【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第四章三角函数、解三角形4-5第1课时两角和与差的余弦、正弦、正切公式学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第四章三角函数、解三角形4-5第1课时两角和与差的余弦、正弦、正切公式学案

‎1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))‎ cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))‎ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))‎ tan(α-β)=,(T(α-β))‎ tan(α+β)=.(T(α+β))‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α,(S2α)‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)‎ tan 2α=.(T2α)‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.‎ ‎2.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.‎ ‎3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )‎ ‎(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × )‎ ‎(3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ )‎ ‎(4)对任意角α都有1+sin α=(sin +cos )2.( √ )‎ ‎(5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )‎ ‎(6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C ‎=tan Atan Btan C.( √ )‎ ‎1.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°= .‎ 答案  解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,‎ ‎∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)‎ ‎=-tan 20°tan 40°,‎ ‎∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.‎ ‎2.(2016·四川)cos2-sin2= .‎ 答案  解析 由题意可知,cos2-sin2=cos=(二倍角公式).‎ ‎3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ=-,则cos 2θ= .‎ 答案  解析 tan θ=-,则cos 2θ=cos2θ-sin2θ ‎===.‎ ‎4.(2015·江苏)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为 .‎ 答案 3‎ 解析 tan β=tan[(α+β)-α]‎ ‎===3.‎ ‎5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 .‎ 答案 5‎ 解析 由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-22+,所以当sin x=1时函数的最大值为5.‎ 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 和差公式的直接应用 例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角,cos(α+)=.‎ ‎(1)求tan(α+)的值;‎ ‎(2)求sin(2α+)的值.‎ 解 (1)因为α∈(0,),所以α+∈(,),‎ 所以sin(α+)= =,‎ 所以tan(α+)==2.‎ ‎(2)因为sin(2α+)=sin 2(α+)‎ ‎=2sin(α+)cos(α+)=,‎ cos(2α+)=cos 2(α+)‎ ‎=2cos2(α+)-1=-,‎ 所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]‎ ‎=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.‎ 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ ‎ (1)(2016·全国丙卷改编)若tan α=,则cos2α+2sin 2α= .‎ ‎(2)计算:的值为 .‎ 答案 (1) (2) 解析 (1)tan α=,则cos2α+2sin 2α= ‎==.‎ ‎(2)= ‎===.‎ 题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换 例2 (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β= .‎ ‎(2)(2016·镇江期末)由sin 36°=cos 54°,可求得cos 2 016°的值为 .‎ 答案 (1) (2)- 解析 (1)依题意得sin α==,‎ cos(α+β)=±=±.‎ 又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).‎ 因为>>-,所以cos(α+β)=-.‎ 于是cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎(2)由sin 36°=cos 54°,得sin 36°=2sin 18°cos 18°=cos(36°+18°)=cos 36°cos 18°-sin 36°sin 18°=(1-2sin218°)·cos 18°-2sin218°cos 18°=cos 18°-4sin218°·cos 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,解得sin 18°==,cos 2 016°=cos(6×360°-144°)=cos 144°=-cos 36°=2sin218°-1=-.‎ 命题点2 三角函数式的变形 例3 (1)(2016·无锡调研)若tan α=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)= .‎ 答案 - 解析 方法一 因为tan α=,‎ 所以tan 2α===.‎ 又tan(α-β)===-,‎ 故tan β=1.‎ 所以tan(β-2α)===-.‎ 方法二 tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan(α+α-β)‎ ‎=-=-=-.‎ ‎(2)求值:-sin 10°(-tan 5°).‎ 解 原式=-sin 10°(-)‎ ‎=-sin 10°· ‎=-sin 10°· ‎=-2cos 10°= ‎= ‎= ‎==.‎ 引申探究 化简: (0<θ<π).‎ 解 ∵0<<,∴=2sin ,‎ 又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2 ‎=2sin (sin +cos )‎ ‎∴原式= ‎=-cos θ.‎ 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.‎ ‎ (1)(2016·泰州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)= .‎ ‎(2)(2016·南京模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α= .‎ ‎(3)计算:sin 50°(1+tan 10°)= .‎ 答案 (1)- (2)-cos 2α (3)1‎ 解析 (1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=,‎ ‎∴cos(-2α)=cos 2(-α)=2×-1=-.‎ ‎(2)原式=·sin 2α-2cos2α ‎=1-2cos2α=-cos 2α.‎ ‎(3)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)‎ ‎=sin 50°× ‎=sin 50°× ‎====1.‎ ‎8.利用联系的观点进行角的变换 典例 (1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 .‎ ‎(2)若tan α=2tan,则= .‎ 思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=(α-)-(-β);α=(α-β)+β;α+=(α+)-;15°=45°-30°等.‎ 解析 (1)∵α为锐角且cos(α+)=>0,‎ ‎∴α+∈(,),∴sin(α+)=.‎ ‎∴sin(2α+)=sin[2(α+)-]‎ ‎=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)sin ‎=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]‎ ‎=××-[2×()2-1]‎ ‎=-=.‎ ‎(2)= ‎== ‎= ‎= ‎==3.‎ 答案 (1) (2)3‎ ‎1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0,π),cos α=-,则tan(α+)= .‎ 答案  解析 由α∈(0,π),cos α=-,得tan α=-,‎ 则tan(α+)===.‎ ‎2.(2016·盐城三模)若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan α的值为 .‎ 答案 - 解析 若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan(α+)=,‎ 又tan(α+)=,所以tan α=-.‎ ‎3.(2015·重庆改编)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=________.‎ 答案  解析 tan β=tan[(α+β)-α]===.‎ ‎4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,则cos β= .‎ 答案  解析 由于α、β都是锐角,所以α+β∈(0,π),‎ 又cos α=,cos(α+β)=-,‎ 所以sin α=,sin(α+β)=,‎ 所以cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎5.的值是 .‎ 答案  解析 原式= ‎= ‎==.‎ ‎6.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是 .‎ 答案 β<α 解析 ∵α为锐角,sin α-cos α=>0,∴α>.‎ 又tan α+tan β+tan αtan β=,‎ ‎∴tan(α+β)==,‎ ‎∴α+β=,又α>,∴β<<α.‎ ‎7.化简·= .‎ 答案  解析 原式=tan(90°-2α)· ‎=·· ‎=··=.‎ ‎8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α-45°)=-且0°<α<90°,则cos 2α的值为 .‎ 答案  解析 因为sin(α-45°)=-且0°<α<90°,‎ 所以cos(α-45°)= =.‎ cos 2α=sin(90°-2α)=-sin(2α-90°)‎ ‎=-sin[2(α-45°)]=-2sin(α-45°)cos(α-45°)‎ ‎=-2×(-)×=.‎ ‎*9.(2016·南京模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为 .‎ 答案  解析 因为cos(+θ)cos(-θ)‎ ‎=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)‎ ‎=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.‎ 所以cos 2θ=.‎ 故sin4θ+cos4θ=()2+()2‎ ‎=+=.‎ ‎10.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是 .‎ 答案  解析 y=cos x+sin x=2sin(x+),‎ 所以此函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sin(x+m+)的图象,由题意得m+=+kπ(k∈Z),∵m>0,∴m=+kπ(k∈Z且k≥0),‎ ‎∴m的最小值是.‎ ‎11.已知α∈(,π),sin α=.‎ ‎(1)求sin(+α)的值;‎ ‎(2)求cos(-2α)的值.‎ 解 (1)因为α∈(,π),sin α=,‎ 所以cos α=-=-.‎ 故sin(+α)=sin cos α+cos sin α ‎=×(-)+×=-.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α ‎=2××(-)=-,‎ cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=,‎ 所以cos(-2α)=cos cos 2α+sin sin 2α ‎=(-)×+×(-)=-.‎ ‎12.已知α∈(0,),tan α=,求tan 2α和sin(2α+)的值.‎ 解 ∵tan α=,‎ ‎∴tan 2α===,‎ 且=,即cos α=2sin α,‎ 又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,‎ 而α∈(0,),∴sin α=,cos α=.‎ ‎∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,‎ cos 2α=cos2α-sin2α=-=,‎ ‎∴sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin ‎=×+×=.‎ ‎*13.已知cos(+α)cos(-α)=-,α∈(,).‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎(2)求tan α-的值.‎ 解 (1)cos(+α)·cos(-α)‎ ‎=cos(+α)·sin(+α)‎ ‎=sin(2α+)=-,‎ 即sin(2α+)=-.‎ ‎∵α∈(,),∴2α+∈(π,),‎ ‎∴cos(2α+)=-,‎ ‎∴sin 2α=sin[(2α+)-]‎ ‎=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.‎ ‎(2)∵α∈(,),∴2α∈(,π),‎ 又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.‎ ‎∴tan α-=-= ‎==-2×=2.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档