广东省阳江市阳东广雅中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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广东省阳江市阳东广雅中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 阳东广雅中学2019-2020学年上学期高一期末考试试卷——数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.‎ ‎1.函数的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可.‎ ‎【详解】要使函数有意义,则,‎ 即,即x≥﹣2且x≠1,‎ 即函数的定义域为[﹣2,1)∪(1,+∞),‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,属于基础题.‎ ‎2.圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为(  )‎ A. π B. 3π C. 2π D. 4π ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.‎ ‎【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,‎ 所以圆柱的表面积.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.‎ ‎3.直线的倾斜角是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ - 15 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线的方程求出斜率,再根据倾斜角的正切值等于斜率,再结合倾斜角的范围求出倾斜角.‎ ‎【详解】由直线,‎ 可得直线的斜率为,‎ 直线倾斜角的正切值是,‎ 又倾斜角大于或等于且小于,‎ 故直线的倾斜角为,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线方程与直线的斜率、倾斜角,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于中档题.‎ ‎4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是(  )‎ A. m⊂α,n∥m⇒n∥α B. m⊂α,n⊥m⇒n⊥α C. m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β D. n⊂β,n⊥α⇒α⊥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在A选项中,可能有n⊂α,故A错误;‎ 在B选项中,可能有n⊂α,故B错误;‎ 在C选项中,两平面有可能相交,故C错误;‎ 在D选项中,由平面与平面垂直的判定定理得D正确.‎ 故选D.‎ ‎5.设,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 15 -‎ ‎【分析】‎ 容易看出,0<0.34<1,40.3>1,log40.3<0,从而可得出a,b,c的大小关系.‎ ‎【详解】∵0<0.34<0.30=1,40.3>40=1,log40.3<log41=0;‎ ‎∴c<a<b.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用和指数函数的值域问题,属于基础题.‎ ‎6.若直线3x+y+a=0过圆的圆心,则的值为( )‎ A. -1 B. 1 C. 3 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2)代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.‎ 解答:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),‎ 代入直线3x+y+a=0得:-3+2+a=0,∴a=1,‎ 故选 B.‎ 点评:本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法,用待定系数法求参数的取值范围 ‎7.在同一直角坐标系中,函数的图像可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 15 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】函数,与,‎ 答案A没有幂函数图像,‎ 答案B.中,中,不符合,‎ 答案C中,中,不符合,‎ 答案D中,中,符合,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征,属于基础题.‎ ‎8.已知函数在区间,上单调递增,则的取值范围为( )‎ A. B. , C. D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据二次函数性质,由对称轴和区间的位置关系即可得解.‎ 详解】依题意对称轴,解得,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性,属于基础题.‎ ‎9.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分直线过原点与不过原点两种情况求解,不过原点时只需斜率为-1即可.‎ - 15 -‎ ‎【详解】直线过点,且在两坐标轴上的截距相等,‎ 当截距为0时,直线方程为:;‎ 当直线不过原点时,斜率为,直线方程:.‎ 直线方程为或.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的截距的概念,容易忽略过原点的情况,属于易错题.‎ ‎10.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,则三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三线垂直且长度相等联想正方体,利用外接球的直径为正方体的对角线长,即可得解.‎ ‎【详解】由PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,可知该三棱锥为正方体的一角,其外接球直径为正方体的对角线长,即2R=,∴,∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法,关键是补形的方法,属于基础题.‎ ‎11.对任意的实数,直线与圆的位置关系一定是 A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:过定点,点在圆内,所以直线与圆相交但不过圆心.‎ 考点:直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】直线与圆的位置关系 - 15 -‎ ‎(1)直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 .‎ ‎(2)判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 ‎①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组,消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式 ‎②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:.‎ ‎12.已知函数,若,,互不相等,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像,根据对数函数的运算得到,再根据图像看出的范围,也即是的范围.‎ ‎【详解】画出函数图像如下图所示,由于,故,即,由推向可知,故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像,考查对数的运算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.‎ - 15 -‎ ‎13.若函数是幂函数,则函数(其中,)的图象过定点的坐标为__________.‎ ‎【答案】(3,0)‎ ‎【解析】‎ 若函数是幂函数,则,‎ 则函数(其中,),‎ 令,计算得出:,,‎ 其图象过定点的坐标为.‎ ‎14.已知是奇函数,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数可将自变量转换到已知解析式的函数部分再求解即可.‎ ‎【详解】是奇函数,‎ ‎,‎ 则,故.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值以及奇函数的性质运用等,属于基础题型.‎ ‎15.已知两圆和相交于两点,则直线的方程是     .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:两圆为①,②,可得,所以公共弦所在直线的方程为.‎ 考点:相交弦所在直线的方程 - 15 -‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论 ‎①; ‎ ‎②与所成的角为; ‎ ‎③与是异面直线;‎ ‎④∥. ‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是 _________‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将纸盒的平面展开图还原为正方体,进而根据空间中直线与直线的位置关系,进行判断和选择.‎ ‎【详解】将正方体的平面展开图还原为正方体,可得如下几何体:‎ 由图,根据正方体的特点,‎ 容易知,又因为//,故可得,故①正确;‎ 因为//,而三角形为等边三角形,故与的夹角为,‎ 则与的夹角也为,故②正确;‎ 由图可知和显然是异面直线,故③正确;‎ - 15 -‎ 由图可知与是异面直线,故④错误.‎ 故答案为:①②③.‎ ‎【点睛】本题考查还原几何体,以及直线与直线的位置关系,涉及异面直线夹角的求解,属基础题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求经过直线:与直线:的交点,且满足下列条件的直线方程 ‎(1)与直线平行;‎ ‎(2)与直线垂直.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立直线方程,即可得交点坐标,再根据直线平行,则斜率相等,写出点斜式即可;‎ ‎(2)根据直线垂直,即可求得目标直线的斜率,结合点的坐标,写出点斜式即可.‎ ‎【详解】由解得 ,‎ 所以交点为(-1,2)‎ ‎(1)由已知得所求直线的斜率 ‎ ‎∴所求直线方程为 即 ‎ ‎(2)因为已知直线斜率为,故所求直线的斜率 ‎ ‎∴所求直线方程为 即 ‎【点睛】本题考查直线方程的求解,涉及直线平行以及垂直时,斜率之间的关系,属基础题.‎ ‎18.如下图所示:在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.‎ - 15 -‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1;‎ ‎【答案】(Ⅰ)、(Ⅱ)证明过程详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)利用三垂线定理即可证明;‎ ‎(Ⅱ)设线段C1B的中点为E,连接DE,显然直线DE∥C1A,由直线与平面垂直的判定定理可得结论成立.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)直三棱角柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5‎ ‎∴AC⊥BC且BC1在平面ABC内的射影为BC ‎∴AC⊥BC1‎ ‎(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连结DE ‎∵D是AB的中点,E是BC1的中点 ‎∴DE∥AC1‎ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,‎ ‎∴AC1∥平面CDB1‎ 考点:异面直线垂直的判定;直线与平面垂直的判定.‎ ‎19.已知圆:外有一点,过点作直线.‎ - 15 -‎ ‎(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【答案】(1)或(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)讨论直线斜率是否存在,斜率存在时,设出直线方程,根据圆心到直线的距离等于半径,列方程即可求得;‎ ‎(2)根据已知,写出直线方程,利用圆中的弦长公式即可求得.‎ ‎【详解】(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,满足题意. ‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 即,‎ 则,解得,‎ 此时直线的方程为 ‎ 所以直线的方程为或 ‎(2)当直线的倾斜角为时,‎ 直线的方程为,‎ 即 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ 所以直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切,求直线的方程,以及圆中弦长公式的使用,属基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)若为偶函数,求的值.‎ - 15 -‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据对数的单调性可将不等式转化为,解不等式可得其解集;(2)由函数是偶函数可得恒成立,代入可求得的值 试题解析:(1),,‎ ‎,即不等式的解集为.‎ ‎(2)由于为偶函数,∴即,‎ 对任意实数都成立,‎ 所以 考点:1.函数奇偶性的性质;2.对数函数图象与性质的综合应用 ‎21.已知如图:四边形是矩形,平面,且,,点为上一点,且平面.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据平面,平面得到三角形为直角三角形,再转换三棱锥的顶点到,结合题中已知数据,求解体积即可;‎ ‎(2)根据二面角的定义,即可知即为所求,只需求解该角度即可.‎ ‎【详解】(1)由平面得:;‎ - 15 -‎ 由平面及 得: ,平面;‎ ‎∵, ‎ ‎∴平面,则; ‎ ‎∴ ,‎ 即三棱锥的体积为; ‎ ‎(2)由(1)知:,,‎ ‎∴ 平面,则; ‎ ‎∴ 是二面角的平面角; ‎ 在中,,‎ ‎∴ ,则;‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算,以及二面角的求解,均属简单的求解,属基础题.‎ ‎22.已知函数的定义域为 ‎ ‎(1)试判断的单调性,并用定义证明;‎ ‎(2)若,‎ ‎①求在的值域;‎ ‎②是否存在实数,使得有解,若存在,求出取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)在单调递增,证明见详解;(2)①;②存在,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据单调性的定义,作差,定号即可证明;‎ ‎(2)①写出函数的解析式,整体换元,将问题转化为求解二次函数的值域问题;‎ - 15 -‎ ‎②分离参数,将问题转化为求函数的最小值问题,结合均值不等式即可求得.‎ ‎【详解】(1)在单调递增 设 ‎ 则 ‎ 因为故:‎ ‎ ,‎ 在单调递增,即证.‎ ‎(2)①‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 值域为 ‎ ‎②由得 ‎ 而当时, ‎ 所以的取值范围为 ‎【点睛】本题考查利用函数单调性的定义证明单调性,以及用换元的方法,求解指数型函数的值域,属综合性基础题.‎ - 15 -‎ ‎ ‎ - 15 -‎
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