高考数学一轮—33圆锥曲线方程及性质

高考数学一轮—33圆锥曲线方程及性质

‎ ‎ 第33讲 圆锥曲线方程及性质 一．【课标要求】‎ ‎1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；‎ ‎2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；‎ ‎3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 二．【命题走向】‎ 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲，预测2010年：‎ ‎（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；‎ ‎（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。‎ 三．【要点精讲】‎ ‎1．椭圆 ‎（1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有 椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。‎ 注：①以上方程中的大小，其中；‎ ‎②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆 ‎（2）椭圆的性质 ‎①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；‎ ‎②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。‎ 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；‎ ‎③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。‎ 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。‎ 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；‎ ‎④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。‎ ‎2．双曲线 ‎（1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。‎ 注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。‎ 椭圆和双曲线比较：‎ 椭 圆 双 曲 线 定义 方程 焦点 注意：如何有方程确定焦点的位置！‎ ‎（2）双曲线的性质 ‎①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。‎ ‎②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。‎ ‎③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。‎ 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。‎ ‎1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。‎ ‎2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长 ‎④‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。‎ ‎⑤等轴双曲线：‎ ‎1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；‎ ‎2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。‎ ‎3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上 ‎⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。‎ ‎3．抛物线 ‎（1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。‎ 方程叫做抛物线的标准方程。‎ 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；‎ ‎（2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：‎ 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：椭圆的概念及标准方程 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；‎ ‎（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；‎ ‎（3）焦点在轴上，，；‎ ‎（4）焦点在轴上，，且过点；‎ ‎（5）焦距为，；‎ ‎（6）椭圆经过两点，。‎ 解析：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），‎ ‎∵，，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎，‎ ‎∴，又∵，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（3）∵，∴，①‎ 又由代入①得，‎ ‎∴，∴，又∵焦点在轴上，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（4）设椭圆方程为，‎ ‎ ∴，∴，‎ ‎ 又∵，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为．‎ ‎（5）∵焦距为，∴，‎ ‎ ∴，又∵，∴，，‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 所以，椭圆的标准方程为或．‎ ‎（6）设椭圆方程为（），‎ ‎ 由得，‎ 所以，椭圆方程为．‎ 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系 例2．（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。‎ ‎（2）（06天津理，8）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：（1）已知为所求；‎ ‎（2）椭圆的中心为点它的一个焦点为 ‎∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ‎ ‎∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D。‎ 点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。‎ 题型2：椭圆的性质 例3．（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎（2）（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎【解析】设切点，则切线的斜率为.‎ 由题意有又 解得: . ‎ ‎【答案】C 点评：本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。‎ 例4．（1）（（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )‎ A. B. 2 C. D. 3 ‎ ‎【解析】过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎ ‎【答案】A ‎（2）（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎，因．‎ ‎【答案】C 题型3：双曲线的方程 例5．（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；‎ ‎（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。‎ 解析：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，‎ ‎∵，∴，∴。‎ 所以所求双曲线的方程为；‎ ‎（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。‎ 又∵过点，∴。‎ 综上得，，所以。‎ 点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。‎ ‎（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；‎ ‎∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。‎ 将分别代入方程①中，得方程组：‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 将和看着整体，解得，‎ ‎∴即双曲线的标准方程为。‎ 点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚 例6．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.‎ 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；‎ 点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷 题型4：双曲线的性质 例7．（1）（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是 ‎ Ａ. 　Ｂ. Ｃ. Ｄ. ‎ ‎【解析】由得，选B.‎ ‎【答案】Ｂ ‎（2）（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ‎ ‎ A． B． C． D．3‎ ‎【解析】由有,则,故选B.‎ ‎【答案】B 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎（3）（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B . C . D.‎ ‎【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 ‎【答案】C ‎【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ 例8．（1）(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】易得准线方程是 ‎ 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A.‎ ‎【答案】A ‎（2）（2009四川卷文、理）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )‎ ‎ A. －12 B. －2 C. 0 D. 4‎ ‎【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.‎ ‎∴·＝‎ ‎【答案】C ‎（3）（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 ( )‎ m A． B. C. D. ‎ ‎【解析】设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,‎ 由双曲线的第二定义有 ‎.‎ 又 .‎ ‎【答案】A 题型5：抛物线方程 例9．（1）)焦点到准线的距离是2；‎ ‎（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程 解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；‎ 方程是x=8y。‎ 点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。‎ 题型6：抛物线的性质 例10．（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）抛物线的准线方程是（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（3）（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ） ‎ A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）‎ 解析：（1）椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D；‎ ‎（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；‎ ‎（3）【解析】由,易知焦点坐标是，故选B.‎ ‎ 【答案】B 点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。‎ 例11．（1）（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：‎ ‎①焦点在y轴上；‎ ‎②焦点在x轴上；‎ ‎③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；‎ ‎④抛物线的通径的长为5；‎ ‎⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。‎ ‎（3）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）‎ A.（－∞，0） B.（－∞，2 C.［0，2］ D.（0，2）‎ 能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）‎ 解析：（1）设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A；‎ ‎（2）答案：②，⑤‎ 解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。‎ ‎（3）答案：B 解析：设点Q的坐标为（，y0），‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.‎ 整理，得：y02（y02+16－8a）≥0，‎ ‎∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.‎ 即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.‎ ‎∴a≤2.选B。‎ 点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。‎ 五．【思维总结】‎ 在复习过程中抓住以下几点：‎ ‎（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；‎ ‎（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；‎ ‎（3）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：‎ 第 12 页 共 12 页