【数学】宁夏回族自治区银川一中2020届高三下学期第五次模拟考试试题（理）

【数学】宁夏回族自治区银川一中2020届高三下学期第五次模拟考试试题（理）

宁夏回族自治区银川一中2020届高三下学期第五次模拟考试数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．平面向量与的夹角为，=(1,0),||=1，则|+2|=（ ）‎ A．2 B． C．3 D．7‎ ‎4．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A． B．2 C． D．2 ‎ ‎5．若，则（ ）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎6．华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素 数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使 得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构 成孪生素数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为，则判断框中 可以填（ ）‎ A．k<3？ B．k<4？ ‎ C．k<5？ D．k<6？‎ ‎8．在相距2km的、两点处测量目标，若，则、‎ 两点之间的距离是（ ）‎ A．km B． ‎ C． D．3km ‎9．数列的首项为3，为等差数列且，‎ 若,,则（ ）‎ A．11 B．8 C． 3 D．0‎ ‎10．设是奇函数且满足，当时，，‎ 则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限 的公共点．若，则C2的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12．已知函数是定义在的偶函数，且.当 时，‎ ‎，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取 值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .‎ ‎14．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是_________.‎ ‎15．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列， 若 ‎，则_________.‎ ‎16．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，‎ 则此三棱锥外接球的表面积为_____________.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分)‎ ‎17．（12分）‎ 已知函数（）的图像过点.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求函数的单调递增区间.‎ ‎18.（12分）‎ 空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：‎ 日均浓度 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类型 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：‎ ‎（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并简要说明理由.‎ ‎（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；‎ ‎（3）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，AB=2, AD=CD=1，E是PB的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面PBC；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.‎ ‎20．(12分)‎ 已知抛物线的焦点为F,直线，直线l与C的交点为A,B，同时直线，直线m与C的交点为C、D,与y轴交于点P.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)若求|CD|的长.‎ ‎21．(12分)‎ 已知函数 ‎(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的x∈[0, +∞)成立,求实数a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线C，的参数方程为，(θ为参数)。以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若过点F(1，0)的直线l与C1交于A、B两点，与C2交于M、N两点，求：的取值范围.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知f(x)＝|x－1|＋1，F(x)＝。‎ ‎(1)解不等式f(x)≤2x＋3；‎ ‎(2)若方程F(x)＝a有三个不同的解，求实数a的取值范围.‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D A D C A C D B A ‎13. 3 14. 15.15 16.‎ ‎17.（12分）‎ 解：（1）, ………………………………3分 ‎∵,∴.…………………………………6分 ‎（2）…8分 ‎, …………………10分 ‎∴当时，‎ 即在区间上单调递增. ……………12分 18. ‎（12分）‎ 解：（1）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．……………4分 ‎（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，‎ 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，……………6分 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.8分 ‎（3）的取值为0，1，2，‎ ‎，，．……10分 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望．………………12分 ‎19 . （ 满分12分）‎ ‎（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，……2分 ‎，，‎ ‎，‎ 又，平面PBC，……………4分 ‎∵平面EAC，平面平面PBC ……………6分 ‎（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。‎ 设P（0，0，a）（a>0），则E（，，）， ‎ ‎，，，‎ 取=（1，－1，0）……………8分 则，为面PAC的法向量。‎ 设为面EAC的法向量，则，‎ 即，取，，，‎ 则，‎ 依题意，，则a=1。……………10分 ‎ 于是，‎ 设直线PA与平面EAC所成角为，则，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。……………12分 ‎20.（12分））‎ 解：(1)得：.…………………………2分 设，，‎ 由求根公式得:，，.‎ 则.…………………………6分 ‎⑵设直线，‎ 得：.‎ ‎，…………………………6分 设，，‎ ‎ 可知，，， ，‎ ‎.‎ 解之得：或-8.…………………………8分 ‎，…………………………10分 当时，；当时，.…………………………12分 ‎21.（满分12分）‎