2020九年级数学上册第2章对称图形—圆2

2020九年级数学上册第2章对称图形—圆2

第2章 对称图形——圆 ‎2.4　第2课时　特殊的圆周角 知识点 1　利用直径所对的圆周角是直角求角度 ‎1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为(　　)‎ A．80° B．60° C．50° D．40°‎ 图2－4－15‎ ‎　　　‎ 图2－4－16‎ ‎2．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为(　　)‎ A．50° B．40° C．45° D．60°‎ ‎3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.‎ 图2－4－17‎ ‎　　　‎ 图2－4－18‎ ‎4．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝ ∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.‎ ‎5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．‎ 7‎ 图2－4－19‎ 知识点 2　利用直径所对的圆周角是直角求线段长 ‎6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝‎8 cm，ON＝‎6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是(　　)‎ A. cm B．‎5 cm C．‎6 cm D．‎‎10 cm 图2－4－20‎ ‎　　　‎ 图2－4－21‎ ‎7．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．‎ ‎8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．‎ ‎(1)求证：△APE是等腰直角三角形；‎ ‎(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．‎ 图2－4－22‎ 7‎ ‎9．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC于点D.求证：BC＝2DE.‎ 图2－4－23‎ ‎ ‎ ‎　图2－4－24‎ ‎10．如图2－4－24，AB是半圆的直径，D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于(　　)‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB是⊙O的弦，AB＝5，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是________．‎ 图2－4－25‎ ‎　　　‎ 图2－4－26‎ ‎12．如图2－4－26，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC＝∠AEC；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．‎ ‎13．如图2－4－27，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.‎ ‎(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；‎ 7‎ ‎(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．‎ 图2－4－27‎ ‎14．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.‎ ‎(1)求证：∠B＝∠D；‎ ‎(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．‎ 图2－4－28‎ ‎15．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.‎ ‎(1)∠E的度数为________；‎ ‎(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；‎ ‎(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．‎ 图2－4－29‎ 7‎ ‎1．C　[解析] 因为AB是⊙O的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C.‎ ‎2．A　[解析] ∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵∠ABD＝∠ACD＝40°，‎ ‎∴∠BAD＝180°－90°－40°＝50°.‎ ‎3．90　[解析] 连接AC，则∠ACB＝90°.‎ 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2，‎ ‎∴∠1＋∠2＝∠ACB＝90°.‎ ‎4．80‎ ‎5．解：如图，连接BC，则∠ADC＝∠B.‎ ‎∵∠ADC＝50°，‎ ‎∴∠B＝50°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝40°.‎ ‎∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠CEB＝60°＋40°＝100°.‎ ‎6．B ‎7．13‎ ‎8．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABC＝45°，∴∠AEP＝45°.‎ ‎∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，‎ ‎∴△APE是等腰直角三角形．‎ ‎(2)∵△ABC和△APE均是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝AB，AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，‎ ‎∴∠CAP＝∠BAE.‎ 在△APC和△AEB中， ‎∴△APC≌△AEB，∴PC＝EB.‎ ‎∵PE是⊙O的直径，∴∠PBE＝90°，‎ ‎∴PC2＋PB2＝EB2＋PB2＝PE2＝4.‎ ‎9．证明：连接AD，BE.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.‎ 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BD＝DC，‎ 即BC＝2DC.‎ ‎∵∠DAE＝∠DBE，∠ADE＝∠ABE，‎ 7‎ ‎∴∠DEC＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C，‎ ‎∴DE＝DC，∴BC＝2DE.‎ ‎10．C　[解析] 连接BD.‎ ‎∵D是的中点，即＝，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD.‎ ‎∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°.‎ ‎∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠DAB＝90°－25°＝65°.‎ ‎11. ‎12．①②④⑥‎ ‎13．解：(1)∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.‎ 又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠DAO＝∠ADO＝(180°－∠AOD)＝55°，‎ ‎∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝35°.‎ ‎(2)在Rt△ABC中，BC＝＝.‎ ‎∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，‎ 即OE⊥AC，∴AE＝EC.‎ 又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝.‎ ‎∵OD＝AB＝2，‎ ‎∴DE＝OD－OE＝2－.‎ ‎14． (1)证明：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.‎ 又∵CD＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.‎ ‎(2)设BC＝x，则AC＝x－2.‎ 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，‎ 即(x－2)2＋x2＝42，‎ 解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，‎ ‎∴BC＝1＋.‎ ‎∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，‎ ‎∴∠D＝∠E，‎ ‎∴CD＝CE.‎ ‎∵CD＝BC，‎ ‎∴CE＝BC＝1＋.‎ ‎15． (1)如图①，连接OD，OC，BD.‎ 7‎ ‎∵OD＝OC＝CD＝2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC＝60°，‎ ‎∴∠DBC＝30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠E＝90°－30°＝60°.‎ ‎(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.‎ ‎∵OD＝OC＝CD＝2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.‎ ‎(3)如图③，连接OD，OC.‎ ‎∵OD＝OC＝CD＝2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC＝60°，‎ ‎∴∠CBD＝30°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠BED＝60°，‎ ‎∴∠AEC＝∠BED＝60°. ‎ 7‎