2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

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2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

‎2018高考数学解题技巧 解答题模板3:极坐标与参数方程 1、 题型与考点(1)‎ ‎ (2) ‎ ‎ (3) ‎ ‎2、【知识汇编】‎ 参数方程:直线参数方程: 为直线上的定点, 为直线上任一点到定点的数量;‎ 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:(a,b)为圆心,r为半径;‎ 椭圆的参数方程是;‎ 双曲线的参数方程是;‎ 抛物线的参数方程是 极坐标与直角坐标互化公式:‎ 若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,点P的极坐标为,直角坐标为,则, , , 。‎ 解题方法及步骤 ‎(1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数,先确定一个关系(或,再代入普通方程,求得另一关系(或).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标)‎ 例1、方程(为参数)表示的曲线是( )‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到t与互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含的项,,即有,又注意到 ,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为,显然它表示焦点在轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B.‎ ‎(2)、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与原点重合;(2)极轴与轴正方向重合;(3)取相同的单位长度.设点P的直角坐标为,它的极坐标为,则或;若把直角坐标化为极坐标,求极角时,应注意判断点所在的象限(即角的终边的位置),以便正确地求出角.‎ 例2、极坐标方程表示的曲线是( )‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.‎ 解析:由,化为直角坐标系方程为,化简得.显然该方程表示抛物线,故选D.‎ ‎(3)、参数方程与直角坐标方程互化 例3:已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎ (1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎ (2)曲线,是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.‎ 解:(1)由得,‎ ‎ ∴曲线的普通方程为,‎ ‎ ∵,,‎ ‎ ∵,,,‎ ‎ ∴,即,‎ ‎ ∴曲线的直角坐标方程为;‎ ‎ (2)∵圆的圆心为,圆的圆心为,‎ ‎∴‎ ‎ ∴两圆相交,设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 ‎ ∴, ∴,∴公共弦长为 ‎(4)利用参数方程求值域 例题4、在曲线:上求一点,使它到直线:的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.‎ 解:直线化成普通方程是,设所求的点为,‎ 则C到直线的距离,‎ 当时,即时,取最小值1 ,此时,点的坐标是.‎ ‎5)直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线经过点,倾斜角,‎ ‎①写出直线的参数方程;‎ ‎②设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积.‎ ‎ 解 (1)直线的参数方程为,即. ‎ ‎ (2)把直线代入,‎ 得,,‎ 则点到两点的距离之积为.‎
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