人教新课标A版高一数学3-3-2简单线性规划问题）

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备课资料 备用习题 1.某糖果厂生产 A、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元， 其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单 位：分钟） 混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹调的设备至多只能用 30 小时，包 装的设备只能用 15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 分析：找约束条件，建立目标函数. 解：设生产 A 种糖果 x 箱，B 种糖果 y 箱，可获得利润 z 元，则此问题的数学模式在约束条 件              0 ,0 ,9003 ,180045 ,7202 y x yx yx yx 下，求目标函数 z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界 OA：y=0， AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y- 1 800 =0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0. 由 z=40x+50y,得 505 4 zxy  ，它表示斜率为 5 4 ，截距为 z[]50 的平行直线系， 50 z 越大， z 越大，从而可知过 C 点时截距最大，z 取得了最大值. 解方程组       180045 7202 yx yx C(120,300). ∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产 A 种糖果 120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，可得最大利 润 19 800 元. 点评：由于生产 A 种糖果 120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合 时间为 120＋2×300＝720（分），烹调时间 5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间 3×120＋ 300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设 备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于 改进研究. 2.甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A（单位/千克） 600 700 400 维生素B（单位/千克） 800 400 500 成本（元/千克） 11 9 4 某食物营养研究所想用 x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成 100 千克的 混合食物，并使混合食物至少含 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B.（1）用 x、y 表示混合食物成本 C；（2）确定 x、y、z 的值，使成本最低. 分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解. 解:（1）依题意 x、y、z 满足 x+y+z=100 z=100-x-y. ∴成本 C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）. （2）依题意      ,63000500400800 ,56000400700600 zyx zyx ∵z=100-x-y, ∴       .0,0 ,1303 ,16032 yx yx yx 作出不等式组所对应的可行域，如右图所示. 联立       16032 1303 yx yx 交点 A(50,20). 作直线 7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过 A(50,20)时，直线在 y 轴截距最小，从而 C 最小，此时 7×50＋5×20＋400＝C＝850 元. ∴x=50 千克，z=30 千克时成本最低.