2019年重庆九龙育才中学中考数学二诊模拟试卷解析版

2019年重庆九龙育才中学中考数学二诊模拟试卷解析版

‎2019年重庆市九龙坡区育才中学中考数学二诊试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．比﹣1大1的数是（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣2‎ ‎2．如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）‎ ‎4．计算：（）0+（）﹣1＝（　　）‎ A．1 B．5 C．﹣1 D．3‎ ‎5．如图所示，AB∥CD，BE交CD于点E，射线BF平分∠ABE交CD于点F，若∠1＝108°，则∠BFE的度数为（　　）‎ A．54° B．45° C．41° D．36°‎ ‎6．用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火紫棒的根数是（　　）‎ A．34 B．40 C．42 D．46‎ ‎7．以下命题，正确的是（　　）‎ A．对角线相等的菱形是正方形 ‎ B．对角线相等的平行四边形是正方形 ‎ C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ‎ D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎8．估计（2）×的结果应在（　　）‎ A．9.5至10之间 B．10至10.5之间 ‎ C．10.5至11之两 D．11至11.5之间 ‎9．如图，是一个“数值转换机”，若开始输入的x的值为16，第1次输出的结果为8，第2次输出的结果是4，……．则第2019次输出的结果为（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎10．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）‎ A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9‎ ‎12．如果关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有3个整数解，则所有符合条件的m的和是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．据有关部门统计，2019年“五一小长假”期间，重庆主城区几个网红景点共接待游客约l750000人次，将数1750000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，其中AC＝2，以AC为直径的⊙O交AB于点D，则圆周角∠A所对的弧长为　 　（用含π的代数式表示）‎ ‎15．有五张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2．把这五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则mn＞0的概率为　 　．‎ ‎16．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是　 　．‎ ‎17．快、慢车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早 小时，慢车速度是快车速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是　 　小时．‎ ‎18．甲投资销售一种利润率为0.4的电子产品，第一次购入的电子产品销售完后，甲取出28万元，并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第二次购入的电子产品销售完后，再次取出19.6万元，并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第三次购入电子产品销售完后，再次取出6.72万元．并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第四次购入的电子产品销售完后，本次销售额为9.8万元，这样，甲投资该项目的本金和利润全部收回，则甲投资该项目的本金是　 　万元．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：‎ ‎（1）（x+3y）（x﹣y）﹣（x+y）2‎ ‎（2）（a﹣1﹣）‎ ‎20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BD相交于P．‎ ‎（1）求证：CD＝BE；‎ ‎（2）若∠A＝98°，求∠BPC的度数．‎ ‎21．甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．‎ 收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：‎ 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77‎ 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40‎ 整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：‎ 成绩x人数 ‎40≤x≤49‎ ‎50≤x59 ‎ ‎60≤x≤69 ‎ ‎70≤x≤79 ‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤10‎ 甲校 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎1‎ 乙校 ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）‎ 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：‎ 学校 平均数 中位数 众教 优秀率 甲 ‎78.3‎ ‎77.5‎ b ‎40%‎ 乙 ‎78‎ a ‎81‎ c 问题解决：‎ ‎（1）本次调查的目的是　 　；‎ ‎（2）直接写出a，b，c的值；‎ ‎（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．‎ ‎22．某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：‎ ‎（1）列表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣2‎ m ‎2‎ ‎0‎ n ‎2‎ ‎…‎ 请直接写出m，n的值；‎ ‎（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；‎ ‎（3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为　 　（用“＜”连接）；‎ ‎（4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围．‎ ‎23．为满足社区居民健身的需要，区政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康乐公司有甲，乙两种型号的健身器材可供选择．‎ ‎（1）康乐公司2017年每套甲型健身器材的售价为2万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.28万元，求每套甲型健身器材售价的年平均下降率n；‎ ‎（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装康乐公司甲，乙两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过95万元，采购合同规定：每套甲型健身器材售价为1.28万元，每套乙型健身器材售价为1.4（1﹣n）万元．‎ ‎①甲型健身器材最多可购买多少套？‎ ‎②按照甲型健身器材购买最多的情况下，安装完成后，若每套甲型和乙型健身器材一年的养护费分别是购买价的8%和10%，区政府计划支出9万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？‎ ‎24．先阅读，再解答问题．‎ 恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如 当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．‎ 方法一　将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．‎ 原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2‎ ‎＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2‎ ‎＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2‎ ‎＝（3x﹣3x）+2‎ ‎＝2‎ 方法二　先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．‎ 原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2‎ ‎＝x2+x﹣x2﹣x+2‎ ‎＝2‎ 请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：‎ ‎（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；‎ ‎（2）已知x＝2+，求的值．‎ ‎25．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．‎ ‎（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；‎ ‎（2）若BC＝FC，求证：GF＝PC．‎ ‎26．如图，在直角坐标系内，抛物线y＝x2﹣4x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C ‎．顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，连接BD，DC，CE．点P是抛物线在第四象限内一点，过点P作PH⊥CE，垂足为H．点F是y轴上一点，连接PF并延长交x轴于点G，过点O作OM⊥PG，垂足为M．‎ ‎（1）当PH取得最大值时，求PE+PF+OF的最小值；‎ ‎（2）当PE+PF+OF取得最小值时，把△OMF绕点O旋转a°（0＜a≤360°），记旋转过程中的△OMF为△OM′F′．直线M′F′与x轴的交点为K．当△OF′K是以OK为底的等腰三角形时，直接写出所有满足条件的点M′的坐标．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．比﹣1大1的数是（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣2‎ ‎【分析】根据有理数的加法，可得答案．‎ ‎【解答】解：（﹣1）+1＝0，‎ 故比﹣1大1的数是0，‎ 故选：C．‎ ‎2．如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图，故选C．‎ ‎3．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）‎ ‎【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3，‎ ‎∴其顶点坐标为（1，3）．‎ 故选：B．‎ ‎4．计算：（）0+（）﹣1＝（　　）‎ A．1 B．5 C．﹣1 D．3‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝1+2﹣2‎ ‎＝1．‎ 故选：A．‎ ‎5．如图所示，AB∥CD，BE交CD于点E，射线BF平分∠ABE交CD于点F，若∠1＝108°，则∠BFE的度数为（　　）‎ A．54° B．45° C．41° D．36°‎ ‎【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EFB＝∠EBF，再根据三角形内角和定理，即可得到∠BFE的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABF＝∠DFB，‎ ‎∵BF平分∠ABE，‎ ‎∴∠EBF＝∠ABF，‎ ‎∴∠EFB＝∠EBF，‎ 又∵∠BEF＝∠1＝108°，‎ ‎∴∠BFE＝（180°﹣108°）＝36°，‎ 故选：D．‎ ‎6．用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火紫棒的根数是（　　）‎ A．34 B．40 C．42 D．46‎ ‎【分析】根据已知图形得出第n个图形中，火柴棒的根数为4+6（n﹣1）＝6n﹣2，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：由图形知，第①个图形中，火柴棒的根数为4＝4+6×0，‎ 第②个图形中，火柴棒的根数为10＝4+6×1，‎ 第③个图形中，火柴棒的根数为16＝4+6×2，‎ ‎……‎ ‎∴第n个图形中，火柴棒的根数为4+6（n﹣1）＝6n﹣2，‎ 当n＝7时，6n﹣2＝6×7﹣2＝40，即第⑦个图形需要的火紫棒的根数是40，‎ 故选：B．‎ ‎7．以下命题，正确的是（　　）‎ A．对角线相等的菱形是正方形 ‎ B．对角线相等的平行四边形是正方形 ‎ C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ‎ D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；‎ B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；‎ C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；‎ D、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故错误，是假命题，‎ 故选：A．‎ ‎8．估计（2）×的结果应在（　　）‎ A．9.5至10之间 B．10至10.5之间 ‎ C．10.5至11之两 D．11至11.5之间 ‎【分析】先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再进行估算．‎ ‎【解答】解：（2）×‎ ‎＝6﹣3‎ ‎≈6×2.236﹣3‎ ‎＝13.416﹣3‎ ‎＝10.416．‎ 故（2）×的结果应在10至10.5之间．‎ 故选：B．‎ ‎9．如图，是一个“数值转换机”，若开始输入的x的值为16，第1次输出的结果为8，第2次输出的结果是4，……．则第2019次输出的结果为（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【分析】先计算出前6个数得出除第1个数外，每3个数为一个周期循环，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：由题意知，第1次输出结果为8，‎ 第2次输出结果为4，‎ 第3次输出结果为2，‎ 第4次输出结果为1，‎ 第5次输出结果为4，‎ 第6次输出结果为2，‎ ‎……，‎ ‎∴除第1个数外，每3个数为一个周期循环，‎ ‎∵（2019﹣1）÷3＝672……2，‎ ‎∴第2019次输出的结果为2，‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接OE交BD于F，如图，利用切线的性质得到OE⊥BC，再证明四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形得到BE＝1，∠DOE＝∠BEO＝90°，易得△ODF≌△EBF，所以S△ODF＝S△EBF，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形EOD计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OE交BD于F，如图，‎ ‎∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，‎ 而CD＝1，‎ ‎∴四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形，‎ ‎∴BE＝1，∠DOE＝∠BEO＝90°‎ ‎∵∠BFE＝∠DFO，OD＝BE，‎ ‎∴△ODF≌△EBF（AAS），‎ ‎∴S△ODF＝S△EBF，‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎11．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）‎ A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9‎ ‎【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图 ‎，‎ 由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得 BE：CE＝1：2．‎ 设BE＝xm，CE＝2xm．‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 BE2+CE2＝BC2，‎ 即x2+（2x）2＝（12）2，‎ 解得x＝12，‎ BE＝12m，CE＝24m，‎ DE＝DC+CE＝8+24＝32m，‎ 由tan36°≈0.73，得 ‎＝0.73，‎ 解得AB＝0.73×32＝23.36m．‎ 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，‎ 故选：C．‎ ‎12．如果关于x的分式方程＝2有非负整数解，关于y的不等式组有且只有3个整数解，则所有符合条件的m的和是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值，求出之和即可．‎ ‎【解答】解：去分母得：x﹣m﹣1＝2x﹣4，‎ 解得：x＝3﹣m，‎ 由解为非负整数解，得到3﹣m≥0，3﹣m≠2，即m≤3且m≠1，‎ 不等式组整理得：，‎ 由不等式组只有3个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，0，即0＜≤1，‎ 解得：﹣2≤m＜2，‎ 则符合题意m＝﹣2，﹣1，0，之和为﹣3，‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．据有关部门统计，2019年“五一小长假”期间，重庆主城区几个网红景点共接待游客约l750000人次，将数1750000用科学记数法表示为　1.75×106　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数1750000用科学记数法表示为1.75×106．‎ 故答案为：1.75×106．‎ ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，其中AC＝2，以AC为直径的⊙O交AB于点D，则圆周角∠A所对的弧长为　　（用含π的代数式表示）‎ ‎【分析】先确定求的长，根据弧长公式计算其圆心角和半径，代入可得结论．‎ ‎【解答】解：连接OD，‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ ‎∴∠COD＝2∠A＝120°，‎ ‎∵AC＝2，‎ ‎∴圆周角∠A所对的弧长为：＝，‎ 故答案为：．‎ ‎15．有五张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2．把这五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则mn＞0的概率为　　．‎ ‎【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与mn＞0的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎﹣2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎﹣2‎ ‎﹣4‎ ‎﹣1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎﹣2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎﹣4‎ ‎﹣2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 由表知共有25种等可能结果，其中mn＞0的结果有8种，‎ ‎∴mn＞0的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎16．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是　2.16　．‎ ‎【分析】利用两三角形相似得到＝，然后利用比例性质求b即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得＝，‎ 所以b＝×3.6＝2.16（cm）．‎ 故答案为2.16．‎ ‎17．快、慢车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是　　小时．‎ ‎【分析】先求出快、慢两车的速度，再求出快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式，然后根据题意列方程即可求出慢车行驶的总的时间．‎ ‎【解答】解：慢车的速度＝180÷（）＝60千米/时，‎ 快车的速度＝60×2＝120千米/时；‎ 快车停留的时间：（小时），‎ ‎＝2（小时），即C（2，180），‎ 设CD的解析式为：y＝kx+b，则 将C（2，180），D（，0）代入，得 ‎，解得，‎ ‎∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x≤），‎ 快车从甲地到乙地需要180÷120＝小时，‎ 快车返回之后：60x＝80+120（）‎ 解得x＝．‎ 即在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是小时．‎ 故答案为：‎ ‎18．甲投资销售一种利润率为0.4的电子产品，第一次购入的电子产品销售完后，甲取出28万元，并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第二次购入的电子产品销售完后，再次取出19.6万元，并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第三次购入电子产品销售完后，再次取出6.72万元．并把剩下的本金和利润全部用于购入该电子产品；第四次购入的电子产品销售完后，本次销售额为9.8万元，这样，甲投资该项目的本金和利润全部收回，则甲投资该项目的本金是　35　万元．‎ ‎【分析】设第四次购入的电子产品费用x万元，由题意列出方程，可求x＝7，即可求解．‎ ‎【解答】解：设第四次购入的电子产品费用x万元，‎ 由题意可得1.4x＝9.8‎ ‎∴x＝7，‎ ‎∴第三次购入电子产品费用＝＝9.8万元，‎ 第二次购入电子产品费用＝＝21万元，‎ ‎∴本金＝＝35万元，‎ 故答案为：35．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：‎ ‎（1）（x+3y）（x﹣y）﹣（x+y）2‎ ‎（2）（a﹣1﹣）‎ ‎【分析】（1）根据多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；‎ ‎（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）（x+3y）（x﹣y）﹣（x+y）2‎ ‎＝x2+2xy﹣3y2﹣x2﹣2xy﹣y2‎ ‎＝﹣4y2；‎ ‎（2）（a﹣1﹣）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BD相交于P．‎ ‎（1）求证：CD＝BE；‎ ‎（2）若∠A＝98°，求∠BPC的度数．‎ ‎【分析】（1）由“ASA”可证△BCE≌△CBD，可得CD＝BE；‎ ‎（2）由三角形内角和定理可求∠BPC的度数．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∵CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线 ‎∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB ‎∴∠DBC＝∠BCE，且∠ABC＝∠ACB，BC＝BC ‎∴△BCE≌△CBD（ASA）‎ ‎∴CD＝BE，‎ ‎（2）∵∠A＝98°‎ ‎∴∠ABC+∠ACB＝82°‎ ‎∴∠DBC+∠BCE＝41°‎ ‎∴∠BPC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCE＝139°‎ ‎21．甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．‎ 收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：‎ 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77‎ 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40‎ 整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：‎ 成绩x人数 ‎40≤x≤49‎ ‎50≤x59 ‎ ‎60≤x≤69 ‎ ‎70≤x≤79 ‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤10‎ 甲校 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎1‎ 乙校 ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）‎ 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：‎ 学校 平均数 中位数 众教 优秀率 甲 ‎78.3‎ ‎77.5‎ b ‎40%‎ 乙 ‎78‎ a ‎81‎ c 问题解决：‎ ‎（1）本次调查的目的是　为了了解这两校体训队员的体能状况　；‎ ‎（2）直接写出a，b，c的值；‎ ‎（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．‎ ‎【分析】（1）通过题干可知本次调查的目的是“为了了解两校体训队员的体能状况“，‎ ‎（2）将每组数据整理排序，依据中位数、众数的意义、以及优秀率的求法，可以得到答案，求出a、b、c，‎ ‎（3）可以通过平均、中位数、众数、优秀率中两个方面进行分析，做出判断．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的目的是：“为了了解这两校体训队员的体能状况”‎ ‎（2）a＝80.5，b＝75，c＝60%‎ ‎（3）中位数、众数、优秀率乙校都比甲校的高，因此乙校的体训队的体能水平更高．‎ ‎22．某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：‎ ‎（1）列表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣2‎ m ‎2‎ ‎0‎ n ‎2‎ ‎…‎ 请直接写出m，n的值；‎ ‎（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；‎ ‎（3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为　y1＜y2＜y3　（用“＜”连接）；‎ ‎（4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）从函数的对称性可得：m＝，n＝﹣2；‎ ‎（2）描点如下函数图象；‎ ‎（3）从图象看，确定x1、x2、x3，再图象上的位置，即可求解；则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3；‎ ‎（4）方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，从图象即可看出．‎ ‎【解答】解：（1）从函数的对称性可得：m＝，n＝﹣2；‎ ‎（2）描点如下函数图象 ‎（3）从图象看，x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3，‎ 故答案为：y1＜y2＜y3；‎ ‎（4）从图象看，方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，在x轴下方的临界点是y＝﹣2，同理x轴上方的临界点是y＝2，故：﹣2＜k＜2．‎ ‎23．为满足社区居民健身的需要，区政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康乐公司有甲，乙两种型号的健身器材可供选择．‎ ‎（1）康乐公司2017年每套甲型健身器材的售价为2万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.28万元，求每套甲型健身器材售价的年平均下降率n；‎ ‎（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装康乐公司甲，乙两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过95万元，采购合同规定：每套甲型健身器材售价为1.28万元，每套乙型健身器材售价为1.4（1﹣n）万元．‎ ‎①甲型健身器材最多可购买多少套？‎ ‎②按照甲型健身器材购买最多的情况下，安装完成后，若每套甲型和乙型健身器材一年的养护费分别是购买价的8%和10%，区政府计划支出9万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？‎ ‎【分析】（1）根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于n 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；‎ ‎（2）①设购买甲型健身器材x套，则购买乙型健身器材（80﹣x）套，根据总价＝单价×数量结合采购专项经费总计不超过95万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；‎ ‎②根据总价＝单价×数量结合每套甲型和乙型健身器材一年的养护费分别是购买价的8%和10%，可求出一年需要支出的养护费，将其与9万元进行比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，得：2（1﹣n）2＝1.28，‎ 解得：n1＝0.2，n2＝1.8（不合题意，舍去）．‎ 答：每套甲型健身器材售价的年平均下降率为0.2．‎ ‎（2）①设购买甲型健身器材x套，则购买乙型健身器材（80﹣x）套，‎ 依题意，得：1.28x+1.4×（1﹣0.2）（80﹣x）≤95，‎ 解得：x≤33．‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴x的最大值为33．‎ 答：甲型健身器材最多可购买33套．‎ ‎②1.28×33×8%+1.4×（1﹣0.2）×（80﹣33）×10%＝8.6432（万元），‎ ‎∵8.6432＜9，‎ ‎∴该计划支出能满足一年的养护需要．‎ ‎24．先阅读，再解答问题．‎ 恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如 当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．‎ 方法一　将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．‎ 原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2‎ ‎＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2‎ ‎＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2‎ ‎＝（3x﹣3x）+2‎ ‎＝2‎ 方法二　先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．‎ 原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2‎ ‎＝x2+x﹣x2﹣x+2‎ ‎＝2‎ 请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：‎ ‎（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；‎ ‎（2）已知x＝2+，求的值．‎ ‎【分析】（1）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；‎ ‎（2）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）∵a2﹣3a+1＝0，‎ ‎∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+＝3，‎ ‎∴2a3﹣5a2﹣3+‎ ‎＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+‎ ‎＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+‎ ‎＝﹣2a﹣1+3a﹣3+‎ ‎＝a﹣4+‎ ‎＝3﹣4‎ ‎＝﹣1；‎ ‎（2）∵x＝2+，‎ ‎∴x﹣2＝，‎ ‎∴‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎25．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．‎ ‎（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；‎ ‎（2）若BC＝FC，求证：GF＝PC．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠BCH＝∠2，证明∠BCP＝∠BPC，得出BC＝BP＝BH+PH＝6，由勾股定理得出CH2＝BC2﹣BH2＝20，PC＝＝2；‎ ‎（2）易证四边形ABPD是等腰梯形，则∠DAB＝∠PBA，证明AD＝FC，∠CBF＝∠‎ CFB，∠ADG＝∠CFD，由ASA证得△DAG≌△FCD得出AG＝CD＝AB，DG＝FD，推出△ABG是等腰直角三角形，则∠DBA＝∠G＝45°，作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，易证△DMF是等腰直角三角形，得出DM＝FM，DF＝FM，证明∠1＝∠PBN，由AAS证得△CFM≌△BPN得出FM＝PN，推出PN＝CN，则PC＝2PN＝2FM＝DF，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，‎ ‎∴∠BCH＝∠2，‎ ‎∴∠BCP＝∠2+∠1，‎ ‎∵2∠1+∠2＝90°．‎ ‎∴∠BCP＝90°﹣∠1，‎ ‎∵BH⊥CE，‎ ‎∴∠BPC+∠1＝90°，‎ ‎∴∠BPC＝90°﹣∠1，‎ ‎∴∠BCP＝∠BPC，‎ ‎∴BC＝BP＝BH+PH＝4+2＝6，‎ ‎∴CH2＝BC2﹣BH2＝62﹣42＝20，‎ ‎∴PC＝＝＝2；‎ ‎（2）证明：由（1）得：BC＝BP＝AD，‎ ‎∴四边形ABPD是等腰梯形，‎ ‎∴∠DAB＝∠PBA，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠PBA＝∠BPC，‎ ‎∵BH⊥CE，‎ ‎∴∠1＝90°﹣∠BPC＝90°﹣∠PBA＝90°﹣∠DAB＝∠DAG，‎ ‎∵AD＝BC，BC＝FC，‎ ‎∴AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EDF＝∠CBF，‎ ‎∴∠EDF＝∠CFB＝∠EFD，‎ ‎∴∠ADG＝∠CFD，‎ 在△DAG和△FCD中，，‎ ‎∴△DAG≌△FCD（ASA），‎ ‎∴AG＝CD＝AB，DG＝FD，‎ ‎∵AG⊥AB，‎ ‎∴△ABG是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DBA＝∠G＝45°，‎ 作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，如图所示：‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠CDF＝∠DBA＝45°，‎ ‎∴△DMF是等腰直角三角形，‎ ‎∴DM＝FM，DF＝FM，‎ ‎∵BN⊥CD，BH⊥CE，‎ ‎∴由三角形内角和定理得：∠1＝∠PBN，‎ 在△CFM和△BPN中，，‎ ‎∴△CFM≌△BPN（AAS），‎ ‎∴FM＝PN，‎ ‎∵BC＝BP，BN⊥CD，‎ ‎∴PN＝CN，‎ ‎∴PC＝2PN＝2FM＝DF，‎ ‎∴PC＝2DF，‎ ‎∴GF＝2DF＝PC ‎26．如图，在直角坐标系内，抛物线y＝x2﹣4x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，连接BD，DC，CE．点P是抛物线在第四象限内一点，过点P作PH⊥CE，垂足为H．点F是y轴上一点，连接PF并延长交x轴于点G，过点O作OM⊥PG，垂足为M．‎ ‎（1）当PH取得最大值时，求PE+PF+OF的最小值；‎ ‎（2）当PE+PF+OF取得最小值时，把△OMF绕点O旋转a°（0＜a≤360°），记旋转过程中的△OMF为△OM′F′．直线M′F′与x轴的交点为K．当△OF′K是以OK为底的等腰三角形时，直接写出所有满足条件的点M′的坐标．‎ ‎【分析】（1）先求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再待定系数法求直线CE解析式，再根据平行线一次项系数相等求经过点P且平行于CE的直线解析式，解方程组求点P坐标，求PE+PF+OF最小值即求PF+OF的最小值，根据两点之间线段最短即可；‎ ‎（2）△OF′K是以OK为底的等腰三角形，按照顺时针旋转可分四种情形：①点M′在第三象限，OF′＝KF′，点M′在第二象限，OF′＝KF′，③点M′在第一象限，‎ OF′＝KF′，④点M′在第四象限，F′K＝OF′；分别讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4中，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），‎ 令y＝0，得x2﹣4x﹣4＝0，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴A（2﹣2，0），B（2+2，0）‎ ‎∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴顶点D（2，﹣8），E（2，0），‎ 易求得直线CE解析式为：y＝2x﹣4，设经过点P且平行于CE的直线解析式为y＝2x+b 由x2﹣4x﹣4＝2x+b，得x2﹣6x﹣4﹣b＝0，△＝（﹣6）2﹣4（﹣4﹣b）＝52+4b，‎ ‎∵△＝0时，点P到CE的距离PH最大，∴52+4b＝0，即：b＝﹣13‎ ‎∴y＝2x﹣13，解方程组得 ‎∴P（3，﹣7）‎ 如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵PE+PF+OF中PE是定值，‎ ‎∴PE+PF+OF的最小即PF+OF最小，令FM＝OF，则PF+OF＝PF+FM＝PM 此时＝，∵∠OGF+∠GOM＝∠GOM+∠FOM＝90°‎ ‎∴∠OGF＝∠FOM，‎ ‎∵∠FOG＝∠FMO＝90°‎ ‎∴△FOG∽△FMO ‎∴＝＝‎ ‎∴＝‎ ‎∵△GPQ∽△GFO ‎∴＝＝‎ ‎∴QG＝，‎ ‎∴G（﹣，0）‎ ‎∴PG＝，GM＝‎ ‎∴PM＝PG﹣GM＝，‎ 在△PEQ中，PE＝＝＝5‎ ‎∴PE+PF+OF的最小值＝5+；‎ ‎（2）①如图2，点M′在第三象限，∵△OF′K是以OK为底的等腰三角形，∴OF′＝KF′＝3，F′M′＝‎ ‎∴M′K＝KF′﹣F′M′＝，‎ ‎∴OK＝＝＝，‎ 设M′（m，n），则﹣n•OK＝KM′•M′O ‎∴﹣n＝×，解得：n＝﹣，‎ ‎∵tan∠KOM′＝＝，即﹣×＝m ‎∴m＝﹣，‎ ‎∴M′（﹣，﹣）；‎ ‎②如图3，点M′在第二象限，OF′＝KF′，作F′H⊥x轴于H，作M′R⊥y轴于R，‎ ‎∵OF′＝KF′，F′H⊥x轴 ‎∴OH＝HK，‎ ‎∵KM′＝KF′+F′M′＝3+＝，‎ ‎∴OK＝＝＝‎ ‎∵∠ORM′＝∠KM′O＝90°，∠ROM′+∠KOM′＝∠OKM′+∠KOM′＝90°‎ ‎∴∠ROM′＝∠OKM′‎ ‎∴△OM′R∽△KOM′‎ ‎∴＝＝，即：＝＝‎ ‎∴M′R＝，OR＝，‎ ‎∴M′（﹣，）；‎ ‎③如图4，作M′G⊥x轴于G，点M′在第一象限，OF′＝KF′，∵F′O＝F′K＝3，M′K＝3﹣＝，‎ ‎∴OK＝＝＝，M′G＝＝＝，‎ ‎∵tan∠M′OK＝＝＝＝‎ ‎∴OG＝，‎ ‎∴M′（，）；‎ ‎④如图5，点M′在第四象限，作M′G⊥x轴于G，∵F′K＝OF′＝3‎ ‎∴M′K＝M′F′+F′K＝+3＝‎ ‎∴OK＝＝＝‎ ‎∴M′G＝＝，OG＝＝，‎ ‎∴M′（，﹣）；‎ 综上所述，点M′的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．‎