 94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半. 规律 95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为 AC延长线上一点，且 AC = PC,PB的延长线交⊙O于 D，求证：AC = DC 证明：连结 AD ∵AB为⊙O的直径 O NM D C B A P O 2 O1 N M D C B A O ED C BA P O D C B A - 32 - ∴∠ADP = 90o ∵AC = PC ∴AC = CD = 1 2 AP 练习：如图，在 Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以 BC为直径的⊙O交 AB于 E，D为 AC中 点，连结 BD交⊙O于 F.求证： BC CF BE EF  规律 96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律 97.有等弧时常作辅助线有以下几种： ⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角 练习：1.如图，⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，交点为 E，F为 DC延长线上一点，连结 AF交⊙O于 M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结 BM) 2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在 BC边上，且 BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图） 规律 98.有弦中点时，常构造三角形中位线. 例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于 E，求证：OE = 1 2 AD 证明：作直径 CF，连结 DF、BF ∵CF为⊙O的直径 ∴CD⊥FD 又∵CD⊥AB ∴AB∥DF ∴ AD BF ∴AD = BF ∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO ∴CE = BE ∴OE = 1 2 BF ∴OE = 1 2 AD 规律 99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. 例：如图，△ABC内接于⊙O，直线 AD平分∠FAC，交⊙O于 E，交 BC的延长线于 D，求证：AB·AC = AD·AE 证明：连结 BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2 2题图 G O F ED CB A 21 1题图 F M O E D C BA O F E DC B A 3 2 1 O F E DCB A - 33 - ∵四边形 ACBE为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE∽△ADC ∴ AE AB AC AD  ∴AB·AC = AD·AE 规律 100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图，⊙O1与⊙O2相交于 A、B，过 A的直线分别交⊙O1、⊙O2于 C、D，过 B的直线分别交 ⊙O1、⊙O2于 E、F.求证：CE∥DF 证明：连结 AB ∵四边形为圆内接四边形 ∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D ∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C＋∠D = 180o ∴CE∥DF 规律 101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： ⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与 这条直线垂直即可. ⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等 于半径的长即可. 例 1：如图，P为⊙O外一点，以 OP为直径作圆交⊙O于 A、B两点，连结 PA、PB. 求证：PA、PB为⊙O的切线 证明：连结 OA ∵PO为直径 ∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA ∵OA为⊙O的半径 ∴PA为⊙O的切线 同理：PB也为⊙O的切线 例 2：如图，同心圆 O，大圆的弦 AB = CD，且 AB是小圆的切线，切点为 E，求证：CD是小圆的 切线 证明：连结 OE，过 O作 OF⊥CD于 F ∵OE为半径，AB为小圆的切线 ∴OE⊥AB ∵OF⊥CD, AB = CD ∴OF = OE ∴CD为小圆的切线 练习：如图，等腰△ABC，以腰 AB为直径作⊙O交底边 BC于 P，PE⊥AC于 E, 求证：PE是⊙O的切线 O 2O1 FE D C B A O F E D C BA P O B A P O E CB A - 34 - 规律 102.当已知条件中有 切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. 例：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是 AB 上一点，以 BD为直径的 ⊙O切 AC于 E，求 AD长. 解：连结 OE，则 OE⊥AC ∵BC⊥AC ∴OE∥BC ∴ OE AO BC AB  在 Rt△ABC中，AB = 2 2 2 212 9 15AC BC    ∴ 15 9 15 OE AB OB OE AB     ∴OE = OB = 45 8 ∴BD = 2OB = 45 4 ∴AD = AB－DB = 15－ 45 4 = 15 4 答：AD的长为 15 4 . 练习：如图，⊙O的半径 OA⊥OB，点 P在 OB的延长线上，连结 AP交⊙O于 D，过 D作⊙O的 切线 CE交 OP于 C，求证：PC = CD O E D C BA P O E D C B A