数学卷·2018届甘肃省通渭县第二中学高三上学期第一次月考数学(文）试题（解析版）

数学卷·2018届甘肃省通渭县第二中学高三上学期第一次月考数学(文）试题（解析版）

甘肃省通渭县第二中学2018届高三级第一次月考数学（文科）试题 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是正确的.‎ ‎1. 若集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A. {x|-1≤x≤0} B. {x|1≤x＜2}‎ C. {x|﹣1＜x≤0} D. {x|0≤x＜1}‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2. 函数f（x）= 的定义域为（　　）‎ A. (-1,+∞） B. (-1,1）∪（1,+∞） C. [-1,+∞） D. [-1,1）∪（1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得且，故函数的定义域为。选B。‎ ‎3. 命题：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（　　）‎ A. 若a2+b2=0，则a=0且b≠0 B. 若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0‎ C. 若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0 D. 若a=0且b=0，则 a2+b2≠0‎ ‎【答案】C ‎4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A. B. C. D. y=log2x ‎【答案】D ‎【解析】选项A中，函数在区间（0，+∞）上为减函数，不合题意；‎ 选项B中，函数在区间（0，+∞）上为减函数，不合题意；‎ 选项C中，函数在区间（0，+∞）上为减函数，不合题意；‎ 选项D中，函数y=log2x在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意。选D。‎ ‎5. 若函数f（x）=ax2+（2a2﹣a）x+1为偶函数，则实数a的值为（　　）‎ A. 1 B. C. 0 D. 0或 ‎【答案】D ‎【解析】∵函数为偶函数，∴，即 ‎，∴，解得或。选D。‎ ‎6. 下列说法不正确的是（　　）‎ A. 若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B. 命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”‎ C. 设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 D. 当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】选项A中，由p且q命题的真假的判定可知正确；‎ 选项B中，由含有量词的命题的否定知正确；‎ 选项C中，，故“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件，故C错误；‎ 选项D中，由幂函数的性质可得正确。综上，选C。‎ ‎7. 已知函数 ，则f（0）的值是（　　）‎ A. B. 24 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数可得，。选C。 ‎ ‎8. 函数f（x）=ex+x﹣4的零点所在的区间为（　　）‎ A. （﹣1，0） B. （1，2） C. （0，1） D. （2，3）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得 ，‎ ‎∴。故函数的零点所在区间为。选B。‎ ‎9. 若a=30.6，b=log3 0.2，c=0.63，则（　　）‎ A. a＞c＞b B. a＞b＞c C. c＞b＞a D. b＞c＞a ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，，，所以.故选A.‎ 考点：指数函数和对数函数的图像和性质.‎ ‎10. 函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数的定义域为，所以排除B;‎ 又，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，所以排除C;‎ 又因为，所以排除D.故A正确.‎ 考点：函数图像.‎ ‎11. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（　　）‎ A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以。选B。‎ ‎12. 已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，‎ 设，‎ 令，‎ 当时, ,时,，‎ ‎,h(x)有极小值：,所以，‎ 在x>0时，有两个根，排除C.‎ 所以图象A正确，‎ 本题选择A选项.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若集合A={a﹣5,1﹣a,9}，B={﹣4,a2}，且A∩B={9},则a的值是_____．‎ ‎【答案】﹣3‎ ‎【解析】∵，∴。∴，解得。‎ 当时，，不符合互异性，故舍去；‎ 当时，，符合题意。故。答案：。‎ ‎14. 计算的结果为_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】原式。答案：7。‎ ‎15. 函数f（x）=ax（0＜a＜1）在[1，2]中的最大值比最小值大，则a的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴函数在区间上单调递减，所以，由题意得，又，故。答案：‎ ‎16. 已知函数f(x）=x2﹣2x，g(x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，即，设函数在上的值域为A，则；同理函数在上的值域。“对任意的x1∈ [﹣1，2]都存在x0∈ [﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）”等价于，即，所以，解得，又，所以。故实数的取值范围为。答案：。‎ 点睛：解题的关键是理解题意，注意以下结论：‎ ‎（1）“任意的x1∈ A都存在x0∈ B，使得g（x1）=f（x0）”等价于函数在区间A上的值域是函数在区间B上值域的子集；‎ ‎（2）“任意的x1∈ A都存在x0∈ B，使得g（x1）>f（x0）”等价于函数在区间A上的最小值大于函数在区间B上的最小值。‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．‎ ‎（1）求A∩B．‎ ‎（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B={x|2≤x≤3}（2）a≤3‎ ‎【解析】试题分析：（1）解不等式求出集合A,B，根据交集的定义求出A∩B={x|2≤x≤3}；（2）等价于，转化为不等式求解。‎ 试题解析：‎ 解：（1）由题意知，A={x|﹣1≤x≤3} B={x|x≥2}，‎ 所以A∩B={x|2≤x≤3}。‎ ‎（2）因为B∪ C=C，所以B⊆C ，‎ 所以a﹣1≤2，‎ 解得a≤3。‎ 所以实数a的取值范围为。‎ ‎18. 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，‎ ‎（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；‎ ‎（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．‎ ‎【答案】（1）[f（x）]max=37，[f（x）] min=1（2）a≤﹣5‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）a=﹣1时，配方得到f（x）=（x﹣1）2+1，从而可以看出x=1时f（x）取最小值，而x=﹣5时取最大值，这样便可得出f（x）的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）可以求出f（x）的对称轴为x=﹣a，而f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，从而可以 得出﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，这样便可得出实数a的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）a=﹣1，f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1；‎ ‎∵x∈[﹣5，5]；‎ ‎∴x=1时，f（x）取最小值1；‎ x=﹣5时，f（x）取最大值37；‎ ‎（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=﹣a；‎ ‎∵f（x）在[﹣5，5]上是单调函数；‎ ‎∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；‎ ‎∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．‎ 考点：函数单调性的判断与证明；二次函数的性质．‎ ‎19. 已知函数f(x)＝－x3＋ax，‎ ‎(1)求a=3时,函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求a=12时，函数f(x)的极值．‎ ‎【答案】（1）单调增区间（﹣1，1）单调减区间（-∞，﹣1），（1，+∞）.（2）当x=-2时有极小值-16，当x=,2时有极大值16‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出，令可得增区间，令可得减区间；‎ ‎（2）先判断函数的单调性，然后根据极值的定义求得极小值和极大值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎∴。‎ 由，解得；‎ 由，解得或。‎ ‎∴函数单调增区间为（﹣1，1），单调减区间（-∞，﹣1），（1，+∞）。‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减。‎ ‎∴当时，有极小值，且极小值为；‎ 当时，有极大值，且极大值为。‎ ‎20. 函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）．‎ ‎（1）求方程f（x）=0的解；‎ ‎（2）若函数f（x）的最小值为﹣1，求a的值．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，把方程转化成的形式，最后转化成求方程在函数定义域内的解。‎ ‎（2）因为，又，所以有 ‎，故函数的最小值为，令可求得。‎ 试题解析：（1）要使函数有意义，则有，解得：﹣3＜x＜1，‎ 函数可化为 由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1‎ 即x2+2x﹣2=0，‎ 解得或。满足﹣3＜x＜1。‎ ‎∴方程的解为。‎ ‎（2），‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴ 。‎ 由题意可得，‎ 解得，满足条件。‎ ‎∴ 。‎ 即的值为。‎ 点睛：解决对数型函数的有关问题时，要注意以下几点：（1）函数的定义域；（2）底数与1的大小关系；（3）如何将函数解析时变形，并确保变形的等价性；（4）复合函数是怎样构成的，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。‎ ‎21. 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，且f（1﹣m）＜f（3m）．‎ ‎（1）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上是奇函数，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上是偶函数，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得在区间上单调递减，将不等式 转化成进行求解；‎ ‎（2）由题意可得函数在上递增，在上递减，将不等式 转化成进行求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上是奇函数且在区间[0，2]上单调递减，‎ ‎∴函数f（x）在[﹣2，2]上单调递减，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ 解得。‎ ‎∴实数m的取值范围。‎ ‎（2）∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上是偶函数且在区间[0，2]上单调递减，‎ ‎∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ 解得。‎ ‎∴实数m的取值范围。‎ 点睛：若函数在定义域（或某一区间上）是增函数，则。利用此结论可将“函数”不等式的求解转化为一般不等式的求解，此类问题常与函数的奇偶性结合在一起考查，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行。‎ ‎22. 已知函数 .‎ ‎（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；‎ ‎（2）若 （ 是自然对数的底数）时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接运用导数的几何意义求解；（2）借助题设条件运用等价转化的数学思想先进行转化,再构造运用导数的知识求其值域求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，，，又，‎ ‎∴所求切线方程为.‎ ‎（2）由题意知，，恒成立，即恒成立，‎ ‎∵，∴，则恒成立.‎ 令，则，，‎ ‎∵，∴，即在上是减函数.‎ ‎∴当时，.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 考点：导数的有关知识和综合运用．‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含 参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,这时,求解时先对已知函数进行求导,再将切点横坐标代入求得切线的斜率为,就可以求出切线的方程为；第二问中的求的取值范围问题则可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求其最小值从而使得问题获解.‎ ‎ ‎ ‎ ‎