湖南省永州市2021届高三第一次模拟数学试题

湖南省永州市2021届高三第一次模拟数学试题

永州市2021年高考第一次模拟考试试卷 数 学 注意事项：‎ ‎1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．‎ ‎2．考试结束后，只交答题卡．‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若复数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，满足，，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎5．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有 ‎ A．320种 B．360种 C．370种 D．390种 ‎6．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：‎ ‎，试根据此公式估计下面代数式 的近似值为（可能用到数值）　 　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在四面体中，，，则该四面体的外接球的表面积为 12‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.‎ ‎（第9题图）‎ ‎9．2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法正确的是 A．A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值 B．A店营业额在6月份达到最大值 C．A店营业额的极差比B店营业额的极差小 D．A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小 ‎ ‎10．已知，，则下列关系中正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎11．若函数（，）的两相邻对称轴之间的距离为，且 时有最大值，则下列结论成立的是 A． B．函数的一个单调递减区间为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 ‎12．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点在椭圆上且满足，直线与椭圆交于另一个点，若，点在圆上，则下列说法正确的是 A．椭圆的焦距为 B．三角形面积的最大值为 C．圆在椭圆的内部 D．过点的圆的切线斜率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.‎ 12‎ ‎13．在等比数列中，若，则＝ .‎ ‎14．若，则的值为________.‎ ‎15．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为和，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为_____.‎ ‎16．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，,点、分别 是的中点,为上一点，且，为正方形内一点,‎ 若，则的最小值为 . ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分10分）请从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.‎ 问题：在中，角所对的边分别为，已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎（注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）‎ ‎18．（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，，…，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和.‎ ‎19．（本题满分12分）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围,制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有人表示政策无效，女士中有人表示政策有效.‎ ‎（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；‎ 政策有效 政策无效 总计 男生 ‎ ‎ 女生 ‎ ‎ 合计 12‎ ‎（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望．‎ 参考公式： ．‎ ‎（第20题图）‎ ‎20．（本题满分12分）已知在直三棱柱中，, ，点、分别为中点.三棱柱外一点满足平面,.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于,两点．过,分别作抛物线的切线，两切线交于点，若直线与抛物线的准线交于第四象限的点，且，求直线的方程.‎ ‎22．（本题满分12分）已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）.若函数在点处的切线为，函数 在点处的切线为．‎ ‎（1）若，求和的方程；‎ 12‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ 12‎ 永州市2021年高考第一次模拟考试试卷 数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A B A ‎ B B ‎ C D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分.部分选对的得3分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C C D AD A B C 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎ 13． 14． 15． 16． ‎ 四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：选择条件①：（1） ，‎ 由正弦定理可得：，整理可得：， 2分 根据余弦定理可知 3分 中，，从而有：‎ 即，则，所以，‎ 由正弦定理得 6分 ‎（2）因为,‎ ‎ 8分 ‎.‎ 12‎ 综上所述： 10分 选择条件②：（1），‎ 由正弦定理可得：，整理可得：， 2分 又，；； ‎ 化简整理可得： 6分 ‎（2）由（1）知，故三角形为直角三角形， ‎ ‎ ‎ 综上所述： 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：因为 所以，当时，，‎ 两式相减得，，即，当时， 3分 又当时，，而，则， 4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ‎ 所以 . 6分 ‎（2）依题意可知，，‎ ‎ 由（1）得，，即， 8分 则， ‎ ‎，‎ 两式相减得， 10分 即，‎ 所以， 12分 12‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意知，男士人数为，女士人数为，‎ ‎ 1分 由此填写列联表如下：‎ 政策有效 政策无效 总计 男生 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 女生 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 可知 ， 3分 由表中数据，计算 5分 所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”； 6分 ‎（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取10名市民，‎ 男士抽取人，女士抽取4人， 7分 随机变量的可能取值为0，1，2，3，4， ‎ ‎，，‎ ‎， 10分 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎　数学期望为：． 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）（坐标法略）几何法：取的中点为Q，连接 分别为的中点 1分 又平面,平面, 4分 ‎，， ，‎ 又 5分 ‎（2）（几何法略）坐标法：取BC，AC的中点分别为F，H，‎ 12‎ 所以两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 6分 则， ，，，‎ 从而，，. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 得y=0,取，则，‎ 因而. 8分 ‎ ‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 得b=0,取，则，因而， 10分 ‎ ‎ ‎ 从而. 11分 易知二面角为钝二面角，因而二面角的余弦值为. 12分 21． ‎（本小题满分12分）‎ 解：（1）由抛物线的方程可得焦点，由题意可得直线的方程为：，即，设，，‎ 联立直线与抛物线的方程：，‎ 整理可得 2分 ‎， 3分 由抛物线的性质可得，解得，‎ 12‎ 所以抛物线的方程为： 4分 ‎（2）易知直线的斜率存在且不为零，又由（1）知 故可设直线的方程为，代入抛物线的方程得，‎ ‎ ‎ 设，，则，，，‎ ‎， 6分 由抛物线得，则，‎ 所以抛物线在，两点处的切线的斜率分别为，，‎ 故两切线的方程分别为，，‎ 即，， 8分 解得两切线的交点为，即， ‎ 又准线的方程为，由，得 9分 则，‎ 由，得，得， 10分 因为直线与准线交于第四象限的点，‎ 故有，‎ 从而直线的方程为.，即. 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）根据题意可知：‎ 函数在点处的切线为，‎ 函数在点处的切线为，‎ 12‎ 而，， 1分 ‎，根据导函数在该点的函数值相等可得， 2分 又，． 切线过点，斜率为；‎ 切线过点，斜率为，，，‎ 综上所述，所求的直线方程为：，， 4分 ‎ ‎（2）方法一：， ‎ 故不等式恒成立可等价转化为：‎ 在上恒成立， ‎ 记，，‎ 当 时，，不合题意； 5分 当时，，‎ 记，，‎ 则，‎ 所以在是增函数，又，‎ 所以使得，即①， 6分 则当时，，即，‎ 当时，，即，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以②， 8分 由①式可得，‎ 12‎ 代入②式得， 10分 因为，即，‎ 故，，即，‎ 所以时恒成立，故 的取值范围为 . 12分 方法二：根据已知条件可得：， .‎ 且恒成立；‎ 故可等价转化为：恒成立 7分 设，则，单调递增，‎ 因而恒成立，即恒成立. 9分 令，则，‎ 当时，，单调递增， ‎ 当时，，单调递减，‎ 所以，从而即为所求。 12分 ‎ 12‎