2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）

2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）

‎2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎2．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（　　）‎ A．∀x＞1， B．∀x≤1，‎ C．∃x0＞1， D．∃x0≤1，‎ ‎3．（5分）已知Z=，则Z•=（　　）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（　　）‎ A．2π B．π C．3π D．4π ‎5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎8．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f（2）=0，则f（x）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．3 B． C．7 D．‎ ‎12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．{2} B．（，2] C．[2，3） D．（1，2]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=　 　．‎ ‎14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是　 　．‎ ‎15．（5分）已知各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，则数列{log2an}的前四项和等于　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）设数列{an}an=2n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的前n项和；‎ ‎（2）设数列{bn}满足bn=2，求数列{anbn}的n项和．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（2）求四面体PACD的体积．‎ ‎19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50）‎ ‎[50，55）‎ 年龄 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ 并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．‎ ‎（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；‎ ‎（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．‎ ‎20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．‎ ‎（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．‎ ‎21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．‎ ‎（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；‎ ‎（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（ex）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【解答】解：集合A={x|0＜x≤6}，‎ B={x∈N|2x＜33}={0，1，2，3，4，5}，‎ 则集合A∩B={1，2，3，4，5}，‎ 其元素个数为5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（　　）‎ A．∀x＞1， B．∀x≤1，‎ C．∃x0＞1， D．∃x0≤1，‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，”的否定是∃x0＞1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知Z=，则Z•=（　　）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎【解答】解：∵Z=，‎ ‎∴Z•=|Z|2=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（　　）‎ A．2π B．π C．3π D．4π ‎【解答】解：f（x）=sin（x﹣）﹣1，‎ 则f（x）的最小正周期是T=2π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，‎ 则有2b=，即a=3b，‎ 则c==2b，‎ 则椭圆的离心率e==；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【解答】解：由cos（α﹣）=cos2α，得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵α∈（0，），‎ ‎∴sinα+cosα＞0，‎ 则cosα﹣sinα=．‎ 两边平方得：，‎ ‎∴sin．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n﹣1）×…×5的值，‎ 由于S=210=7×6×5，‎ 可得：n=7，即输入n的值为7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则 ‎|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+2与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，‎ ‎∴由正弦定理可得：sin2AtanB=sin2BtanA，‎ ‎∴由sinA≠0，sinB≠0，可得：sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，‎ ‎∴2A=2B，或2A+2B=π，‎ ‎∴A=B或A+B=，‎ ‎∴△ABC是等腰或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f（2）=0，则f（x）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2） B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f （2）=0，‎ 则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，‎ 当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，‎ 当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜﹣2，‎ 即f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．3 B． C．7 D．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：‎ 该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，‎ 长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4，‎ 切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为：，‎ 故组合体的体积V=4﹣=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．{2} B．（，2] C．[2，3） D．（1，2]‎ ‎【解答】解：函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立⇔x2﹣1﹣alnx ‎≥0对∀x＞0恒成立．‎ 令g（x）=x2﹣1﹣alnx，，‎ ‎①当a≤0时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，而g（1）=0，故不符合题意；‎ ‎②当a＞0时，令g′（x）=0，x，g（x）在x=处有极小值，而g（1）=0‎ ‎∴，∴a=2，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=　3　．‎ ‎【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），=（6，m），‎ 若⊥，则•=1×6+（﹣2）×m=0，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是　195　．‎ ‎【解答】解：设共有n人，根据题意得；‎ ‎3n+=100n，‎ 解得n=195；‎ ‎∴一共有195人．‎ 故答案为：195．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，则数列{log2an}‎ 的前四项和等于　8　．‎ ‎【解答】解：各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，‎ 可得a1a4=a2a3=16，‎ 即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4‎ ‎=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是　{x|x≥0}　．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，方程f（1+x2）=f（2x），‎ ‎∴当x＜0时，2=e2x+1，解得x=0，不成立；‎ 当x≥0时，f（1+x2）=f（2x）=2，成立．‎ ‎∴方程f（1+x2）=f（2x）的解集是{x|x≥0}．‎ 故答案为：{x|x≥0}．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）设数列{an}an=2n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的前n项和；‎ ‎（2）设数列{bn}满足bn=2，求数列{anbn}的n项和．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}的通项公式：an=2n﹣1，‎ 则：数列为首项为1，公差为2的等差数列．‎ 所以：，‎ ‎（2）设数列{bn}满足bn=2=22n=4n，‎ 则：{anbn}的通项公式为：，‎ 则：+…+（2n﹣1）•4n①，‎ ‎+…+（2n﹣1）•4n+1②，‎ ‎①﹣②得：﹣（2n﹣1）•4n+1﹣4．‎ 解得：，‎ 整理得：．‎ 当n=1时，T1=4，‎ 当n≥2时，，对n=1也成立，‎ 故，n∈N*．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（2）求四面体PACD的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，‎ 又PD⊥PA，且PA∩AB=A，‎ ‎∴PD⊥平面PAB；‎ ‎（2）解：取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ ‎∵PA⊥PD，PA=PD，AD=2，∴PO=1．‎ 在△ACD中，由AD=2，AC=CD=，可得．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：‎ 年龄 ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50）‎ ‎[50，55）‎ 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ 并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．‎ ‎（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；‎ ‎（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．‎ ‎【解答】解：（1）年龄在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”态度的人数为5，‎ 其中抽两人，基本事件总数n==15，‎ 被抽到的2人都持“提倡”态度包含的基本事件个数m==10，‎ ‎∴年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率p==．‎ ‎（2）年龄在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”态度的人数为3，‎ 其中抽两人，基本事件总数n′==10，‎ 年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度包含的基本事件个数m′==9，‎ ‎∴年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率p′==．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．‎ ‎（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设AB的中点为M，则M（1，）‎ 由，得=0‎ ‎∴⇒‎ 即kAB=﹣，∴线段AB的垂直平分线的斜率为．‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=，‎ 即9x﹣2y﹣8=0为所求．‎ ‎（2）设直线AB：y=kx+m．‎ 由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，‎ x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①‎ ‎∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，∴k＜0，m＞0…②‎ ‎△=（18km）2﹣4（1+9k2）（9m2﹣9）＞0⇒9k2﹣m2+1＞0…③，‎ 结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．‎ 此时，k=﹣满足③．‎ ‎∴直线AB在y轴上截距的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．‎ ‎（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；‎ ‎（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（ex）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=x⊗（2﹣x）==1﹣|1﹣x|‎ 设点（x0，y0）为y=f（x）上任意一点，‎ 则f（2﹣x0）=（1﹣|2﹣x0﹣1|）=（1﹣|1﹣x0|）=（1﹣|x0﹣1|）=y0=f（x0）‎ ‎∴f（2﹣x0）=f（x0），‎ 令2﹣x0=1+x，则x0=1﹣x，‎ ‎∴f（1+x）=f（1﹣x），即x=1是函数f（x）的对称轴，‎ ‎∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，‎ ‎（2）∵x∈[0，+∞），‎ ‎∴ex≥1，‎ ‎∴f（ex）=2﹣ex，‎ ‎∵f（ex）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴2﹣ex≤m2x+2+m，‎ ‎∴﹣ex≤m2x+m，‎ ‎∵﹣ex≤﹣1，‎ ‎∴m2x+m≥﹣1，‎ 当m=0时，恒成立，‎ 当m≠时，‎ ‎∴y=m2x+m在[0，+∞）为增函数，‎ ‎∴y≥m，‎ ‎∴m≥﹣1，‎ 故m的取值范围为[﹣1，+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ 转化为直角坐标方程：x2+y2﹣6y=0．‎ 证明：（2）点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，‎ 把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣6y=0，‎ 整理得：t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，（t1和t2为A和B对应的参数），‎ 则：t1•t2=﹣7（定值），‎ 故：|PA|×|PB|=|t1t2|=7为定值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，‎ 当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．‎ 当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，‎ ‎∴＜x＜2．‎ 当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．‎ 综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．‎ ‎（2）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，‎ 若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，‎ 只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．‎ ‎　‎