【数学】2019届一轮复习苏教版计数原理、统计与概率学案

【数学】2019届一轮复习苏教版计数原理、统计与概率学案

高考原题重现 ‎08年：‎ ‎2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲ ‎ ‎6．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 ▲ ‎ 开始 S¬0‎ 输入Gi，Fi i¬1‎ S¬ S＋Gi·Fi i≥5‎ i¬ i＋1‎ N Y 输出S 结束 ‎7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：‎ 序号 ‎（i）‎ 分组 睡眠时间 组中值 ‎（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率 ‎（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4， 5）‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6）‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7）‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8） : K]‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　　　　．‎ ‎[ : ]‎ ‎09年：‎ ‎5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ .‎ ‎6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的 生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：‎ ‎ 生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ .‎ ‎10．年 ‎3．盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__‎ ‎4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。‎ ‎11年：‎ ‎5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率___‎ ‎6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ‎12年：‎ ‎2．某 校高一、高二、高三年级的 生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ___ 名 生．‎ ‎6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 _______‎ ‎13年：‎ ‎6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：‎ ‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ‎ ‎7、现有某类病毒记作为，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为 ‎ 附加题：‎ ‎08年：‎ ‎23．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：‎ ‎，‎ 由求导法则，得，化简得等式：．‎ ‎（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝（，正整数），证明：＝．‎ ‎（2）对于正整数，求证：‎ ‎（i）＝0；（ii）＝0；（iii）．‎ ‎09年：‎ ‎23．对于正整数表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中可以相等）；对于随机选取的，其中可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）求证：对任意的正整数，有．‎ ‎10年：‎ 22、 ‎（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80 ，二等品20 ；生产乙产品，一等品90 ，二等品10 。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 ‎11年：‎ ‎23．设整数是平面直角坐标系中的点，其中．‎ ‎（1）记为满足的点P的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点P的个数，求．‎ ‎12年：‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数 期望．‎ ‎23．设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；（2）求的解析式（用表示）．‎ ‎13年：‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设数列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，，… ‎ 即当时，。记。对于，定义集合=﹛|为的整数倍，且1≤≤}，(1)求中元素个数；(2)求集合中元素个数。‎ 十一、计数原理、统计与概率 ‎66．两个基本计数原理 一、考试等级：B级 二、知识梳理：‎ ‎1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.‎ ‎2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，……做第ｎ步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.‎ ‎3.两个原理的区别：分类计数原理与 有关，各种方法相互 ，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 有关，各个步骤相互 ，只有各个步骤都完成了，这件事件才算完成．‎ 参考答案：‎ ‎1．＋＋……＋‎ ‎2．××…×‎ ‎3．分类，独立，分步，依存 三、教 建议 例2的变式：‎ 要求A、B两种作物的间隔至少为6垄，则有多少种不同的种植方法？（12种）‎ 例3的变式：‎ 设为等差数列，从中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 个. 24‎ 补充例题（1）4个同 ，分配到3个课外小组中活动，共有几种分配方法？‎ ‎（2）4个同 争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？‎ ‎（3）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点当染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.‎ D B A C S 解：（1）因为每个同 都可分配到任何一个小组中，分法有三种，所以分配方法共有种.‎ （2） 因为每一项冠军都可被任何一同 获得，有四种可能，所以共有 ‎ 种.‎ ‎（3）对A、C是否同色进行分类讨论：.‎ ‎67．排列与组合 一、考试等级：B级 ‎ 二、知识梳理：‎ ‎1.排列 ‎（1）排列的定义：从n个 的元素中取出个不同的元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m元素的一个排列.‎ ‎（2）排列数的定义：从n个不同元素中取出元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m元素的排列数，用 表示.‎ ‎（3）排列数公式 ‎ . ‎ ‎（4）全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.‎ ‎ ，这里规定 .‎ ‎2.组合 ‎（1）组合的定义：从n个 的元素中取出个不同的元素 ，叫做从n个不同元素中取出m元素的一个组合.‎ ‎（2）组合数的定义：从n个不同元素中取出m元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m元素的组合数，用 表示.‎ ‎（3）组合数公式 ‎ .‎ ‎（4）组合数性质：‎ 定理1 .‎ 定理2 .‎ ‎3．解排列应用题的基本思路：‎ ‎（1）基本思路：‎ 直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；‎ 间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.‎ ‎（2）常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.‎ ‎2．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终. 好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.‎ 参考答案：‎ ‎1.（1）不同，顺序 （2）所有排列， ‎ ‎（3）‎ ‎（4），1‎ ‎2. （1）不同，并成一组 （2）所有组合， ‎ ‎（3）‎ ‎（4）；‎ 三、教 建议 ‎ 例1 增加（3）求的值．‎ 解：∴∵∴‎ ‎∴‎ 例2变式：‎ ‎（1）男女相间而排；‎ ‎（2）甲不在最左边，乙不在最右边；‎ ‎（3）甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变（可以不相邻）‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）．‎ 例4：变式：‎ 有6本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？‎ ‎（1）分成三堆，每堆2本；‎ ‎（2）分给3人，每人2本；‎ ‎（3）分给3人，一人1本，一人2本，一人3本；‎ ‎（4）分给3人，一人4本，另外2人各1本 ．‎ 解：（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）．‎ 补充例题：有9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？‎ 解：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2 人．列表如下：‎ 人数 ‎6人只会锋 ‎2人只会卫 ‎1人即锋又卫 结果 不同 选法 ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1（卫）‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1（锋）‎ 由表知，共有种方法．‎ ‎68．二项式定理 一、考试等级：B级 ‎ 二、知识梳理：‎ ‎1．二项式定理： ．‎ ‎2．二项展开式的通项： ＝ ．‎ ‎3．二项式系数的性质： ‎ ‎　（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.　‎ ‎　（2）最大值：若n是偶数，是中间一项即第项，二次项系数为 ；若n是奇数，是中间两项即第、+1项，二次项系数为 ；‎ ‎（3）各二项式系数的和： = .‎ ‎4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 .‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．＝‎ ‎3．；、；‎ ‎4．‎ 三、教 建议 例2变式一：已知， ‎ 求．‎ 解：令, 得 ，‎ 令, 得 , ‎ ‎．‎ 变式二：‎ 已知等式．‎ 求：（1）的值；（2）的值．‎ 解：（1）令，得，令，得，；‎ ‎（2）法一：‎ ‎．‎ 法二：两边求导，得：‎ 令，得：．‎ 补充例题：已知 的展开式的系数和大992．求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．w.‎ 解：由题意 ‎ ‎ （1）的展开式中第6项的二项式系数最大，‎ 即 ‎ ‎ （2）设第项的系数的绝对值最大，‎ ‎69．抽样方法、用样本估计总体 一、考试等级：‎ 内容 要求 A B C 抽样方法 ‎√‎ 总体分布的估计 ‎√‎ 总体特征数的估计 ‎√‎ ‎ ‎ 二、知识梳理：‎ ‎1．简单随机抽样 ‎（1）定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中 地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每个个体都有 的机会被取到，那么这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎（2）简单随机抽样的常用方法有_________和_____________．‎ ‎2．系统抽样的步骤：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n为样本．‎ ‎（1）将总体中的个体编号．采用随机的方式将总体中为N个个体编号；‎ ‎（2）将整体的编号分段．将编号按间隔k分段，当是整数时，取 ；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数能被n整除，这时取，并将剩下的总体重新编号；‎ ‎（3）确定起始的个体编号．在第一段1，2，3，…，k个号码中用_________确定起始个体编号；‎ ‎（4）抽取样本．按照一定的规则抽取样本，通常将编号为，＋k，＋2k，……，＋（n-1）k的个体抽出．‎ ‎3．分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，将总体中的个体按____________分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中___________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．‎ 子 ]4．编制频率分布表的步骤如下：‎ ‎（1）找到最大最小值，求 ，决定组数，算得组距= ；‎ ‎（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；‎ ‎（3）登记 ，计算频率，列出频率分布.‎ ‎ 5．频率分布直方图与折线图 ‎（1）在频率分布直方图中，把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的 ，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的 恰好是该组的频率，所有的矩形的面积和等于 .‎ ‎（2）如果将频率分布直方图中各相信邻的矩形的 顺次连结起来，就得到频率分布折线图.如果将样本容量取得足够 ，分组的组距取得足够 ，那么相应的频率折线图趋于一条光滑曲线，统计中称之为总体分布的 .‎ ‎6．茎叶图 ‎ 茎叶图又称“枝叶图”，它是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面.‎ ‎7．总体特征数的估计 ‎（1）众数：在一组数据中， 的数据叫做这组数据的众数.‎ ‎（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 的一个数据（或 的两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.‎ ‎（3）平均数：样本数据的算术平均数.‎ 即样本的平均数＝ ；‎ ‎（4）样本方差S2＝ .‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）逐个不放回，相同（2）抽签法，随机数表法 ‎2．，简单随机抽样 ‎3．不同的特点，所占的比例 ‎ ‎4．全距，，频数 ‎5．（1）组距，，面积 ， 1（2）上底边的中点，大，小，密度曲线 ‎7．（1）出现次数最多（2）最中间，最中间 ‎（3）( x1+x2+…+xn)=‎ ‎（4）‎ 三、教 建议 例4：（2）删掉.‎ 补例：如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组四名同 的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.‎ ‎（1）如果X=8，求乙组同 植树棵数的平均数和方差；‎ 甲组 乙组 ‎0‎ ‎1‎ 9 ‎9‎ ‎1 1‎ X 8 9‎ ‎0‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同 ，求这两名同 的植树总棵数Y的分布列和数 期望.‎ 解：（1）；‎ ‎（2）Y的分布列：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P ‎.‎ ‎70．随机事件的概率、古典概型与几何概型 一、考试等级：‎ 内容 要求 A B C 随机事件及其概率 ‎√‎ 古典概型 ‎√‎ 几何概型号 ‎√‎ 互斥事件及其概率 ‎√‎ 二、知识梳理：‎ ‎1．随机事件 在一定的条件下 的事件叫做随机事件.‎ ‎2．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有ｍ种，那么事件A的概率P（A）＝ ．‎ ‎3．古典概型 ‎（1）古典概型的特点：①所有的基本事件只有 ；②每个基本事件的发生都是 ．‎ ‎（2）古典概型概率公式：P（A）= ．‎ ‎4．几何概型 ‎（1）几何概型的特点：①所有的基本事件有 ；②每个基本事件的发生都是 ．‎ ‎（2）几何概型的概率公式：在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）= ，其中“测度”的意义按D确定，当D分别为线段、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别为长度、面积、体积．‎ ‎5．互斥事件与对立事件 ‎（1）互斥事件：不能 的两个事件叫做互斥事件．‎ ‎（2）对立事件：两个互斥事件 ‎ ‎，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作 ．‎ ‎（3）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= ．‎ ‎（4）若事件A与B为对立事件，则有P(A)= ．‎ 参考答案： ‎ ‎1．可能发生也可能不发生 ‎2．‎ ‎3．有限个，等可能的，P（A）=‎ ‎4．无限个，等可能的， ‎ ‎5．同时发生，必有一个发生，，，‎ 三、教 建议 补充例题：袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．‎ ‎ （1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；‎ ‎ （2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率．‎ 解：（1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．‎ 由不等式 所以，于是所求概率为 ‎ ‎ （2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下：‎ ‎（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）‎ ‎（3，6）（4，5）（4，6）（5，6） ‎ 设第n号与第m号的两个球的重量相等，‎ 则有 故所求概率为． ‎ ‎71． 随机变量及其概率分布、均值与方差 一、考试等级： ‎ 内容 要求 A B C 随机变量及其概率分布 ‎√‎ 均值与方差 ‎√‎ 二、知识梳理：‎ ‎1．一般地，假定随机变量有个不同的取值，它们分别是，，…，，且，，① 则称①为随机变量的概率分布列，简称为的分布列，也可将①用下表形式来表示：‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫做随机变量X的概率分布．‎ 显然这里的具有如下性质：‎ ‎（1） ．‎ ‎（2） ．‎ ‎2．离散型随机变量的均值 ‎== ．‎ ‎3．离散型随机变量的方差 ‎== ．‎ ‎4．几个特殊的分布：‎ 二项分布中， ， ；‎ 超几何分布中， ．‎ 参考答案：‎ ‎1． ，；‎ ‎2．=，其中，‎ ‎3．，‎ ‎4．，，‎ 三、教 建议 ‎ 例1：删去．‎ 补充例题一：受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： ‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；‎ ‎（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．‎ 解：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为 ‎（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（III）(万元)‎ ‎ (万元)‎ ‎ 所以应该生产甲品牌汽车．‎ 补充例题二：如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．‎ ‎（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数 期望。‎ 解：（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种，因此V=0的概率 ‎（2）V的所有可能值为，因此V的分布列为 V ‎0‎ P 由V的分布列可得：‎ EV=．‎ ‎72．超几何分布、二项分布及其应用 一、考试等级：‎ 内容 要求 A B C 超几何分布 ‎√‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√‎ 二项分布 ‎√‎ 二、知识梳理：‎ ‎1． 超几何分布 若一个随机变量X的分布列为 其中，，则称X服从超几何分布，记为：．‎ ‎2．条件概率 ‎（1）定义：设A、B为两个事件，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率， 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记作 ；‎ ‎（2）条件概率公式：一般地，，则事件A发生的条件下事件B发生的条件概率是 ．‎ ‎3．事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果 ，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎4．独立重复试验与二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为 ，则称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p)‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2． ，P（B|A）=P（AB）/P（A）‎ ‎3．P（AB）=P（A）P（B）‎ ‎4．．‎ 三、教 建议[ : _ _ _X_X_K]‎ 补充例题一：某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和．‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数 期望．‎ 解（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 ‎1-P（C）=1-P= ，解得P= ；‎ ‎（2）由题意，P（=0）=‎ P（=1）=‎ P（=2）=‎ P（=3）=‎ 所以，随机变量的概率分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ P 故随机变量X的数 期望为：‎ E=0．‎ ‎73．综合应用 一、考试等级：‎ 二、知识梳理：‎ 三、教 建议 无