中考数学解题指导专题9：几何三大变换之对称探讨

中考数学解题指导专题9：几何三大变换之对称探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 9：几何三大变换之轴对称探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对 称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、 正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对 称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。 一、轴对称和轴对称图形的识别和构造： 典型例题： 例 1. （2012 重庆市 4 分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此， A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误。 故选 B。 例 2. （2012 广东湛江 4 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此 2 A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。 故选 A。 例 3. （2012 四川达州 3 分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】 【答案】A。 【考点】轴对称图形，中心对称图形。 【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案： A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。 故可得选项 A 与其他图形的对称性不同。故选 A。 例 4. （2012 广西柳州 3 分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】 【答案】C。 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可： A、圆有无数条对称轴，故本选项错误； B、等边三角形有 3 条对称轴，故本选项错误； C、矩形有 2 条对称轴，故本选项正确； D、等腰梯形有 1 条对称轴，故本选项错误。 故选 C。 例 5. （2012 福建三明 8 分）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（－2，－1）， B（－3，－3）， C（－1，－3）. 3 ①画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1 的坐标；（4 分） ②画出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标.（4 分） 【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。 ②如图所示，A2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。 【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A2 的坐标。 例 6. （2012 四川乐山 9 分）如图，在 10×10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一 个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1；（要求：A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应） （2）在（1）问的结果下，连接 BB1，CC1，求四边形 BB1C1C 的面积． 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1 是△ABC 关于直线 l 的对称图形。 4 （2）由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4。 ∴S 四边形 BB1C1C    11 11BB +CC 4= 4+2 =1222   。 【考点】作图（轴对称变换）。 【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作 BM⊥直线 l 于点 M，并延 长到 B1，使 B1M=BM，同法得到 A，C 的对应点 A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。 （2）由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4，根据梯形的面积公式进行计 算即可。 例 7. （2012 贵州安顺 4 分）在镜中看到的一串数字是“ ”，则这串数字是 ▲ ． 【答案】309087。 【考点】镜面对称。 【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是 309087。 例 8. （2012 福建宁德 4 分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线 裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】剪纸问题 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项 B 中所 5 示。故选 B。 例 9. （2012 福建龙岩 12 分）如图 1，过△ABC 的顶点 A 作高 AD，将点 A 折叠到点 D（如图 2）， 这时 EF 为折痕，且△BED 和△CFD 都是等腰三角形，再将△BED 和△CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG 折 叠，使 B、C 两点都与点 D 重合，得到一个矩形 EFGH（如图 3），我们称矩形 EFGH 为△ABC 的边 BC 上的折合矩形． （1）若△ABC 的面积为 6，则折合矩形 EFGH 的面积为 ； （2）如图 4，已知△ABC，在图 4 中画出△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH； （3）如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么，BC 边上的高 AD= ， 正方形 EFGH 的对角线长为 ． 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形 EFGH： （3）2a ； 2a 。 【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形 EFGH 的面积为△ABC 的面积的一半， （2）按题意，作出图形即可。 （3）由如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么，正方形边长为 a， BC 边上的高 AD 为 EFGH 边长的两倍 2a。 根据勾股定理可得正方形 EFGH 的对角线长为 。 6 例 10.（2012 山东潍坊 3 分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后 白棋再下一子，使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形，白棋的 5 个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不 正确的是【 】． [说明：棋子的位置用数对表示，如 A 点在(6，3)] A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2) C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6) 【答案】C。 【考点】利用轴对称设计图案。 【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答： A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形； B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形； C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形； D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。 故选 C。 练习题： 1. （2012 浙江宁波 3 分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】 A． B． C． D． 2. （2012 江苏连云港 3 分）下列图案是轴对称图形的是【 】 A． B． C． D． 3. （2012 贵州遵义 4 分）在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空 白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 ▲ 种． 7 4.（2012 贵州遵义 3 分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则 展开后图形是【 】 A． B． C． D． 5.（2012 广西钦州 3 分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为 AB，在把以 AB 的中点 O 为顶点的平 角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪 出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 6. （2012 四川广安 8 分）现有一块等腰三角形板，量得周长为 32cm，底比一腰多 2cm，若把这个三角形 纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边 形的两条对角线长的和． 7. （2012 浙江杭州 4 分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直 角坐标系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后 点 A 的坐标为 ▲ ． 8 8. （2012 广东广州 12 分）如图，⊙P 的圆心为 P（﹣3，2），半径为 3，直线 MN 过点 M（5，0）且平行 于 y 轴，点 N 在点 M 的上方． （1）在图中作出⊙P 关于 y 轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线 MN 的位置关系． （2）若点 N 在（1）中的⊙P′上，求 PN 的长． 9. （2012 湖南郴州 6 分）作图题：在方格纸中：画出△ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1． 二、线段、角的轴对称性： 典型例题： 例 1. （2012 湖北恩施 3 分）如图，AB∥CD，直线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EG 平分∠BEF，交 CD 于点 G，∠1=50°，则∠2 等于【 】 9 A．50° B．60° C．65° D．90° 【答案】C。 【考点】平行线的性质，角平分线的定义。 【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。 ∵EG 平分∠BEF，∴∠BEG= 1 2 ∠BEF=65°（角平分线的定义）。 ∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。故选 C。 例 2. （2012 海南省 3 分）如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于 D、E．若 AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是 ▲ . 【答案】9。 【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。 【分析】∵OB 是∠B 的平分线，∴∠DBO=∠OBC。 又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。 同理，EO=EC。 又∵AB=5，AC=4， ∴△ADE 的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。 例 3.（2012 广东梅州 3 分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若 EC=1，则 EF= ▲ ． 10 【答案】2。 【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含 30 度 角的直角三角形的性质。 【分析】作 EG⊥OA 于 F， ∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°， ∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。 ∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。 例 3.（2012 贵州铜仁 5 分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到 广场的两个入口 A、B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半，A、B、C 的 位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论， 保留作图痕迹，必须用铅笔作图） 【答案】解：作图如下：M 即为所求。 【考点】作图（应用与设计作图）。 【分析】连接 AB，作出线段 AB 的垂直平分线，在矩形中标出点 M 的位置（以点 C 为圆心， 1 2 AB 长为 半径画弧交 AB 的垂直平分线于点 M）。 11 例 4.（2012 山东德州 8 分）有公路 l1 同侧、l2 异侧的两个城镇 A，B，如下图．电信部门要修建一座信号 发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等， 发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置．（保留作图痕迹， 不要求写出画法） 【答案】解：作图如下：C1，C2 就是所求的位置。 【考点】作图（应用与设计作图）。 【分析】根据题意知道，点 C 应满足两个条件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的 平分线上，所以点 C 应是它们的交点。 （1）作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE；（ 2）作线段 AB 的垂直平分线 FG。则射线 OD，OE 与 直线 FG 的交点 C1，C2 就是所求的位置。 练习题： 1. （2012 湖南怀化 3 分）如图，已知 AB∥CD，AE 平分∠CAB，且交 CD 于点 D，∠C=110°，则∠EAB 为【 】 12 A．30° B．35° C．40° D．45° 2. （2012 贵州黔南 4 分）如图，已知直线 AB∥CD，BE 平分∠ABC，交 CD 于 D，∠CDE=1500，则∠C 的度数是【 】 A．1500 B．1300 C．1200 D．1000 3. （2012 云南省 3 分）如图，在 ABC 中，B=67 ， C=33 ，AD 是 的角平分线，则∠CAD 的 度数为【 】 4. （2012 浙江嘉兴、舟山 5 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4， 则点 D 到斜边 AB 的距离为 ▲ ． 5.（2012 湖南娄底 4 分）如图，FE∥ON，OE 平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= ▲ 度． 三、等腰（边）三角形的轴对称性： 典型例题： 例 1. （2012 黑龙江牡丹江 6 分）已知一个等腰三角形的腰长为 5，底边长为 8，将该三角形沿底边上的高 剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的 对角线的长，并画出体现解法的辅助线 13 【答案】解：能拼成 3 种平行四边形，如图： 图 1 中，对角线的长为 5； 图 2 中，对角线的长为 3 和 73 ； 图 3 中，对角线的长为 4 和 2 13 【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。 【分析】根据平行四边形的性质拼图。图 1 中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为 5；图 2 中，一 条对角线的长为 3，另一条对角线的长为 223 +8 = 73 ；图 2 中，一条对角线的长为 3，另一条对角线的 长为 224 +6 = 52=2 13 。 例 2.（2012 福建三明 4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O， A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】 A． 2 个 B． 3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】如图，分 OP=AP（1 点），OA=AP（1 点），OA=OP（2 点）三种情况讨论。 14 ∴以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 例 3. （2012 湖北荆门 3 分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于 点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q．若 BF=2，则 PE 的长为【 】 A． 2 B． 2 C． D． 3 【答案】C。 【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的 性质。 【分析】∵△ABC 是等边三角形，点 P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°， ∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2× 3 =32 。 ∵FQ 是 BP 的垂直平分线，∴BP=2BQ=2 3 。 在 Rt△BEF 中，∵∠EBP=30°，∴PE= 1 2 BP= 3 。故选 C。 例 4. （2012 上海市 4 分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长 相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为 2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ▲ ． 【答案】4。 【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。 【分析】设等边三角形的中线长为 a，则其重心到对边的距离为： 1 a3 ， 15 ∵它们的一边重合时（图 1），重心距为 2， ∴ 12 a=23 ，解得 a=3。 ∴当它们的一对角成对顶角时（图 2）重心= 222 a=2 3=433   。 例 5. （2012 黑龙江牡丹江 3 分）矩形 ABCD 中，AB=10，BC=3，E 为 AB 边的中点，P 为 CD 边上的点， 且△AEP 是腰长为 5 的等腰三角形，则 DP= ▲ 【答案】4 或 1 或 9。 【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，根据题意， ∵AB=10，BC=3，E 为 AB 边的中点， ∴AE=5，AD=3。 若 AE=AP=5，则在 Rt△ADP1 中， 由勾股定理，得 DP1=4。 若 AE=PE=5，A 作 EF⊥CD 于点 F，则 EF=3，DF=5 在 Rt△EFP2 中，P2F=4，∴DP2=DF－P2F=1：在 Rt△EFP3 中，P3F=4，∴DP3=DF＋P3F=9。 另 AP=EP=5 不成立。 综上所述，DP=4 或 1 或 9。 例 6. （2012 湖北随州 8 分）如图,在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上. 求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE 【答案】证明：（1）∵D 是 BC 的中点，∴BD=CD。 在△ABD 和△ACD 中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)， ∴△ABC≌△ACD（SSS）。 （2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。 在△ABE 和△ACE 中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE， ∴△ABE≌△ACE （SAS）。 ∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。 16 【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理 SSS 可以证得△ABD≌△ACD。 （2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 △ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知 BE=CE。 练习题： 1. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如图，△ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上， 点 D 在 BC 边上，且 ED=EC．若△ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为【 】 A．2 B．3 C． 3 D． 3+1 2. （2012 湖北孝感 3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36º，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D．若 AC＝2，则 AD 的长是【 】 3. （2012 江苏淮安 3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，若∠BAC=700，则∠BAD= ▲ 0。 4. （2012 四川泸州 5 分）如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连结 AE。 求证：AE∥BC 17 5. （2012 甘肃白银 10 分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，∠EFB=60°， DC=EF． （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD． 四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性： 典型例题： 例 1. （2012 辽宁沈阳 3 分）如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中的等腰直角三 角形有【 】 A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．10 个 【答案】C。 【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。 【分析】∵正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， ∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。 ∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA 八个。故选 C。 例 2. （2012 安徽省 4 分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖， 更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a ，则阴影部分的面积为 18 【 】 A.2 2a B. 3 2a C. 4 D.5 【答案】A。 【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。 【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是 2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是 对角线为 a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算： 2 2 211 4222a a a    。故选 A。 例 3. （2012 山西省 2 分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC．BD 的长分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于 点 E，则 AE 的长是【 】 A．5 3cm B． 2 5cm C． 48 cm5 D． 24 cm5 【答案】D。 【考点】菱形的性质，勾股定理。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴CO= 1 2 AC=3，BO= BD=，AO⊥BO， ∴ 2 2 2 2BC= CO +BO 3 +4 5。∴ ABCD 11S BD AC 6 8 2422     菱形 。 又∵ ABCDS BC AE菱形 ，∴BC·AE=24，即  24AE cm5 。故选 D。 例 4. （2012 江苏南通 3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8cm，∠AOD＝120º，则 AB 的长为【 】 A． 3cm B．2cm C．2 3cm D．4cm 19 【答案】D。 【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。 【分析】在矩形 ABCD 中，AO=BO= 1 2 AC=4cm， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB 是等边三角形。 ∴AB=AO=4cm。故选 D。 例 5. （2012 湖北恩施 3 分）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120°，则图中阴 影部分的面积是【 】 A． 3 B．2 C．3 D． 2 【答案】A。 【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，设 BF、CE 相交于点M， ∵菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3， ∴△BCM∽△BGF，∴ CM BC GF BG ，即 CM 2 3 2+3 。 解得 CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。 ∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。 ∴菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60°=2× 3 32  ， 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60°=3× 3 3 3 22 。 ∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM= 1 2 ×0.8× 3 + ×0.8×33 32  。故选 A。 例 6. （2012 广东深圳 3 分）如图，Rt△ABC 中，C= 90o，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方 形对角线交于点 D，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 2 ，则另一直角边 BC 的长为 ▲ ． 20 例 7. （2012 上海市 12 分）己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD，∠BAF=∠DAE， AE 与 BD 交于点 G． （1）求证：BE=DF； （2）当 DF AD FC DF 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形． 21 【答案】证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF， ∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。 ∴△BAE≌△DAF（ASA）。 ∴BE=DF。 （2）∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴ AD DG BE BG 。 又∵BE=DF ， DF AD FC DF ，∴ DF AD DG FC BE BG。∴GF∥BC。 ∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。 又∵BE=DF ，∴BE=GF。∴四边形 BEFG 是平行四边形。 【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形 的判定，平行四边形的判定。 【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF 与△AFD 全等后即可证得结论。 （2）由 AD∥BC 证得△ADG∽△EBG，从而 ；由 和 BE=DF 即可得证得 。从而根据平行线分线段成比例定理证得 FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC， 根据等腰三角形等角对等边的判定和 BE=DF ，证得 BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边 形。 例 8. （2012 湖南娄底 9 分）如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD．BC 的中点，P、Q 分别是 BM、 DN 的中点． （1）求证：△MBA≌△NDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由． 【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°。 ∵在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD．BC 的中点，∴AM= 1 2 AD，CN= BC。 ∴AM=CN。 在△MAB 和△NDC 中， ∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN ∴△MAB≌△NDC（SAS）。 （2）四边形 MPNQ 是菱形，理由如下： 22 连接 AN，易证：△ABN≌△BAM， ∴AN=BM。 ∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。 ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点，∴PM=NQ。 ∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP， ∴△MQD≌△NPB（SAS）。 ∴MQ=PN。 ∴四边形 MPNQ 是平行四边形。 ∵M 是 AB 中点，Q 是 DN 中点，∴MQ= 1 2 AN，∴MQ= BM。 又∵MP= BM，∴MP=MQ。∴四边形 MQNP 是菱形。 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。 【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定△MBA≌△NDC。 （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，由（1）可得到 BM=CN，再有中点得到 PM=NQ，再通过 证明△MQD≌△NPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三角形中位线的性质可 得：MP=MQ，从而证明四边形 MQNP 是菱形。 例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. 求证：AM⊥DF. 【答案】证明：∵ABCD 是正方形，∴OD=OC。 又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。 在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ， ∴△AOE≌△DOF（SAS）。 ∴∠OAE=∠ODF。 ∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。 【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF， 然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。 23 例 10.（2012 贵州贵阳 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上． （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长． 练习题： 1. （2012 陕西省 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE⊥AB，垂足为 E，若 24 ∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为【 】 A．75° B．65° C．55° D．50° 2. （2012 江苏苏州 3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC.若 AC=4， 则四边形 CODE 的周长是【 】 B O D E C A A.4 B.6 C.8 D. 10 3. （2012 江苏徐州 3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= 1 4 BC。图 中相似三角形共有【 】 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 4. （2012 贵州毕节 3 分）如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点作等边△AEF，交 BC 边于 E，交 DC 边于F；又以 A 为圆心，AE 的长为半径作 EF 。若△AEF 的边长为 2，则阴影部分的面积约是【 】 （参考数据： 2 1.414 3 1.732 ， ，π 取 3.14） 25 A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36 5. （2012 安徽省 5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 6. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如图，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数），点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到△AME．当 AB=1 时， △AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，△AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，△AME 的面积记为 S3；…； 当 AB=n 时，△AME 的面积记为 Sn．当 n≥2 时，Sn﹣Sn﹣1= ▲ ． 7. （2012 重庆市 10 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M， 过 M 作 ME⊥CD 于点 E，∠1=∠2． （1）若 CE=1，求 BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME． 8. （2012 四川凉山 7 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=12，点 E 在 AD 边上，且 AE=8，EF⊥BE 交 CD 于 F． 26 （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）求 EF 的长． 9.（2012 四川内江 9 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 BD 上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED， 点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F。 （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）当 AE=2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论。 10. （2012 贵州黔南 12 分）如图 1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点， 且 AE⊥EF，BE=2 （1）求 EC：CF 值； （2）延长 EF 交正方形∠BCD 的外角平分线 CP 于点 P（图 2），试判断 AE 与 EP 大小关系，并说明理由； （3）在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不 存在，请说明理由。 五、等腰梯形的轴对称性： 27 典型例题： 例 1. （2012 广东广州 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB 交 BC 于 点 E，且 EC=3，则梯形 ABCD 的周长是【 】 A．26 B．25 C．21 D．20 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。 【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形 ABED 是平行四边形。∴BE=AD=5。 ∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC=4。 ∴梯形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选 C。 例 2. （2012 福建漳州 4 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D 的度数 是【 】 A．120o B．110o C．100o D．80o 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。 【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选 C。 例 3. （2012 山东临沂 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC．BD 相交于点 O，下列 结论不一定正确的是【 】 A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 28 【答案】C。 【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角 和定理。 【分析】A．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。 B．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB， ∵在△ABC 和△DCB 中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）。 ∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。 C．∵BC 和 BD 不一定相等，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误。 D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。 故选 C。 例 4. （2012 山东烟台 3 分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形 ABCD 的下底在 x 轴上，且 B 点坐标为 （4，0）， D 点坐标为（0，3），则 AC 长为【 】 A．4 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】B。 【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。 【分析】如图，连接 BD， 由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得 BD=5。 又∵ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选 B。 例 5. （2012 内蒙古呼和浩特 3 分）已知：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7， 则梯形的面积是【 】 A．25 B．50 C． 25 2 D． 30 2 4 【答案】A。 【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，作 DF⊥BC 于 F。 ∵AD∥BC，DE∥AC， 29 ∴四边形 ACED 是平行四边形。∴AD=CE=3，AC=DE。 在等腰梯形 ABCD 中，AC=DB，∴DB=DE。 ∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。 ∴△BDE 是等腰直角三角形。∴DF= 1 2 BE=5。 S 梯形 ABCD= 1 2 （AD+BC）•DF= 1 2 （3+7）×5=25。故选 A。 例 6. （2012 江苏南京 8 分）如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC  BD， E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积。 【答案】（1）证明：在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF= 1 2 AC。 同理 FG= BD，GH= AC，HE= BD。 ∵在梯形 ABCD 中，AB=DC，∴AC=BD。 ∴EF=FG=GH=HE，∴四边形 EFGH 是菱形。 设 AC 与 EH 交于点 M， 在△ABD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，则 EH∥BD，同理 GH∥AC。 又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。 ∴四边形 EFGH 是正方形。 （2）解：连 接 EG。 在梯形 ABCD 中，∵E、F 分别是 AB、DC 的中点， ∴ 1EG AD BC 32  （ ） 。 在 Rt△EHG 中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH， ∴ 2 9EH 2 ，即四边形 EFGH 的面积为 9 2 。 【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。 30 【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由 AC⊥BD 入手，进行正方形的判断。 （2）连接 EG，利用梯形的中位线定理求出 EG 的长，然后结合（1）的结论求出 2 9EH 2 ，也 即得出了正方形 EHGF 的面积。 例 7. （2012 湖南永州 8 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上，且 AE=GF=GC．求证：四边形 AEFG 为平行四边形． 【答案】证明：∵梯形 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC， ∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。 ∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。 ∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。 又∵AE=GF， ∴四边形 AEFG 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。 【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再 根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC， 故可得出 AB∥GF，再由 AE=GF 即可得出结论。 练习题： 1. （2012 江苏无锡 3 分）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD 的垂直平分线交 BC 于 E，连接 DE，则四边形 ABED 的周长等于【 】 A． 17 B． 18 C． 19 D． 20 2. （2012 福建厦门 4 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 OB ＝3，则 OC＝ ▲ ． 31 3. （2012 辽宁营口 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 D 作 DF⊥BC 于 F．若 AD=2， BC=4，DF=2，则 DC 的长为 ▲ ． 4. （2012 江苏苏州 6 分）如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AB=CD，延长线段 CB 到 E，使 BE=AD， 连接 AE、AC. ⑴求证：△ABE≌△CDA； ⑵若∠DAC=40°，求∠EAC 的度数. E D CB A 5. （2012 湖南怀化 10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，点 E 为底边 BC 的中点，连结 AE、DE．求证： AE=DE． 6. （2012 四川南充 6 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是 AD 延长线上的一点，且 CE=CD， 求证：∠B=∠E 六、圆的轴对称性： 32 典型例题： 例 1. （2012 陕西省 3 分）如图，在半径为 5 的圆 O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB=CD=8， 则 OP 的长为【 】 A．3 B．4 C．32 D． 24 例 2. （2012 江苏泰州 3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A=50°，则∠OCD 的度数是 【 】 A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A。 【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。 【分析】连接 OB， ∵∠A 和∠BOC 是弧 BC 所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°， 33 ∴∠BOC=2∠A=100°。 又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC= 1 2 ∠BOC=50°。 ∴∠OCD=1800－900－500=400。故选 A。 例 3. （2012 四川内江 3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥A，∠CDB=300，CD= 23，则阴影部分 图形的面积为【 】 A. 4 B. 2 C. D. 2 3  【答案】D。 【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。 【分析】连接 OD。 ∵CD⊥AB，CD= 23，∴CE=DE= 1 CD 32  （垂径定理）。 ∴ OCE CDESS 。∴阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积。 又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。 ∴OC=2。 ∴ 2 OBD 60 2 2S 360 3 扇形 ，即阴影部分的面积为 2 3  。故选 D。 例 4. （2012 山东泰安 3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不成立的是【 】 A．CM=D M B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 【答案】D。 34 【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。 【分析】∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M， ∴M 为 CD 的中点，即 CM=DM，选项 A 成立； ∵B 为CD的中点，即CB=DB，选项 B 成立； 在△ACM 和△ADM 中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM， ∴△ACM≌△ADM（SAS）， ∴∠ACD=∠ADC，选项 C 成立。 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立。 故选 D。 例 5. （2012 浙江衢州 4 分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm，测 得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 ▲ mm． 【答案】8。 【考点】垂径定理的应用，勾股定理。 【分析】连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则 AB=2AD， ∵钢珠的直径是 10mm，∴钢珠的半径是 5mm。 ∵钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，∴OD=3mm。 在 Rt△AOD 中，∵ 2 2 2 2AD OA OD 5 3 4     mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm。 例 6. （2012 山东东营 4 分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图 1），若不计木条的厚 度，其俯视图如图 2 所示，已知 AD 垂直平分 BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是 ▲ cm． 35 【答案】30。 【考点】垂径定理的应用，勾股定理。 【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与 B 点，可通过勾股定理即可求 出圆的半径： 如图，连接 OB， 当⊙O 为△ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。 ∵AD 垂直平分 BC，AD=BC=48cm，∴O 点在 AD 上，BD=24cm。 在 Rt△0BD 中，设半径为 r，则 OB=r，OD=48－r。 ∴r2=（48－r）2＋242，解得 r=30。 ∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为 30cm。 例 7. （2012 青海省 2 分）如图，已知点 E 是圆 O 上的点，B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点，∠BOC=46°， 则∠AED 的度数为 ▲ 度． 【答案】69。 【考点】圆周角定理。 【分析】∵B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°（等弧所对圆心角相等）。 ∴∠AED=138°÷2=69°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。 例 8. （2012 江苏南通 8 分）如图，⊙O 的半径为 17cm，弦 AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心 O 位于 AB、CD 的上方，求 AB 和 CD 间的距离． 【答案】解：分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为 E、F，连接 OA，OC。 ∵AB=30，CD=16，∴AE= 1 2 AB=15，CF= CD=8。 36 又∵⊙O 的半径为 17，即 OA=OC=17。 ∴在 Rt△AOE 中， 2 2 2 2OE OA AE 17 15 8     。 在 Rt△OCF 中， 2 2 2 2OF OC CF 17 8 15     。 ∴EF=OF－OE=15－8=7。 答：AB 和 CD 的距离为 7cm。 【考点】垂径定理，勾股定理。 【分析】分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为 E、F；由于 AB∥CD，则 E、O、F 三点共线，EF 即为 AB、CD 间的距离；由垂径定理，易求得 AE、CF 的长，可连接 OA、ODC 在构建的直角三角形中，根据 勾股定理即可求出 OE、OF 的长，也就求出了 EF 的长，即弦 AB、CD 间的距离。 例 9. （2012 湖南岳阳 6 分）如图所示，在⊙O 中， AD AC ，弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于点 F，连接 BC． （1）求证：AC2=AB•AF； （2）若⊙O 的半径长为 2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：∵ AD AC ，∴∠ACD=∠ABC。 又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。 ∴ AC AF=AB AC ，即 AC2=AB•AF。 （2）解：如图，连接 OA，OC，过 O 作 OE⊥AC，垂足为点 E， ∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= 1 2 ×120°=60°。 在 Rt△AOE 中，OA=2， OE=OAcos60°=1 ∴ 22AE= OA OE = 3 。∴AC=2AE=2 3 。 ∴  2 2 AOCOAC 120 2 1 4S S S 2 3 1 3 cm360 2 3          扇形影阴 。 37 【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。 【分析】（1）由 AD AC ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对 对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。 （2）连接 OA，OC，过 O 作 OE 垂直于 AC，垂足为点 E，由扇形 AOC 的面积﹣△AOC 的面积表 示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。 例 10. （2012 四川攀枝花 4 分）如图，以 BC 为直径的⊙O1 与⊙O2 外切，⊙O1 与⊙O2 的外公切线交于点 D，且 ∠ADC=60°，过 B 点的⊙O1 的切线交其中一条外公切线于点 A．若 ⊙O2 的面积为 π，则四边形 ABCD 的面积是 ▲ ． 【答案】12 3 。 【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。 【分析】∵⊙O2 的面积为 π，∴⊙O2 的半径是 1。 ∵AB 和 AH 是⊙O1 的切线，∴AB=AH。 设⊙O2 的半径是 R，连接 DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作 O2F⊥BC 于 F。 ∵⊙O1 与⊙O2 外切，⊙O1 与⊙O2 的外公切线 DC、DA，∠ADC=60° ∴D．O2、O1 三点共线，∠CDO1=30°。 ∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。 ∴四边形 CFO2E 是矩形， ∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。 ∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。 即 DO1=2+1+3=6， 在 Rt△CDO1 中，由勾股定理得：CD=33。 38 ∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH= 3 =AB。 ∴四边形 ABCD 的面积是： 1 2 ×（AB+CD）×BC= ×（ +33）×（3+3）=12 。 例 11.（2012 广东佛山 11 分）（1）按语句作图并回答：作线段 AC（AC=4），以 A 为圆心 a 为半径作圆， 再以 C 为圆心 b 为半径作圆（a＜4，b＜4，圆 A 与圆 C 交于 B、D 两点），连接 AB、BC、CD、DA． 若能作出满足要求的四边形 ABCD，则 a、b 应满足什么条件？ （2）若 a=2，b=3，求四边形 ABCD 的面积． 【答案】解：（1）作图如下： 能作出满足要求的四边形 ABCD，则 a、b 应满足的条件是 a+b＞4。 （2）连接 BD，交 AC 于 E， ∵⊙A 与⊙C 交于 B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设 CE=x，则 AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴由勾股定理得： 2 2 2 2 2BE 3 x 2 4 x    （ ） 解得： 21x 8 。 ∴ 2 2 21 3 15BE 3 88    。 ∴四边形 ABCD 的面积是 1 3 15 3 152 AC BE 42 8 2      。 答：四边形 ABCD 的面积是 3 15 2 。 【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。 【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案； （2）连接 BD，根据相交两圆的性质得出 DB⊥AC，BE=DE，设 CE= x，则 AE=4－x，根据勾股 定理得出关于 x 的方程，求出 x，根据三角形的面积公式求出即可。 39 练习题： 1. （2012 湖北恩施 3 分）如图，两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm，大圆的一条弦 AB 与小圆相切， 则弦 AB 的长为【 】 A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm 2. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则 ⊙O 的直径为【 】 A. 8 B. 10 C.16 D.20 3. （2012 河北省 2 分）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径），AB⊥CD 于点 E，则下列结论正 确的是【 】 A．AE＞BE B． AD BC C．∠D= 1 2 ∠AEC D．△ADE∽△CBE 4. （2012 浙江台州 5 分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16 厘米，则球的半径为 ▲ 厘米． 5. （2012 辽宁朝阳 3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB，垂足为 E，已知 CD=6， AE=1，则⊙O 的半径为 ▲ 。 40 6. （2012 辽宁锦州 3 分）如图，∠PAC=30°，在射线 AC 上顺次截取 AD=3 ㎝，DB=10 ㎝，以 DB 为直径 作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点，则线段 EF 的长是 ▲ ㎝. 7. （2012 青海西宁 2 分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面 AB 宽为 2m，净高 CD 为 5m，则圆拱 形门所在圆的半径为 ▲ m． 8. （2012 辽宁沈阳 10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC， 垂足为 E，连接 BD. (1)求证：BD 平分∠ABC； (2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD. 9. （2012 吉林长春 5 分）如图，在同一平面内，有一组平行线 l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均 为 4，点 O 在直线 l1 上，⊙O 与直线 l3 的交点为 A、B，AB=12，求⊙O 的半径． 10. （2012 广西桂林 10 分）如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，⊙O1 经过⊙O2 的圆心，顺次连接 41 A、O1、B、O2． (1)求证：四边形 AO1BO2 是菱形； (2)过直径 AC 的端点 C 作⊙O1 的切线 CE 交 AB 的延长线于 E，连接 CO2 交 AE 于 D，求证：CE＝2O2D； (3)在(2)的条件下，若△AO2D 的面积为 1，求△BO2D 的面积． 七、折叠的轴对称性： 典型例题： 例 1. （2012 广东梅州 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】 A．150° B．210° C．105° D．75° 【答案】A。 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。 故选 A。 例 2. （2012 江苏南京 2 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A’、 D’处，且 A’D’经过 B，EF 为折痕，当 D’F  CD 时， CF FD 的值为【 】 42 A. 31 2  B. 3 6 C. 2 3 1 6  D. 31 8  【答案】A。 【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值。 【分析】延长 DC 与 A′D′，交于点 M， ∵在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°， ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。 ∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。 ∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。 设 CF=x，D′F=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y， 在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= D F y 3 FM 2x y 3   ，∴ 3-1xy2 。 ∴ CF x 3-1 FD y 2 。故选 A。 43 例 3. （2012 湖北荆门 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折 叠，则图中阴影部分的周长为【 】 A． 8 B． 4 C． 8 D． 6 【答案】C。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。 【分析】如图，∵正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 ， 即 BD=2 ，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°， ∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2 22 =22 。 ∴AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD， ∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 故选 C。 例 4.（2012 山东泰安 3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2， BC=3，则△FCB′与△B′DG 的面积之比为【 】 A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9 【答案】D。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定 和性质。 【分析】设 BF=x，则由 BC=3 得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。 44 ∵点 B′为 CD 的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。 在 Rt△B′CF 中，B′F2=B′C2+CF2，即 22x 1 (3 x)   ，解得： 5x 3 ，即可得 CF= 543 33。 ∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。 根据面积比等于相似比的平方可得： 2 2PCB B DG S FC 4 16()S B D 3 9      。故选 D。 例 5.（2012 青海西宁 3 分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手 指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过 折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 【 】 A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C。 【考点】翻折变换（折叠问题）。 【分析】如图②，∵△CDE 由△ADE 翻折而成，∴AD=CD。 如图③，∵△DCF 由△DBF 翻折而成，∴BD=CD。 ∴AD=BD=CD，点 D 是 AB 的中点。∴CD= 1 2 AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 故选 C。 例 6.（2012 黑龙江绥化 3 分）长为 20，宽为 a 的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边 长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时 矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形， 则操作停止．当 n=3 时，a 的值为 ▲ . 45 例 7. （2012 海南省 11 分）如图（1），在矩形 ABCD 中，把∠B、∠D 分别翻折，使点 B、D 分别落在 对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN. （1）求证：△AND≌△CBM. （2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQ∥MN。 且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度. 46 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形 MFNE 是平行四边形。 四边形 MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900， ∴在△EMF 中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形 MFNE 不是菱形。 （3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设 DN=x，则由 S△ADC=S△AND＋S△NAC 得 3 x＋5 x=12，解得 x= 3 2 ，即 DN=BM= 。 过点 N 作 NH⊥AB 于 H，则 HM=4－3=1。 在△NHM 中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得 NM= 10 。 ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形 NMQP 是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM= 。 又∵PQ=CQ，∴CQ= 。 在△CBQ 中，CQ= ，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。 47 ∴NP=MQ= 1 2 。∴PC=4－ 3 2 － =2。 【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判 定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到△AND≌△CBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设 DN=x，则由 S△ADC=S△AND＋S△NAC 可得 DN=BM= 。过点 N 作 NH⊥AB 于 H，则由勾 股定理可得 NM= 10 ，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ= 。因此，在△CBQ 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。 例 8. （2012 广东深圳 8 分）如图，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，连接 AF、CE. (1)求证：四边形 AFCE 为菱形； (2)设 AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个 a、b、c 三者之间的数量关系式． 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。 由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。 ∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形 AFCE 为菱形。 （2）解：a、b、c 三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下： 由折叠的性质，得：CE=AE。 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D=90°。 ∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。 在 Rt△DCE 中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c 三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。 【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形 ABCD 与折叠的性质，易证得△CEF 是等腰三角形，即 CE=CF，即可证得 AF=CF=CE=AE，即可得四边形 AFCE 为菱形。 （2）由折叠的性质，可得 CE=AE=a，在 Rt△DCE 中，利用勾股定理即可求得：a、b、c 三者之 48 间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一） 例 9.（2012 广东珠海 9 分） 已知，AB 是⊙O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B），把△AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在⊙O 上． （1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1），判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果）； （2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2），（ 1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3），过 C 点作 CD⊥直线 AP 于 D，且 CD 是⊙O 的切线，证明：AB=4PD． 【答案】解：（1）PO 与 BC 的位置关系是 PO∥BC。 （2）（ 1）中的结论 PO∥BC 成立。理由为： 由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。 又∵∠A 与∠PCB 都为 PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。 ∴PO∥BC。 （3）证明：∵CD 为圆 O 的切线，∴OC⊥CD。 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。 由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO 为等边三角形。 ∴∠AOP=60°。 又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。 又∵OC=OB，∴△BC 为等边三角形。∴∠COB=60°。 ∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。 又∵OP=OC，∴△POC 也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。 又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。 在 Rt△PCD 中，PD= 1 2 PC， 49 又∵PC=OP= 1 2 AB，∴PD= 1 4 AB，即 AB=4PD。 练习题： 1. （2012 江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5°角的正切值是【 】 A． 3 ＋1 B． 2 ＋1 C．2.5 D． 5 50 2. （2012 福建南平 4 分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、 AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为【 】 A． 3 2 B． 5 2 C． 9 4 D．3 3. （2012 湖北武汉 3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处．若 AE＝5，BF＝3，则 CD 的长是【 】 A．7 B．8 C．9 D．10 4. （2012 四川内江 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5 点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1 处，则阴影部分图形的周长为【 】 A.15 B.20 C.25 D.30 5. （2012 山东潍坊 3 分）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ΔABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=【 】． 51 A． 51 2  B． 5+1 2 C . 3 D．2 6. （2012 广东省 9 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8．把△BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 G；E、F 分别是 C′D 和 BD 上的点，线段 EF 交 AD 于点 H，把△FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D′处，点 D′恰好与点 A 重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求 tan∠ABG 的值； （3）求 EF 的长． 7. （2012 吉林省 8 分）如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=90°，半径 OA=6．将扇形 OAB 沿过点 B 的直 线折叠，点 O 恰好落在 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，求整个阴影部分的周长和面积． 8.（2012 江西南昌 12 分）已知，纸片⊙O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作． （1）①折叠后的 AB 所在圆的圆心为 O′时，求 O′A 的长度； ②如图 2，当折叠后的 经过圆心为 O 时，求 AOB 的长度； ③如图 3，当弦 AB=2 时，求圆心 O 到弦 AB 的距离； （2）在图 1 中，再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作． ①如图 4，当 AB∥CD，折叠后的 与CD 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB．CD 的距离之和为 d， 求 d 的值； ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的 与 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点，试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论． 52 八、利用轴对称性求最值： 典型例题： 例 1. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上分 别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为【 】 A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】B。 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。 【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M ＋∠A″)即可得出答案： 如图，作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 A′A″即为 △AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。 ∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。 ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。 ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。 53 故选 B。 例 2. （2012 福建莆田 4 分）点 A、Ｂ均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点， 则 OP OQ ＝ ▲ ． 【答案】5。 【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与 方程的关系。 【分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q，求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论： 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P， 由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PA－PB|的值最大的点。 ∵点 B 是正方形 ADPC 的中点， ∴P（3，0）即 OP=3。 作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q，则 A′B 即为 QA+QB 的最小值。 ∵A′（-1，2），B（2，1）， 设过 A′B 的直线为：y=kx+b， 则 2 k b 1 2k b      ，解得 1k 3 5b 3     。∴Q（0， 5 3 ），即 OQ= 5 3 。 ∴OP•OQ=3× 5 3 =5。 54 例 3.（2012 四川攀枝花 4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一 动点，则 PE+PB 的最小值为 ▲ ． 【答案】 25。 【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。 【分析】连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。 ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称，∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 ∵AB=4，E 是 BC 的中点，∴CE=2。 在 Rt△CDE 中， 2 2 2 2DE= CD +CE 4 +2 2 5。 例 4. （2012 四川凉山 8 分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。 如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规 律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（2）），问 题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的： ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′． ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 得周长最小． 55 （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ． 【答案】解：（1）作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）8． 【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连 接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值，即可得出答案： ∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线。 ∵BC=6，BC 边上的高为 4，∴DE=3，DD′=4。 ∴ 2 2 2 2D E DE DD 3 4 5       。 ∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。 例 5. （2012 山东青岛 3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm． 56 【答案】15。 【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯 上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP＋PC 为蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP。 由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 2 2 2 2BC DC BD 9 12 15     。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为 15cm。 练习题： 1. （2012 广西贵港 2 分）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN＝20，AC＝8，BD＝6，则 PA＋PB 的最小值是 ▲ 。 57 2. （2012 浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD， BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】 A． 1 B． 3 C． 2 D． 3 ＋1 3. （2011 辽宁本溪 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值【 】 A、2 B、4 C、 22 D、 42 4.（2011 辽宁阜新 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的 任意一点，当△AEF 的周长最小时，则 DF 的长为【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 5.（2011 贵州六盘水 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 的 中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是 【 】 58 A．3 B．4 C．5 D．6 6.（2011 甘肃天水 4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线 AC 平分∠BAD， 点 E 在 AB 上，且 AE=2（AE＜AD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 ▲ ． 九、解析几何中图形的轴对称性： 典型例题： 例 1. （2012 广东深圳 3 分）已知点 P(a＋l，2a －3)关于 x 轴的对称点在第一象限，则 a 的取值范围是【 】 A.a1 B. 31a 2   C. 3 a12   D. 3a 2 例 2. （2012 江苏南通 3 分）线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，线段 M1N1 与 MN 关于 y 轴对 称， 则点 M 的对应的点 M1 的坐标为【 】 59 A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 【答案】D。 【考点】平面坐标系与坐标，关于 y 轴对称的点的坐标特征。 【分析】关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点 M(－4，－2)关于 y 轴 对称的点 M1 的坐标是(4，－2)。故选 D。 例 3. （2012 青海西宁 2 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝12，BD＝16， E 为 AD 的中点，点 P 在 x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标为(－5，0) 和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的 P 点的坐标 ▲ ． 【答案】（8，0），（ 25 8 ，0）。 【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，OA= 1 2 AC= ×12=6，OD= BD= ×16=8。 ∴在 Rt△AOD 中，AD= 22OA OD 10。 ∵E 为 AD 中点，∴OE= AD= ×10=5。 ①当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0）。 ②当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0）。 ③如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EK⊥BD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P。 60 ∴EK∥OA。∴EK：OA=ED：AD=1：2。∴EK= 1 2 OA=3。 ∴OK= 22OE EK 4。 ∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。 ∴OP：OE=OF：OK，即 OP：5= 5 2 ：4，解得：OP= 25 8 。 ∴P 点坐标为（ ，0）。 ∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（8，0），（ ，0）。 例 4. （2012 江苏常州 2 分）已知二次函数    2y=a x 2 +c a 0> ，当自变量 x 分别取 2 ，3，0 时，对应 的值分别为 1 2 3y y y， ， ，则 的大小关系正确的是【 】 A. 3 2 1y y y<< B. 1 2 3y y y<< C. 213y y y<< D. 3 1 2y y y<< 【答案】 B。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】由二次函数    2y=a x 2 +c a 0> 知， 它的图象开口向上，对称轴为 x=2，如图所示。 根据二次函数的对称性，x=3 和 x=1 时，y 值相等。 由于二次函数 在对称轴 x=2 左侧，y 随 x 的增大而减小，而 0＜1＜ 2 ， 61 因此， 1 2 3y y y<<。故选 B。 例 5.（2012 吉林长春 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线  2y=a x 3 +k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 ▲ . 【答案】18。 【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。 【分析】根据二次函数的性质，抛物线  2y=a x 3 +k 的对称轴为 x=3。 ∵A 是抛物线 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一 点，且 AB∥x 轴。 ∴A，B 关于 x=3 对称。∴AB=6。 又∵△ABC 是等边三角形，∴以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 6×3=18。 例 6.（2012 山东滨州 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣2，﹣4）， O（0， 0）， B（2，0）三点． （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值． 62 【答案】解：（1）把 A（﹣2，﹣4）， O（0，0）， B（2，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得 4a+2b+c=0 4a 2b+c= 4 c=0     ，解这个方程组，得 1a= 2 b=1 c=0        。 ∴抛物线的解析式为 y=﹣ 1 2 x2+x。 （2）由 y=﹣ 1 2 x2+x=﹣ 1 2 （x﹣1）2+ 1 2 ，可得 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小。 过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N， 在 Rt△ABN 中， 2 2 2 2AB= AN +BN 4 +4 4 2， 因此 OM+AM 最小值为 42。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性 质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 （2）根据 O、B 点的坐标发现：抛物线上，O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需 连接 A、B，直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的 M 点，而 AM+OM 的最小值正好是 AB 的长。 63 对 x=1 上其它任一点 M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有： O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM， 即 OM+AM 为最小值。 例 7. （2012 黑龙江牡丹江 6 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问 题： (1)求抛物线的解析式； (2)若与 x 轴的两个交点为 A，B，与 y 轴交于点 C．在该抛物线上是否存在点 D,使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由 注：抛物线 2y=ax +bx+c的对称轴是 bx= 2a 【答案】解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，－4）和（－2，5）， ∴ 1+b+c= 4 4 2b+c=5    ，解得， b= 2 c= 3    。 ∴抛物线的解析式为 2y=x 2x 3。 （2）存在。 ∵抛物线 的对称轴为 2x= =121   ， ∴根据轴对称的性质，点 C 关于 x=1的对称点 D 即为所求，此时， 64 ∵AB=BA，AC=BD，BC=AD，∴△ABC≌△BAD（SSS）。 在 2y=x 2x 3中令 x=0 ，得 y= 3 ，∴C（0，－3）。 ∴D（2，－3）。 【考点】二次函数综合题，曲线上点有坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。 【分析】（1）用待定系数法，将（1，－4）和（－2，5）分别代入 y=x2+bx+c 得方程组，解之即可求得 抛物线的解析式。 （2）根据抛物线的轴对称性质即可求解。 例8. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:    1y x 2 (x m) m 0m     与x 轴相交于点B、 C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在， 求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线 C1 过点 M(2，2)，∴  12 2 2 (2 m)m    ，解得 m=4。 （2）由（1）得  1y x 2 (x 4)4    。 令 x=0，得 y2 。∴E（0，2）， OE=2。 令 y=0，得  10 x 2 (x 4)4    ，解得 x1=－2，x=4。 ∴B（－2，， 0）， C（4，0）， BC=6。 ∴△BCE 的面积= 1 6 2 62    。 65 （3）由（2）可得  1y x 2 (x 4)4    的对称轴为 x=1。 连接 CE，交对称轴于点 H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时 BH+EH 最小。 设直线 CE 的解析式为 y kx+b ，则 4k+b=0 b=2    ，解得 1k= 2 b=2    。∴直线 CE 的解析式为 1y x+22 。 当 x=1 时， 3y 2 。∴H（1， 3 2 ）。 （4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△BCF 时，如图所示。 则 BE BC BC BF ，∴BC2=BE•BF。 由（2）知 B（－2，0）， E（0，2），即 OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作 FT⊥x 轴于点 F，则 BT=TF。 ∴令 F（x，－x－2）（ x＞0）， 又点 F 在抛物线上，∴－x－2=  1 x 2 (x m)m   ， ∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=2m，F（2m，－2m－2）。 此时 22BF (2m 2) ( 2m 2) 2 2 m 1 BE 2 2 BC m 2         （ ）， ， ， 又 BC2=BE•BF，∴（m+2）2= 22 • 2 2 m 1（ ），解得 m=2± 。 ∵m＞0，∴m= +2。 66 ②当△BEC∽△FCB 时，如图所示。 则 BC EC BF BC ，∴BC2=EC•BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， ∴ TF OE 2 BT OC m。 ∴令 F（x，－ 2 m （x+2））（x＞0）， 又点 F 在抛物线上，∴－ （x+2）=  1 x 2 (x m)m   。 ∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－ （m+4））， 2EC m 4，BC=m+2。 又 BC2=EC•BF，∴（m+2）2=    2 22 2 4 m+4m 4 m+2+2 + m  . 整理得：0=16，显然不成立。 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△BCE 相似，m= 22+2。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线 段最短的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得 m 的值。 （2）求出 B、C、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。 （3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称，连接 EC 与 对称轴的交点即为所求的 H 点。 （4）分两种情况进行讨论： ①当△BEC∽△BCF 时，如图所示，此时可求得 +2。 ②当△BEC∽△FCB 时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。 67 例 9. （2012 辽宁朝阳 14 分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，直角顶 点 A 在 y 轴的正半轴上，A（0，2）， B（－1，0）。 （1）求点 C 的坐标； （2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式和对称轴； （3）设点 P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系 式，并求使 S 最大时点 P 的坐标； （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点 M，使得△MPC（P 为上述（3）问中使 S 最大时点）为 等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵A（0，2）， B（－1，0）， ∴OA=2，OB=1。 由 Rt△ABC 知 Rt△ABO∽Rt△CAO，∴ OA OB OC OA ，即 21 OC 2 ，解得 OC=4。 ∴点 C 的坐标为（4，0）。 （2）设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为   y=a x+1 x 4 ， 将 A（0，2）代入，得   2=a 0+1 0 4 ，解得 1a= 2 。 ∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为   1y= x+1 x 42，即 213y= x + x+222 。 ∵ 2 21 3 1 3 25y= x + x+2= x +2 2 2 2 8    ，∴抛物线的对称轴为 3x= 2 。 （3）过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 H。 ∵点 P（m，n）在 上， ∴P 213m m + m+222  ， 。 ∴ 2 3 2 AOHP 1 1 3 1 3S 2 m + m+2 m= m + m +2m2 2 2 4 4    梯形 ， 68   2 3 2 PHC 1 1 3 1 7S 4 m m + m+2 = m m +2m+42 2 2 4 4     ， AOC 1S = 4 2=42  。 ∴ 3 2 3 2 2 PHC AOCAOHP 1 3 1 7S=S +S S = m + m +2m+ m m +2m+4 4= m +4m4 4 4 4    梯形 。 ∵  22S=m +4m= m 2 +4 ，∴当 m2 时，S 最大。 当 时， 213n= 2 + 2+2=322   。 ∴ 点 P 的 坐 标 为 （ 2 ， 3 ）。 （4）存在。点 M 的坐标为（ 31,22 ）或（ 33,322 ）或（ 33,322 - ）或（ 3, 3 102  ）或 （ 3, 102 3- ）。 【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次 函数的性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由 Rt△ABO∽Rt△CAO 可得 OA OB OC OA ，从而求出点 C 的坐标。 （2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。 （3）过点 P 作 x 轴的垂线于点 H，则由 PHC AOCAOHPS=S +S S梯形 可得 S 关于 m 的函数关系式； 化为顶点式可得 S 最大时点 P 的坐标。 另解：点 A、C 的坐标可求 AC 的解析式： 1y= x2 ，设过点 P 与 AC 平行的直线为 1y= x+b2 。 由点 P 在 和 213y= x + x+222 可得 2 1n= m+b2 13n= m + m+222     。 ∴ 21 1 3m+b= m + m+22 2 2 ，整理，得 2m 4m 4+2b=0 。 要使△PAC 的面积最大，即要点 P 到 AC 的距离最大，即 与 只 有一个交点，即 的△＝0，即   24 4 4+2b =0   ， 69 解得 b=4 。 将 代入 2m 4m 4+2b=0 得 m2 ，将 代入 1n= m+22 得 n=3 。 ∴当 S 最大时点 P 的坐标为（2，3）。 （4）设点 M（ 3 ,h2 ）， ∵C（4，0）, P（2，3）, ∴PC=  2 24 2 3 13   , PM=   2 2 23 372 3 h h 6h24       , CM= 2 223 254 h h24     。 分三种情况讨论： ①当点 M 是顶点时，PM= CM，即 2237 25h 6h h44    ，解得， 1h= 2 。∴M1（ 31,22 ）。 ②当点 C 是顶点时，PC= CM，即 2 2513 h 4，解得， 3h= 32 。 ∴M2（ 33,322 ）， M2（ 33,322 - ）。 ③当点 P 是顶点时，PC= PM，即 2 3713 h 6h 4   ，解得， h=3 10 。 ∴M4（ 3, 3 102  ）， M5（ 3, 102 3- ）。 综上所述，当点 M 的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或 70 （ 3, 102 3- ）时，△MPC 为等腰三角形。 例 10. （2012 山东威海 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线  2y=ax +bx+c a 0 的顶点为 B（2，1）， 且过点 A（0，2）。直线 y=x 与抛物线交于点 D、E（点 E 在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线 于 点 C，交 x 轴于点 G。PM⊥x 轴，垂足为点 F。点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x 轴，垂足 为点 M，△PCM 为等边三角形。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求点 P 的坐标； （3）试判断 CE 与 EF 是否相等，并说明理由； （4）连接 PE，在 x 轴上点 M 的右侧是否存在一点 N，使△CMN 与△CPE 全等？若存在，试求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵抛物线  2y=ax +bx+c a 0 的顶点为 B（2，1）， ∴可设抛物线的解析式为  2y=a x 2 +1 。 将 A（0，2）代入，得  22=a 0 2 +1 ，解得 1a 4 。 ∴该抛物线的表达式  21y= x 2 +14  。 （2）将 x2 代入 y=x ，得 y=2 ， ∴点 C 的坐标为（2，2），即 CG=2。 ∵△PCM 为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。 ∵PM⊥x 轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM= 23。∴OM= 2+2 3 ，PM=4。 ∴点 P 的坐标为（ ，4）。 71 （3）相等。理由如下： 联立 y=x 和  21y= x 2 +14  得  2 y=x 1y= x 2 +14   ，解得 1 1 x =4+2 2 y =4+2 2   ， 2 2 x =4 2 2 y =4 2 2    。 ∵ 2x =4 2 2<2 不合题意，舍去， ∴EF= 4+2 2 ，点 E 的坐标为（ 4+2 2 ， 4+2 2 ）。 ∴ 22OE EF OF 4 4 2    。 又∵ 22OC CG OG 2 2   ，∴CE OE OC 4 4 2 2 2 4 2 2       。 ∴CE=EF。 （4）不存在。理由如下： 假设在 x 轴上点 M 的右侧存在一点 N，使△CMN≌△CPE，则 CN=CE，∠MCN=∠PCE。 ∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。 ∴△CNE 是等边三角形。 ∴EN=CE，∠CEN=600。 又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。 又∵点 E 是直线 上的点，∴∠CEF=450。 ∴点 N 与点 F 不重合。 ∵EF⊥x 轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点 N 不存在。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的 性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。 72 【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点 A 的坐标人代入即可求解。 （2）由点 C 是抛物线对称轴 x=2 和直线 y=x 的交点可求得点 C 的坐标，由△PCM 为等边三角形， 根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点 P 的坐标。 （3）计算出 CE 和 EF 的值即可得出结论。 （4）用反证法证明，假设在 x 轴上点 M 的右侧存在一点 N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛 盾的结论。 练习题： 1. （2012 广东佛山 3 分）在平面直角坐标系中，点 M（－3，2）关于 x 轴对称的点在【 】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. （2012 湖北荆门 3 分）已知点 M（1﹣2m，m﹣1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是【 】 A． B． C． D． 3. （2012 湖南株洲 3 分）如图，已知抛物线与 x 轴的一个交点 A（1，0），对称轴是 x=﹣1，则该抛物线 与 x 轴的另一交点坐标是【 】 A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2 4. （2012 湖北恩施 8 分）如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A（﹣1，0）， C（2，3）两点， 与 y 轴交于点 N．其顶点为 D． （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）设点 M（3，m），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于 点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． 73 5. （2012 湖南郴州 10 分）如图，已知抛物线 2y ax bx c   经过 A（4，0）， B（2，3）， C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式及对称轴． （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 MA+MB 的值最小，并求出点 M 的坐标． （3）在抛物线上是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （2012 湖南湘潭 10 分）如图，抛物线  2 3y=ax x 2 a 02   的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标． 74