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文档介绍
【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第四章三角函数、解三角形4-5第1课时两角和与差的余弦、正弦、正切公式学案
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β)) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β)) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β)) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β)) tan(α-β)=,(T(α-β)) tan(α+β)=.(T(α+β)) 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α,(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α) tan 2α=.(T2α) 【知识拓展】 1.降幂公式:cos2α=,sin2α=. 2.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. 3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × ) (3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ ) (4)对任意角α都有1+sin α=(sin +cos )2.( √ ) (5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × ) (6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C =tan Atan Btan C.( √ ) 1.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°= . 答案 解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=, ∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°) =-tan 20°tan 40°, ∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=. 2.(2016·四川)cos2-sin2= . 答案 解析 由题意可知,cos2-sin2=cos=(二倍角公式). 3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ=-,则cos 2θ= . 答案 解析 tan θ=-,则cos 2θ=cos2θ-sin2θ ===. 4.(2015·江苏)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为 . 答案 3 解析 tan β=tan[(α+β)-α] ===3. 5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 . 答案 5 解析 由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-22+,所以当sin x=1时函数的最大值为5. 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 和差公式的直接应用 例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角,cos(α+)=. (1)求tan(α+)的值; (2)求sin(2α+)的值. 解 (1)因为α∈(0,),所以α+∈(,), 所以sin(α+)= =, 所以tan(α+)==2. (2)因为sin(2α+)=sin 2(α+) =2sin(α+)cos(α+)=, cos(2α+)=cos 2(α+) =2cos2(α+)-1=-, 所以sin(2α+)=sin[(2α+)-] =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. (1)(2016·全国丙卷改编)若tan α=,则cos2α+2sin 2α= . (2)计算:的值为 . 答案 (1) (2) 解析 (1)tan α=,则cos2α+2sin 2α= ==. (2)= ===. 题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换 例2 (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β= . (2)(2016·镇江期末)由sin 36°=cos 54°,可求得cos 2 016°的值为 . 答案 (1) (2)- 解析 (1)依题意得sin α==, cos(α+β)=±=±. 又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 因为>>-,所以cos(α+β)=-. 于是cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-×+×=. (2)由sin 36°=cos 54°,得sin 36°=2sin 18°cos 18°=cos(36°+18°)=cos 36°cos 18°-sin 36°sin 18°=(1-2sin218°)·cos 18°-2sin218°cos 18°=cos 18°-4sin218°·cos 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,解得sin 18°==,cos 2 016°=cos(6×360°-144°)=cos 144°=-cos 36°=2sin218°-1=-. 命题点2 三角函数式的变形 例3 (1)(2016·无锡调研)若tan α=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)= . 答案 - 解析 方法一 因为tan α=, 所以tan 2α===. 又tan(α-β)===-, 故tan β=1. 所以tan(β-2α)===-. 方法二 tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan(α+α-β) =-=-=-. (2)求值:-sin 10°(-tan 5°). 解 原式=-sin 10°(-) =-sin 10°· =-sin 10°· =-2cos 10°= = = ==. 引申探究 化简: (0<θ<π). 解 ∵0<<,∴=2sin , 又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2 =2sin (sin +cos ) ∴原式= =-cos θ. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等. (1)(2016·泰州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)= . (2)(2016·南京模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α= . (3)计算:sin 50°(1+tan 10°)= . 答案 (1)- (2)-cos 2α (3)1 解析 (1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=, ∴cos(-2α)=cos 2(-α)=2×-1=-. (2)原式=·sin 2α-2cos2α =1-2cos2α=-cos 2α. (3)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+) =sin 50°× =sin 50°× ====1. 8.利用联系的观点进行角的变换 典例 (1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 . (2)若tan α=2tan,则= . 思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=(α-)-(-β);α=(α-β)+β;α+=(α+)-;15°=45°-30°等. 解析 (1)∵α为锐角且cos(α+)=>0, ∴α+∈(,),∴sin(α+)=. ∴sin(2α+)=sin[2(α+)-] =sin 2(α+)cos -cos 2(α+)sin =sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1] =××-[2×()2-1] =-=. (2)= == = = ==3. 答案 (1) (2)3 1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0,π),cos α=-,则tan(α+)= . 答案 解析 由α∈(0,π),cos α=-,得tan α=-, 则tan(α+)===. 2.(2016·盐城三模)若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan α的值为 . 答案 - 解析 若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan(α+)=, 又tan(α+)=,所以tan α=-. 3.(2015·重庆改编)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=________. 答案 解析 tan β=tan[(α+β)-α]===. 4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,则cos β= . 答案 解析 由于α、β都是锐角,所以α+β∈(0,π), 又cos α=,cos(α+β)=-, 所以sin α=,sin(α+β)=, 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-×+×=. 5.的值是 . 答案 解析 原式= = ==. 6.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是 . 答案 β<α 解析 ∵α为锐角,sin α-cos α=>0,∴α>. 又tan α+tan β+tan αtan β=, ∴tan(α+β)==, ∴α+β=,又α>,∴β<<α. 7.化简·= . 答案 解析 原式=tan(90°-2α)· =·· =··=. 8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α-45°)=-且0°<α<90°,则cos 2α的值为 . 答案 解析 因为sin(α-45°)=-且0°<α<90°, 所以cos(α-45°)= =. cos 2α=sin(90°-2α)=-sin(2α-90°) =-sin[2(α-45°)]=-2sin(α-45°)cos(α-45°) =-2×(-)×=. *9.(2016·南京模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为 . 答案 解析 因为cos(+θ)cos(-θ) =(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ) =(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=. 所以cos 2θ=. 故sin4θ+cos4θ=()2+()2 =+=. 10.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是 . 答案 解析 y=cos x+sin x=2sin(x+), 所以此函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sin(x+m+)的图象,由题意得m+=+kπ(k∈Z),∵m>0,∴m=+kπ(k∈Z且k≥0), ∴m的最小值是. 11.已知α∈(,π),sin α=. (1)求sin(+α)的值; (2)求cos(-2α)的值. 解 (1)因为α∈(,π),sin α=, 所以cos α=-=-. 故sin(+α)=sin cos α+cos sin α =×(-)+×=-. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α =2××(-)=-, cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=, 所以cos(-2α)=cos cos 2α+sin sin 2α =(-)×+×(-)=-. 12.已知α∈(0,),tan α=,求tan 2α和sin(2α+)的值. 解 ∵tan α=, ∴tan 2α===, 且=,即cos α=2sin α, 又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1, 而α∈(0,),∴sin α=,cos α=. ∴sin 2α=2sin αcos α=2××=, cos 2α=cos2α-sin2α=-=, ∴sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin =×+×=. *13.已知cos(+α)cos(-α)=-,α∈(,). (1)求sin 2α的值; (2)求tan α-的值. 解 (1)cos(+α)·cos(-α) =cos(+α)·sin(+α) =sin(2α+)=-, 即sin(2α+)=-. ∵α∈(,),∴2α+∈(π,), ∴cos(2α+)=-, ∴sin 2α=sin[(2α+)-] =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =. (2)∵α∈(,),∴2α∈(,π), 又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-. ∴tan α-=-= ==-2×=2.查看更多