【数学】2019届一轮复习北师大版基本不等式学案

【数学】2019届一轮复习北师大版基本不等式学案

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ 基本不等式 考点一.利用基本不等式比较大小 ‎1．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则（ ）‎ A．P＝Q B．P≥Q C．P≤Q D．P>Q 学* * *X*X* ]‎ 解 Q＝·＝≥＝＋＝P.‎ 考点二.利用基本不等式求最值[ 学 ]‎ 2． ‎（1）最大值。 解 。‎ （2） 若实数满足，求的最小值。‎ 解 。‎ （3） 最小值。 解 由已知 xy=100,则。‎ ‎（4）为等差数列，为等比数列，若，比较大小。‎ 解 由数列性质 ，，。‎ （1） 不正3.求y＝x＋最值。‎ 解 当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x＋= －（－ －）≤－2=－2‎ ‎∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）‎ ‎（2）积不定4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，求a的值。‎ 解 f(x)＝x＋＝x－2＋＋2，∵x>2　∴x－2>0∴f(x)≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立，所以a＝3.‎ ‎5．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．‎ 解 因5－4x>0，则f(x)＝－＋3≤－2＋3＝1.当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ ‎（3）和不定6. 当时，求的最大值。‎ 解 当，即x＝2时取等号 ， 当x＝2‎ 时，的最大值为8。‎ 7. 已知a>0，b>0，a2＋＝1，求a 的最大值．‎ 解 ∵a>0，∴a＝＝ ≤·＝，当且仅当即时取等号，∴a的最大值为.‎ ‎（4）不等8．求函数的值域。‎ 解 令，则因解得不在区间，故等号不成立。因为在区间单调递增，故。所以，所求函数的值域为。‎ ‎（5）1型9.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为． ‎ 解 圆心在上，所以，又．‎ ‎10．若正数a, b满足3a+4b=ab，求a+b的最小值。‎ 解 ∵正实数满足，∴，当且仅当，即时，取等号．‎ ‎11．设，若的最小值。‎ 解 因为，所以，又因为所以，，当且仅当即取等号。‎ ‎（6）用不了基本不等式 ‎12．下列结论正确的是（ ）‎ A．当且时，≥ B．当时，≥‎ C．当≥时，的最小值为 D．当≤时，无最大值 解 A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，不成立；由基本不等式B正确；‎ C中“=”取不到；D中在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．‎ ‎13．若x≥0，y≥0且，那么2x+3y2的最小值为（    ）‎ A. 2 B. C. D. 0‎ 解 由得得，，所以，‎ 因为，所以当时，有最小值，选B.‎ 14. 已知，求x+2y最大值。‎ 解 ，。‎ ‎（7）与恒成立 ‎15．已知恒成立，求实数的取值范围。‎ 解 的最大值应小于的最小值，，所以。‎ ‎16.已知，，若恒成立，则实数的取值范围是．‎ 解 由可得，，所以由恒成立．‎ 故可得．所以．‎ 考点三.利用基本不等式证明不等式 ‎17. 若x>0,y>0,x+y=1, 求证 (1+)(1+)≥9‎ 证明 (1+)(1+)=1+++=1++=1+≥1+=9，(当且仅当x=y=时取“=”号)‎ 考点四.基本不等式的实际应用 ‎ ‎18. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150 ”与“年平均每件所占广告费的50 ”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；‎ ‎(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？‎ 解 (1)产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为×150 ＋×50 ，∴年销售收入为(×150 ＋×50 )·Q＝(32Q＋3)＋x，∴年利润W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝＝50－.‎ ‎∵t≥1，∴＋≥2＝8，即W≤42，当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7.‎