【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第5讲 椭 圆学案
第5讲 椭 圆
[学生用书P155]
1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a
|F1F2|为椭圆的焦距
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
续 表
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A．2 B.3
C．4 D．9
解析：选B.依题意有25－m2＝16，因为m>0，所以m＝3.选B.
(教材习题改编)椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(，1)的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D.由题意可设椭圆C的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4.
所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
故所求的椭圆方程为＋＝1，故选D.
(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则 2a＝2b×3，即a＝3b.所以a2＝9
b2＝9(a2－c2)．
即＝，所以e＝＝，故选D.
若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得3
8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
【答案】 (1)A (2)D
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且1⊥2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又因为S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 3
1.在本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
2.在本例中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△
PF1F2＝3”，结果如何？
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.
[通关练习]
1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B.8，11
C．8，12 D．10，12
解析：选C.如图，
由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A.由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，
所以C的方程为＋＝1，选A.
椭圆的标准方程[学生用书P157]
[典例引领]
(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
【解析】 (1)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.
【答案】 (1)C (2)A
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).
[通关练习]
1．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(－1，－4)，则椭圆E的标准方程为( )
A．x2＋＝1 B.＋y2＝1
C．x2＋＝1 D．＋y2＝1
解析：选D.设F2的坐标为(c，0)(c＞0)，则kPF2＝，故直线PF2的方程为y＝(x－c)，即x－y－＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又点在椭圆E上，所以＋＝1，②
由①②可得所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.故选D.
2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P1，P2两点，
所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，
则
①②两式联立，解得
所以所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆的几何性质(高频考点)
[学生用书P157]
椭圆的几何性质是每年高考的热点，主要涉及椭圆的离心率问题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等及以上．主要命题角度有：
(1)求椭圆的离心率问题；
(2)椭圆中的范围问题．
[典例引领]
角度一 求椭圆的离心率问题
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D．
(2)设A1、A2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2>－，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(0，) B.(0，)
C．(，1) D．(，1)
【解析】 (1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(－a，0)、A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1·kPA2＝>－，而＋＝1，所以a2－x＝，于是<，即<，1－e2<，所以e>
，又e<1，故b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解】 (1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A在椭圆C上，
所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝c＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，
MN的中点为D(x0，y0)，
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
故y0＝＝且－3b>0)的焦距为4，且经过点P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l经过M(0，1)，与C交于A，B两点，＝－，求直线l的方程．
解：(1)依题意，2c＝4，则椭圆C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝＋＝6，
即有a＝3，则b2＝a2－c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)若l与x轴垂直，则l的方程为x＝0，
A，B为椭圆短轴的两个端点，不符合题意．
若l与x轴不垂直，设l的方程为y＝kx＋1，
由得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，易知Δ>0，
由＝－，得(x1，y1－1)＝－(x2，y2－1)
即有x1＝－x2，
可得x2＝－，－x＝－，
即有＝，
解得k＝±，故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
椭圆标准方程的求法
求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的方程常可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
求离心率常用的两种方法
(1)求得a，c的值，代入公式e＝即可；
(2)列出a，b，c的方程或不等式，根据b2＝a2－c2将b消掉，转化为含有a和c的关系式，最后转化为关于e的方程或不等式．
椭圆焦点三角形的常见性质
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ；
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值bc；
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)；
(5)当P为短轴端点时，θ最大；
(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交F1F2于点Q，则＝＝，所以＝＝＝(e为离心率)．
解决椭圆的方程及性质问题应注意三点
(1)判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程中x2和y2的分母大小．
(2)关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为0b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
[学生用书P317(单独成册)]
1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是( )
A．6或9 B.5
C．1或9 D．3或5
解析：选D.由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选C.由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B.3或
C. D．6或3
解析：选C.由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.故选C.
4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D．
解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
5．如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 |PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2 B.3
C．4 D．5
解析：选B.b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos 120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，故选B.
6．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由得故k的取值范围为(1，2)．
答案：(1，2)
7．若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．
解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.
答案：或
8．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是_________________________________．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率．
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0b>0)，
由题意可得c＝，又e＝＝，所以a＝2.
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得
验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
将x1＝－2x2代入上式可得，()2＝，
解得k2＝.
所以△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝＝·＝.
1．(2018·广州综合测试(一))已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使得∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．(，1) B.(，1)
C．(0，) D．(0，)
解析：选A.法一：设P(x0，y0)，由题易知|x0|x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0，又0b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C
的方程为＋＝1.
4．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．
解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，
从而e＝＝.
答案：
5．(2017·高考北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
6．(2018·合肥质量检测(一))已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由，得x2－2x＋4－3c2＝0.
因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M(1，)，
因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，
所以|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
所以λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
所以|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，
因为k2>，所以<λ<1.
综上所述，λ的取值范围是[，1)．
