备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题47 待定系数法——求曲线的方程

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题47 待定系数法——求曲线的方程

专题47 待定系数法----求曲线的方程 ‎【热点聚焦与扩展】‎ ‎ 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：‎ 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；‎ 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；‎ 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.‎ 本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.‎ 待定系数法中方程的形式：‎ ‎① 直线：，‎ ‎② 圆：；.‎ ‎③ 椭圆：‎ 标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）‎ 椭圆方程通式：‎ ‎(1)方程与有相同的离心率．‎ ‎(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．‎ ‎④ 双曲线：‎ ‎(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）‎ 双曲线方程通式：‎ ‎(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：‎ 21‎ ‎⑤抛物线：‎ 标准方程：等 抛物线方程通式：，‎ ‎【经典例题】‎ 例1. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D 例2.设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A. 若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（ ）‎ A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x ‎【答案】‎ ‎【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，，故选. x/k//w 例3.中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且与直线相切的椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 21‎ ‎【解析】因为椭圆的离心率，所以，所以，，则可设椭圆的方程为，与联立，并化简得，因为直线与椭圆相切，所以，即，解得，则，所以椭圆的方程为 例4.【2019届华大新高考联盟高三1月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 例5.【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，‎ 双曲线方程为：，本题选择D选项.‎ 例6.【2019届天津市部分区高三上学期期末】以点为圆心的圆与直线相切于点，‎ 21‎ 则该圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ 答案： ‎ 例7.求经过点两点的椭圆标准方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆方程为 ，‎ ‎∵点在椭圆上，‎ ‎∴，解得 故为所求椭圆标准方程．‎ 例8.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．‎ 21‎ ‎（1）若的周长为16，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的周长为可得的值，由离心率为得的值，得坐标，代入直线的点斜式方程可得直线的方程；（2）由离心率及关系化简椭圆方程，联立椭圆及直线方程，整理关于的一元二次方程，由根与系数的关系得的值，代入弦长公式，建立等式，可得的值，从而得椭圆的方程．‎ 则 且 ‎∴，‎ 21‎ 解得，‎ 从而得所求椭圆C的方程为 ． ‎ 例9.椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且 ‎ ‎（1）求椭圆的离心率 x/k**w ‎ ‎（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由椭圆方程可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 联立方程：，消去可得：，即：‎ 21‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，解得： ‎ 经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件 椭圆方程为 ‎ 例10.已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形 ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由（1）可得椭圆的方程为：，‎ 设与椭圆的交点为 21‎ 若斜率不存在，可得弦长 若斜率存在，设，联立方程：‎ ‎，整理可得：‎ ‎ 椭圆方程为：‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线过点且圆相切，则直线的的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，而圆心为，半径为，所以，解得；当直线的斜率不存在，即直线为时，直线与圆相切，所以直线的方程为或，‎ 故选：C．‎ ‎2.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知：圆的标准方程为，所以当时圆的面积最小，此时圆的圆心为，半径为1，又因为直线与圆相切，所以. x.k..w ‎ ‎3.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，， ，且的最小值为，则等于（ ）‎ A. 4 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】B ‎4.如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ 21‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令椭圆的右端点为点，根据对称性可知，那么，又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，，设点的横坐标是，代入椭圆方程，解得，即 ，，因为，所以 ，即 ，可得 ，即 ，即，故选C.‎ ‎5.【2019届江西省南昌市高三第一次模拟】已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 21‎ 联立方程：可得：，‎ 则：，‎ 此时.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6.【2019届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为 ‎∵可化简为 故答案为 ‎7.【2019届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线Ｓ与椭圆的焦点相同,如果是双曲线Ｓ的一条渐近线,那么双曲线Ｓ的方程为_______________.‎ 21‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵椭圆方程为，双曲线Ｓ与椭圆的焦点相同 ‎∴双曲线Ｓ的焦点坐标为 设双曲线方程为 ，则c=5‎ ‎∵是双曲线Ｓ的一条渐近线 ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴， ‎ ‎∴双曲线Ｓ的方程为.‎ 故答案为 ‎8.在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）。‎ ‎（I）求直线的方程；‎ ‎（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】（I）由于直线经过点和F（2，0），则根据两点式得，所求直线的方程为 21‎ ‎9.【2019届全国名校大联考高三第四次联考】（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程；‎ ‎（2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为，据此可得圆心，半径，则所求圆的方程为.‎ ‎(2)圆的标准方程为，得该圆圆心为，半径为，两圆连心线斜率.设所求圆心为，结合弦长公式可得， .则圆的方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）过点且与直线垂直的直线为，‎ 21‎ ‎，∴，‎ ‎，∴.‎ ‎∴.x.k+*w ‎10.【2019届广东省汕头市高三上学期期末】已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.‎ ‎(1) 求圆的方程；‎ ‎(2) 已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）先求出曲线与轴的交点为，再根据圆心在直线，由待定系数法可求得圆的方 解得或，‎ 所以曲线与轴的交点坐标为．‎ 设圆的方程为，‎ 依题意得，‎ 21‎ 解得，‎ 所以圆的方程为．‎ ‎(2)解法一：‎ 由题意知直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为．‎ 由消去整理得 ‎，‎ 因为直线与圆交两点，‎ 所以．‎ 设，‎ 则 因为，‎ 所以，‎ 所以 解得或，‎ 经检验得或满足，‎ 所以直线的方程为或.‎ 解法二：‎ 21‎ 解得 所以圆心到直线的距离等于2，‎ 设直线的方程为，即 ‎ 所以，‎ 解得或，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎11.【2019届山西省晋中市高三1月高考适应性调研】已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ 21‎ ‎（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 点在定直线上 ‎ 有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）将代入抛物线得 ‎∴抛物线的焦点为，则椭圆中，‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴， 解得，‎ 椭圆的方程为 ‎（2）方法一 当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点， ，则直线和直线，联立，解得 21‎ ‎，‎ ‎， ‎ 设，则， ‎ 则直线与直线 联立两直线方程得（其中为点横坐标）‎ 将代入上述方程中可得，‎ 即，‎ 即证 将代入上式可得 ‎，此式成立 ‎∴点在定直线上.‎ 方法二 21‎ ‎，‎ 由， ， 三点共线，有： ‎ 由， ， 三点共线，有： ‎ 上两式相比得 ‎，‎ 解得 ‎∴点在定直线上．‎ ‎12.【2019届广东省深圳市高三第一次调研】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.‎ ‎(1)求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎(2) 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点， ，求的面积最大时直线的方程.‎ 21‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，点的坐标为；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 根据椭圆的离心率为，直线与椭圆有且 试题解析：(1)由，得，故.‎ 则椭圆的方程为.‎ 由，消去，得.①‎ 由，得.‎ 故椭圆的方程为.‎ 21‎ 由，得，‎ ‎.‎ 设原点到直线的距离为.‎ 则.‎ 所以.‎ 所以当时，即时， 的面积最大.‎ 所以直线的方程为或.‎ 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ 21‎