山东师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

高二下学期阶段性质量检测·数学试题 第Ⅰ卷 一、单选题（共8小题.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.表示集合中整数元素的个数，设，，则( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而得出．‎ ‎【详解】解：因为 所以；‎ 又 ‎；‎ 所以，，，，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，交集的运算，理解的定义，属于基础题．‎ ‎2.已知a，b都是实数，那么“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】由“（）a＜（）b得a＞b，当a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，即充分性不成立，‎ 当a＝﹣1．b＝0时，满足a2＞b2，但“（）a＜（）b不成立，即必要性不成立，‎ 则“（）a＜（）b”是“a2＞b‎2”‎的既不充分也不必要条件，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎3.已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 因此，回归直线必过点，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线必过点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为偶函数且在上单调递减，根据偶函数排除和；根据单调性排除.‎ ‎【详解】由可知函数为偶函数，且当时，，函数单调递减 选项：，为偶函数；当时，，此时函数单调递增，根据偶函数对称性可知，函数在上单调递减，符合题意；‎ 选项：，可知函数为非奇非偶函数，不符合题意；‎ 选项：，可知函数为奇函数，不符合题意；‎ 选项：在上单调递增，不符合题意.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判定，属于基础题.‎ ‎5.设，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的展开式的通项为，可得，，，，，则，再令即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，的展开式的通项为，‎ 所以，，，，，‎ 所以 令得 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.‎ ‎6.已知若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意画出函数的图象，将函数的零点转化为函数与的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得；‎ ‎【详解】解：因为画出函数图象如下所示：‎ 函数有两个零点，即函数与有两个交点，‎ 所以 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题.‎ ‎7.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．‎ ‎【详解】解：的导数为，‎ 由切线的方程可得切线的斜率为1，‎ 可得切点的横坐标为，所以切点为，‎ 代入，得，‎ ‎、为正实数，‎ 则．‎ 当且仅当时，取得最小值．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎8.已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2018），f（2019），f（2020）的大小．‎ ‎【详解】∵函数 f （x）满足：‎ ‎①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；‎ ‎②f（x+4）＝f（x），故函数的周期为4；‎ ‎③x1，x2∈[1，3]时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；‎ 故f（2018）＝f（2），‎ f（2019）＝f（3），‎ f（2020）＝f（0）＝f（2），‎ 故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．‎ 二、多选题（共4小题）‎ ‎9.设集合，，若实数，则的值可以是( )‎ A. 1 B. C. 0.5 D. 1.5‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合、，再根据交集的定义求出，从而判断可得；‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 所以 所以，‎ 故选：AC ‎【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.‎ ‎10.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是( )‎ A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关 C. 调查样本里面倾向选择生育二胎的人群中，男性人数少于女性人数 D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由比例图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中的男性人数多于女性人数，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：‎ 在中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为，‎ 是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故正确；‎ 在中，男性倾向选择生育二胎的比例为，女性倾向选择生育二胎的比例为，‎ 是否倾向选择生育二胎与性别有关，故正确；‎ 在中，男性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，‎ 女性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，‎ 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同，故错误；‎ 在中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为人，‎ 城镇户籍人数为人，‎ 倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故错误．‎ 故选：AB．‎ ‎【点睛】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎11.已知，，，，且，，则（ ）‎ A. ，，使得 B. ，，都有 C. ，y且，使得 D. a，b，c，d中至少有两个大于1‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的定义可得，，，，即可判断各选项.‎ ‎【详解】，，，，且，，‎ 则，，，，‎ 则，，都有，故B正确，A，C不正确，‎ 对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若，，则，，，，则假设不成立，故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.‎ ‎12.数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )‎ A. 对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个 B. 可以是某个圆的“优美函数”‎ C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”‎ D. 函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“优美函数”的定义判断选项，，正确，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项错误．‎ ‎【详解】解：对于：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，‎ 所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项正确；‎ 对于：因为函数图象关于原点成中心对称，‎ 所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，‎ 故选项正确；‎ 对于：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，‎ 则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项正确；‎ 对于：函数的图象是中心对称图形，‎ 则函数不一定是“优美函数”，如；‎ 但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，‎ 如图所示：‎ ‎，‎ 所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”‎ 的不充分不必要条件，故选项错误，‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，顾客相应获得袋子里的奖品.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A袋中的奖品的概率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 小球落入A袋中的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A袋中的概率.‎ ‎【详解】∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，‎ 将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，‎ 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，‎ 小球落入A袋中的概率为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件进行概率计算，属于基础题.‎ ‎14.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为偶数且在时为增函数,则可化为，从而可解出答案.‎ ‎【详解】函数有 所以函数为偶函数,且当时，在时为增函数.‎ 则成立，即成立 所以，即，即 ‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和利用函数的奇偶性、单调性解不等式,属于中档题.‎ ‎15. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有　　　　个．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 当相同的数字不是1时，有个；当相同的数字是1时，共有个，由分类加法计数原理知共有“好数”＋＝12个．‎ ‎16.已知函数，若在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为_____；若，在上至少存在一点，使得成立，则实数p的取值范围为_____.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，要使在定义域内为单调递增函数，只需在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求出，所以，从而实数p的最小值为1，由题意可知不等式在上有解，设，利用导数得到，即可解得实数p的取值范围.‎ ‎【详解】∵函数，，‎ ‎∴，‎ 要使在定义域内为单调递增函数，只需在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∵，当且仅当，即时，等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数p的最小值为1，‎ 由题意可知，不等式在上有解，‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴实数p的取值范围为：，‎ 故答案为：1，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时,解不等式;‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）或；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ） 当时,不等式为,结合二次函数的特点解出不等式即可；（Ⅱ）分两种情况求解，当时, 恒成立,适合题意；②当时,应满足求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时,不等式为,∴解集为或 ‎（Ⅱ）若不等式 的解集为,则①当时, 恒成立,适合题意; ‎ ‎②当时,应满足即解得由上可知, ‎ ‎【点睛】这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在R上恒成立的应用，在整个实数集上恒成立，即满足判别式小于0，开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题.‎ ‎18.已知函数的图像过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数的极大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由图象过点求出的值，再代入求出导数，再由切线方程求出、，分别代入求出和的值；‎ ‎（2）由（1）知，，求出函数的导函数，再令，求出，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极大值；‎ ‎【详解】解：（1）的图象经过，，‎ ‎，.‎ 点处的切线方程为，‎ ‎①，‎ 还可以得到，，即点满足方程，‎ 得到②，‎ 由①、②联立得，‎ 故所求的解析式是.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，‎ 令，得或，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 即函数在和上单调递增，在上单调递减，‎ 所以函数的极大值为.‎ ‎【点睛】本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，属于中档题.‎ ‎19.已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中的项；‎ ‎（3）求展开式中系数最大的项.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入求得各项系数和为，又二项式系数和为，根据二者相差可得方程，解方程求得；（2）根据展开式通项公式，令的幂指数等于，求得，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为，利用解得，进而求得系数最大的项.‎ ‎【详解】（1）展开式各项系数的和为：；二项式系数的和为：‎ 又各项系数的和比二项式系数的和大 ‎，即，解得 ‎（2）展开式的通项公式为：‎ 令，解得 展开式中项为：‎ ‎（3）设第项的系数为，则 由，即 解得：，所以 展开式系数最大项为：‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型.‎ ‎20.手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.‎ ‎（I）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？‎ ‎2×2列联表：‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎120‎ 不使用手机支付 ‎48‎ 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.‎ 附：‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（I）有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”‎ ‎（Ⅱ）所求随机变量的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 期望 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抽样比例求得对应数据，填写2×2列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论；‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样方法计算对应人数，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为，‎ ‎∴使用手机支付的人群中青年的人数为120＝84，‎ 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120﹣84＝36，‎ 由此填写2×2列联表如下； ‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎84‎ ‎36‎ ‎120‎ 不使用手机支付 ‎32‎ ‎48‎ ‎80‎ 合计 ‎116‎ ‎84‎ ‎200‎ 根据表中数据，计算K217.734＞7.879，‎ ‎∴P（K2≥7.879）＝0.005，‎ 由此判断有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”；‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人，‎ 抽到“使用手机支付”的人数为106，‎ ‎“不使用手机支付”的人数为4，‎ 设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X，‎ 则X的可能取值分别为0，1，2，3；‎ 计算P（X＝0），‎ P（X＝1），‎ P（X＝2），‎ P（X＝3），‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ X的数学期望为EX＝0123．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．‎ ‎21.某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段，设曲线段为函数，（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为；观光带的后一部分为线段，如图所示. ‎ ‎（1）求曲线段对应的函数的解析式；‎ ‎（2）若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带，绿化带由线段构成，其中点在线段上．当长为多少时，绿化带的总长度最长？‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)当OM长为‎1千米时，绿化带的总长度最长.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题意首先求得a,b,c的值，然后分段确定函数的解析式即可；‎ ‎（2）设，由题意得到关于t的函数，结合二次函数的性质确定当长为多少时，绿化带的总长度最长即可.‎ ‎【详解】（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为，‎ ‎，解得.‎ 所以，当时，，‎ 因为后一部分为线段BC，，‎ 当时，，‎ 综上，.‎ ‎（2）设，则，‎ 由，得，所以点，‎ 所以，绿化带的总长度：‎ ‎.‎ 所以当时.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.‎ ‎22.设函数，‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在是增函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，从而得到的最小值，即，所以，即可得出的单调性；‎ ‎（2）设求出导函数，令 求导得到，对参数分类讨论，从而得到参数的取值范围；‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ 所以.‎ 令，，由，可得.‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，即，‎ ‎，则在是增函数；‎ ‎（2）解：设，‎ 所以.‎ 令，则.‎ ‎①当时，，‎ 在上单调递增，.‎ ‎，在上单调递增，‎ 则，结论成立；‎ ‎②当时，由，可得，‎ 当时，，单调递减，又，‎ 时，恒成立，即.‎ 时，单调递减，‎ 此时，结论不成立.‎ 综上，即为所求.‎ ‎【点睛】本题考查了导函数的应用，构造函数，通过二次求导得出导函数的最值从而判断原函数的单调性，属于中档题．‎