【数学】2019届一轮复习苏教版计数原理、统计与概率学案

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【数学】2019届一轮复习苏教版计数原理、统计与概率学案

高考原题重现 ‎08年:‎ ‎2.一个骰子连续投2次,点数和为4的概率 ▲ ‎ ‎6.在平面直角坐标系中,设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向中随机投一点,则落入中的概率 ▲ ‎ 开始 S¬0‎ 输入Gi,Fi i¬1‎ S¬ S+Gi·Fi i≥5‎ i¬ i+1‎ N Y 输出S 结束 ‎7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),现随机地选择50位老人做调查,下表是50位老人日睡眠时间频率分布表:‎ 序号 ‎(i)‎ 分组 睡眠时间 组中值 ‎(Gi)‎ 频数 ‎(人数)‎ 频率 ‎(Fi)‎ ‎1‎ ‎[4, 5)‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5,6)‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7,8) : K]‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8,9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S的值为    .‎ ‎[ : ]‎ ‎09年:‎ ‎5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ .‎ ‎6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的 生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:‎ ‎ 生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ .‎ ‎10.年 ‎3.盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__‎ ‎4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。‎ ‎11年:‎ ‎5、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率___‎ ‎6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差 ‎12年:‎ ‎2.某 校高一、高二、高三年级的 生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ___ 名 生.‎ ‎6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 _______‎ ‎13年:‎ ‎6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:‎ ‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ‎ ‎7、现有某类病毒记作为,其中正整数可以任意选取,则都取到奇数的概率为 ‎ 附加题:‎ ‎08年:‎ ‎23.请先阅读:在等式()的两边求导,得:‎ ‎,‎ 由求导法则,得,化简得等式:.‎ ‎(1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1+x)n=(,正整数),证明:=.‎ ‎(2)对于正整数,求证:‎ ‎(i)=0;(ii)=0;(iii).‎ ‎09年:‎ ‎23.对于正整数表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数,其中可以相等);对于随机选取的,其中可以相等),记为关于的一元二次方程有实数根的概率.‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)求证:对任意的正整数,有.‎ ‎10年:‎ 22、 ‎(10分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80 ,二等品20 ;生产乙产品,一等品90 ,二等品10 。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 (1) 记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列 (2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 ‎11年:‎ ‎23.设整数是平面直角坐标系中的点,其中.‎ ‎(1)记为满足的点P的个数,求;‎ ‎(2)记为满足是整数的点P的个数,求.‎ ‎12年:‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.‎ ‎ (1)求概率;‎ ‎ (2)求的分布列,并求其数 期望.‎ ‎23.设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:‎ ‎①;②若,则;③若,则。‎ ‎(1)求;(2)求的解析式(用表示).‎ ‎13年:‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 设数列:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,,… ‎ 即当时,。记。对于,定义集合=﹛|为的整数倍,且1≤≤},(1)求中元素个数;(2)求集合中元素个数。‎ 十一、计数原理、统计与概率 ‎66.两个基本计数原理 一、考试等级:B级 二、知识梳理:‎ ‎1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有种不同的方法,在第2类办法中,有种不同的方法,……在第n类办法中,有种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.‎ ‎2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步,有种不同的方法,做第2步,有种不同的方法,……做第n步,有种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.‎ ‎3.两个原理的区别:分类计数原理与 有关,各种方法相互 ,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与 有关,各个步骤相互 ,只有各个步骤都完成了,这件事件才算完成.‎ 参考答案:‎ ‎1.++……+‎ ‎2.××…×‎ ‎3.分类,独立,分步,依存 三、教 建议 例2的变式:‎ 要求A、B两种作物的间隔至少为6垄,则有多少种不同的种植方法?(12种)‎ 例3的变式:‎ 设为等差数列,从中任取4个不同的数,使这4个数仍成等差数列,则这样的等差数列最多有 个. 24‎ 补充例题(1)4个同 ,分配到3个课外小组中活动,共有几种分配方法?‎ ‎(2)4个同 争夺3项竞赛冠军,冠军获得者共有几种可能情况?‎ ‎(3)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点当染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.‎ D B A C S 解:(1)因为每个同 都可分配到任何一个小组中,分法有三种,所以分配方法共有种.‎ (2) 因为每一项冠军都可被任何一同 获得,有四种可能,所以共有 ‎ 种.‎ ‎(3)对A、C是否同色进行分类讨论:.‎ ‎67.排列与组合 一、考试等级:B级 ‎ 二、知识梳理:‎ ‎1.排列 ‎(1)排列的定义:从n个 的元素中取出个不同的元素,按照一定的 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m元素的一个排列.‎ ‎(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出元素的 的个数,叫做从n个不同元素中取出m元素的排列数,用 表示.‎ ‎(3)排列数公式 ‎ . ‎ ‎(4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.‎ ‎ ,这里规定 .‎ ‎2.组合 ‎(1)组合的定义:从n个 的元素中取出个不同的元素 ,叫做从n个不同元素中取出m元素的一个组合.‎ ‎(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m元素的 的个数,叫做从n个不同元素中取出m元素的组合数,用 表示.‎ ‎(3)组合数公式 ‎ .‎ ‎(4)组合数性质:‎ 定理1 .‎ 定理2 .‎ ‎3.解排列应用题的基本思路:‎ ‎(1)基本思路:‎ 直接法:即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数;‎ 间接法:即先不考虑限制条件,求出所有排列数,然后再从中减去不符合条件的排列数.‎ ‎(2)常用方法:特殊元素、特殊位置分析法,排除法(也称去杂法),对称分析法,捆绑法,插空档法,构造法等.‎ ‎2.解排列与组合应用题时,首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合,唯一的标准是“顺序”,有序是排列问题,无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时,一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类,还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础,而且其应用贯穿于排列与组合的始终. 好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘).‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)不同,顺序 (2)所有排列, ‎ ‎(3)‎ ‎(4),1‎ ‎2. (1)不同,并成一组 (2)所有组合, ‎ ‎(3)‎ ‎(4);‎ 三、教 建议 ‎ 例1 增加(3)求的值.‎ 解:∴∵∴‎ ‎∴‎ 例2变式:‎ ‎(1)男女相间而排;‎ ‎(2)甲不在最左边,乙不在最右边;‎ ‎(3)甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变(可以不相邻)‎ 解:(1);‎ ‎ (2);‎ ‎ (3).‎ 例4:变式:‎ 有6本不同的书,下列情况各有多少种不同的分法?‎ ‎(1)分成三堆,每堆2本;‎ ‎(2)分给3人,每人2本;‎ ‎(3)分给3人,一人1本,一人2本,一人3本;‎ ‎(4)分给3人,一人4本,另外2人各1本 .‎ 解:(1);(2);‎ ‎(3);(4).‎ 补充例题:有9 人组成篮球队,其中7人善打前锋,3人善打后卫,现从中选5人(两卫三锋,且锋分左、中、右,卫分左右)组队出场,有多少种不同的组队方法?‎ 解:由题设知,其中有1 人既可打锋,又可打卫,则只会锋的有6人,只会卫的有2 人.列表如下:‎ 人数 ‎6人只会锋 ‎2人只会卫 ‎1人即锋又卫 结果 不同 选法 ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1(卫)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1(锋)‎ 由表知,共有种方法.‎ ‎68.二项式定理 一、考试等级:B级 ‎ 二、知识梳理:‎ ‎1.二项式定理: .‎ ‎2.二项展开式的通项: = .‎ ‎3.二项式系数的性质: ‎ ‎ (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ‎ ‎ (2)最大值:若n是偶数,是中间一项即第项,二次项系数为 ;若n是奇数,是中间两项即第、+1项,二次项系数为 ;‎ ‎(3)各二项式系数的和: = .‎ ‎4.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 .‎ 参考答案:‎ ‎1.‎ ‎2.=‎ ‎3.;、;‎ ‎4.‎ 三、教 建议 例2变式一:已知, ‎ 求.‎ 解:令, 得 ,‎ 令, 得 , ‎ ‎.‎ 变式二:‎ 已知等式.‎ 求:(1)的值;(2)的值.‎ 解:(1)令,得,令,得,;‎ ‎(2)法一:‎ ‎.‎ 法二:两边求导,得:‎ 令,得:.‎ 补充例题:已知 的展开式的系数和大992.求的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.w.‎ 解:由题意 ‎ ‎ (1)的展开式中第6项的二项式系数最大,‎ 即 ‎ ‎ (2)设第项的系数的绝对值最大,‎ ‎69.抽样方法、用样本估计总体 一、考试等级:‎ 内容 要求 A B C 抽样方法 ‎√‎ 总体分布的估计 ‎√‎ 总体特征数的估计 ‎√‎ ‎ ‎ 二、知识梳理:‎ ‎1.简单随机抽样 ‎(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中 地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每个个体都有 的机会被取到,那么这种抽样方法叫做简单随机抽样.‎ ‎(2)简单随机抽样的常用方法有_________和_____________.‎ ‎2.系统抽样的步骤:假设要从容量为N的总体中抽取容量为n为样本.‎ ‎(1)将总体中的个体编号.采用随机的方式将总体中为N个个体编号;‎ ‎(2)将整体的编号分段.将编号按间隔k分段,当是整数时,取 ;当不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数能被n整除,这时取,并将剩下的总体重新编号;‎ ‎(3)确定起始的个体编号.在第一段1,2,3,…,k个号码中用_________确定起始个体编号;‎ ‎(4)抽取样本.按照一定的规则抽取样本,通常将编号为,+k,+2k,……,+(n-1)k的个体抽出.‎ ‎3.分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时,将总体中的个体按____________分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中___________实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样.‎ 子 ]4.编制频率分布表的步骤如下:‎ ‎(1)找到最大最小值,求 ,决定组数,算得组距= ;‎ ‎(2)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;‎ ‎(3)登记 ,计算频率,列出频率分布.‎ ‎ 5.频率分布直方图与折线图 ‎(1)在频率分布直方图中,把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的 ,然后以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的 ,这样得出一系列的矩形,每个矩形的 恰好是该组的频率,所有的矩形的面积和等于 .‎ ‎(2)如果将频率分布直方图中各相信邻的矩形的 顺次连结起来,就得到频率分布折线图.如果将样本容量取得足够 ,分组的组距取得足够 ,那么相应的频率折线图趋于一条光滑曲线,统计中称之为总体分布的 .‎ ‎6.茎叶图 ‎ 茎叶图又称“枝叶图”,它是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面.‎ ‎7.总体特征数的估计 ‎(1)众数:在一组数据中, 的数据叫做这组数据的众数.‎ ‎(2)中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在 的一个数据(或 的两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.‎ ‎(3)平均数:样本数据的算术平均数.‎ 即样本的平均数= ;‎ ‎(4)样本方差S2= .‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)逐个不放回,相同(2)抽签法,随机数表法 ‎2.,简单随机抽样 ‎3.不同的特点,所占的比例 ‎ ‎4.全距,,频数 ‎5.(1)组距,,面积 , 1(2)上底边的中点,大,小,密度曲线 ‎7.(1)出现次数最多(2)最中间,最中间 ‎(3)( x1+x2+…+xn)=‎ ‎(4)‎ 三、教 建议 例4:(2)删掉.‎ 补例:如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组四名同 的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.‎ ‎(1)如果X=8,求乙组同 植树棵数的平均数和方差;‎ 甲组 乙组 ‎0‎ ‎1‎ 9 ‎9‎ ‎1 1‎ X 8 9‎ ‎0‎ ‎(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同 ,求这两名同 的植树总棵数Y的分布列和数 期望.‎ 解:(1);‎ ‎(2)Y的分布列:‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P ‎.‎ ‎70.随机事件的概率、古典概型与几何概型 一、考试等级:‎ 内容 要求 A B C 随机事件及其概率 ‎√‎ 古典概型 ‎√‎ 几何概型号 ‎√‎ 互斥事件及其概率 ‎√‎ 二、知识梳理:‎ ‎1.随机事件 在一定的条件下 的事件叫做随机事件.‎ ‎2.等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有m种,那么事件A的概率P(A)= .‎ ‎3.古典概型 ‎(1)古典概型的特点:①所有的基本事件只有 ;②每个基本事件的发生都是 .‎ ‎(2)古典概型概率公式:P(A)= .‎ ‎4.几何概型 ‎(1)几何概型的特点:①所有的基本事件有 ;②每个基本事件的发生都是 .‎ ‎(2)几何概型的概率公式:在几何区域D中随机取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)= ,其中“测度”的意义按D确定,当D分别为线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别为长度、面积、体积.‎ ‎5.互斥事件与对立事件 ‎(1)互斥事件:不能 的两个事件叫做互斥事件.‎ ‎(2)对立事件:两个互斥事件 ‎ ‎,则称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记作 .‎ ‎(3)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A+B)= .‎ ‎(4)若事件A与B为对立事件,则有P(A)= .‎ 参考答案: ‎ ‎1.可能发生也可能不发生 ‎2.‎ ‎3.有限个,等可能的,P(A)=‎ ‎4.无限个,等可能的, ‎ ‎5.同时发生,必有一个发生,,,‎ 三、教 建议 补充例题:袋内装有6个球,每个球上都记有从1到6的一个号码,设号码为n的球重克,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).‎ ‎ (1)如果任意取出1球,求其重量大于号码数的概率;‎ ‎ (2)如果不放回地任意取出2球,求它们重量相等的概率.‎ 解:(1)由题意,任意取出1球,共有6种等可能的方法.‎ 由不等式 所以,于是所求概率为 ‎ ‎ (2)从6个球中任意取出2个球,共有15种等可能的方法,列举如下:‎ ‎(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)‎ ‎(3,6)(4,5)(4,6)(5,6) ‎ 设第n号与第m号的两个球的重量相等,‎ 则有 故所求概率为. ‎ ‎71. 随机变量及其概率分布、均值与方差 一、考试等级: ‎ 内容 要求 A B C 随机变量及其概率分布 ‎√‎ 均值与方差 ‎√‎ 二、知识梳理:‎ ‎1.一般地,假定随机变量有个不同的取值,它们分别是,,…,,且,,① 则称①为随机变量的概率分布列,简称为的分布列,也可将①用下表形式来表示:‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 称为随机变量X的概率分布表.它和①都叫做随机变量X的概率分布.‎ 显然这里的具有如下性质:‎ ‎(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎2.离散型随机变量的均值 ‎== .‎ ‎3.离散型随机变量的方差 ‎== .‎ ‎4.几个特殊的分布:‎ 二项分布中, , ;‎ 超几何分布中, .‎ 参考答案:‎ ‎1. ,;‎ ‎2.=,其中,‎ ‎3.,‎ ‎4.,,‎ 三、教 建议 ‎ 例1:删去.‎ 补充例题一:受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下: ‎ 将频率视为概率,解答下列问题:‎ ‎(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求,的分布列;‎ ‎(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.‎ 解:(I)首次出现故障发生在保修期内的概率为 ‎(II)随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(III)(万元)‎ ‎ (万元)‎ ‎ 所以应该生产甲品牌汽车.‎ 补充例题二:如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).‎ ‎(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数 期望。‎ 解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种,因此V=0的概率 ‎(2)V的所有可能值为,因此V的分布列为 V ‎0‎ P 由V的分布列可得:‎ EV=.‎ ‎72.超几何分布、二项分布及其应用 一、考试等级:‎ 内容 要求 A B C 超几何分布 ‎√‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√‎ 二项分布 ‎√‎ 二、知识梳理:‎ ‎1. 超几何分布 若一个随机变量X的分布列为 其中,,则称X服从超几何分布,记为:.‎ ‎2.条件概率 ‎(1)定义:设A、B为两个事件,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率, 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记作 ;‎ ‎(2)条件概率公式:一般地,,则事件A发生的条件下事件B发生的条件概率是 .‎ ‎3.事件的相互独立性 设A、B为两个事件,如果 ,则称事件A与事件B相互独立.‎ ‎4.独立重复试验与二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k 次的概率为 ,则称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p)‎ 参考答案:‎ ‎1. ‎ ‎2. ,P(B|A)=P(AB)/P(A)‎ ‎3.P(AB)=P(A)P(B)‎ ‎4..‎ 三、教 建议[ : _ _ _X_X_K]‎ 补充例题一:某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数 期望.‎ 解(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 ‎1-P(C)=1-P= ,解得P= ;‎ ‎(2)由题意,P(=0)=‎ P(=1)=‎ P(=2)=‎ P(=3)=‎ 所以,随机变量的概率分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ P 故随机变量X的数 期望为:‎ E=0.‎ ‎73.综合应用 一、考试等级:‎ 二、知识梳理:‎ 三、教 建议 无
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