【数学】2019届一轮复习苏教版圆锥曲线学案
专题12：圆锥曲线
问题归类篇
类型一：方程的标准形式
一、前测回顾
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ．
2.双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 ．
3.若a≠0，则抛物线y＝4ax2 的焦点坐标为 ．
答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,)．
二、方法联想
方程的标准形式
涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向．
三、归类巩固
*1.以y＝±x为渐近线的双曲线的离心率是 ．
答案：或 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)
*2.以抛物线y＝4x的焦点为焦点，以y＝±x为渐近线的双曲线的标准方程为 ．
答案：－＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)
类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用
一、前测回顾
1. 已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．
若△PF1F2的面积为9，则b的值为__________．
2.已知定点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当PA＋PF最小时，点P的坐标为 ．
3. 点F为椭圆＋＝1的右焦点，过点F且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点(AF
0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
答案: （已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率）
*3.双曲线－＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 ．
答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)
*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．
答案：(1，) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)
*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．
答案：(1，) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)
**6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C 的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ．
答案： (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e1，e2，则e1·e2的取值范围是 ．
答案：(,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)
**8.设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．
答案：(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)
类型四：直线与圆锥曲线的综合问题
一、 前测回顾
1．(1)点A是椭圆＋＝1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于x轴上方，满足PA⊥PF，则点P的坐标为 ．
(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 ．
答案：(1)(，)．(2)6．
2．(1)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P 在椭圆C上，且OP⊥AF， 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，则椭圆C的离心率为 ．
(2)已知椭圆的方程为＋＝1，与右焦点F相应的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．设＝λ(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，
证明：＝λ．
(3) 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
答案：(1) ；(2)略；(3) ．
3． (1)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是 ．
(2)已知椭圆C：x2＋2y2＝4，O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，则线段AB长度的最小值为 ．
答案：（1）6；（2）2．
二、方法联想
1．椭圆上一个点问题
方法1：设点. ①设点(x,y)代入方程、列式、消元；②设点(acosθ,bsinθ)
方法2：求点. 代入方程、列式、求解．
注意 考虑x0(或y0)的取值范围．
变式：如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.
答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)
2．直线与椭圆相交于两点问题
①已知其中一点坐标(x,y)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；
②两点均未知
方法1 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)． 有时也可以直接求出两交点.
注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况；
(2)通过△判断交点个数；
(3)根据需要也可消去x得关于y的方程．
结论：弦长公式 ｜AB｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．
方法2 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．
方法3 点差法
设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得＝－×，
即kAB＝－×，其中AB中点M为(x0，y0)．
注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．
3. 圆锥曲线的最值与范围问题
(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．
(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．
三、归类巩固
*1.由椭圆＋y2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点．则· ．
答案：－ (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.
*①若直线l的斜率为，求的值；
**②若＝λ，求实数λ的取值范围．
答案：①；②（0,1）
(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)
**3.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
答案： . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)
**4.已知椭圆C：＋＝1设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
答案： T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
(求取最值时的条件)
综合应用篇
一、例题分析
例1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．
*（1）若点P的坐标为 (1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
**（第18题）
x
O
y
P
F1
F2
Q
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率
e∈[，]，求实数λ的取值范围．
解：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．
由题意，得4a＝8，解得a＝2．
因为点P的坐标为 (1，)，所以＋＝1，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为＋＝1．
（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，).
因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－).
因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3．
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]．
方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．
因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．
由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，
则x1＋c＝－，即－c－x1＝．
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝＝－3．
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]．
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.
求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a，b，c的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a，b，c与某一变化的量之间的一个等量关系，即f(P)＝g(a，b，c)，根据g(a，b，c)在f(P)的值域内，可得关于基本量a，b，c的齐次不等关系．
（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用λ表示离心率e，解不等式求出λ的范围.
例2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.
*（1）求椭圆的离心率；
（2）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
**（i）求直线FP的斜率；
***（ii）求椭圆的方程.
解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(c＋a)c＝.又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0.又因为0＜e＜1，解得e＝.
所以，椭圆的离心率为.
（2）（ⅰ）方法一：依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m＞0)，则直线FP的斜率为.
由（Ⅰ）知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，可解得x＝，y＝，即点Q的坐标为(，).
由已知|FQ|=，有[＋c]2＋()2＝()2，整理得3m2－4m＝0，所以m＝，即直线FP的斜率为.
方法二：由（Ⅰ）知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，又|FQ|＝c
设Q(x0，y0) ，则 消y0 得5x＋4cx0－c2＝0， x0＝－c（舍）或 ，所以Q(，c) ，直线FP的斜率为.
（ii）方法一：由（i）得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0 ，与椭圆＋＝1 联立得7x2＋6cx－13c2＝0，x＝－c （舍）或c ，所以P(c，c) 由（i）得Q(，c)，由题直线QN,直线PM的斜率一定存在，设为k0 , 设PM：k0x－y－k0c＋c＝0 ，QN：k0x－y－c＋c＝0，两平行线距离为＝c ，解得k0＝－ ，所以M(c，0)，N(c，0) ，四边形PQNM的面积为SΔPFM－SΔFQN＝(c＋c)×c－(c＋c)×c＝3c ，解得c＝2 ，所以椭圆的方程为 ＋＝1 .
方法二：同方法一求出k0＝－，所以FP⊥QN，FP⊥PM , 又P(c，c)，Q(，c)，直线FP的斜率为.即tan∠PFM＝ ，|FQ|＝c，|FP|＝c ，所以四边形PQNM的面积为 (QN＋PM)·c＝(×c＋×c)·c＝3c ，解得c＝2 ，所以椭圆的方程为 ＋＝1 .
方法三：可利用|FQ|＝c，|FP|＝c得FP－FQ＝c 即直线PM与直线QN间的距离，直接得FP⊥QN，FP⊥PM，避免求k0的值简化运算过程.
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a，b，c的一个齐次关系，从而求出离心率；
2．直线与椭圆相交于两点问题
①已知其中一点坐标(x,y)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；
②两点均未知
方法1 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x
的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)． 有时也可以直接求出两交点.
（2）方法选择与优化：
本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.
二、反馈巩固
*1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ．
答案：＋＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
*2.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
答案：(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)
*3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B,C两点，且∠BFC＝90°,则该椭圆的离心率是 .
答案: (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
*4．已知方程－=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .
答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)
*5．椭圆C：＋＝1的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是 ．
答案：[，] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)
**6．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．
若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
答案：x2＋y2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)
***7．点M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若ΔPQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ．
答案：(0，) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算)
**x
y
O
A
P
B
8．如图，点A是椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的下顶点．
过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点P，点B在y 轴上，
且BP∥x轴，·＝9，若B点坐标为(0，1)，则椭圆
方程是 ．
答案：＋＝1 (考查平面图形的几何性质，求椭圆方程，向量的数量积运算)
**9．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有________个．
答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)
**10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
答案：(，)∪(，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)
**11．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x＞0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_______.
答案：－1或 (考查两点距离，函数的最值问题)
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C．
*F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第14题)
(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；
** (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
答案：(1) ＋y2＝1；(2)．
(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)
13. 已知椭圆C： ＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，且椭圆C与圆M： (x－1)2＋y2＝的公共弦长为.
*(1)求椭圆C的方程.
**(2)经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A， B两点， AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且(－)·(＋)＝0，求证： B， D， E三点共线..
解：（1）由题意得2a＝2，则a＝.
由椭圆C与圆M： (x－1)2＋y2＝的公共弦长为，其长度等于圆M的直径，
可得椭圆C经过点(1，±)，所以＋＝1，解得b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）证明：设A(x1，y1)， E(x2，y2)，则B(－x1，－y1)， D(x1，0).
因为点A， E都在椭圆C上，所以所以(x1－x2)(x1＋x2)＋ 2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
即＝－.又(－)·(＋) ＝·＝0，
所以kAB·kAE＝－1，即·＝－1，所以·＝1所以＝
又kBE－kBD＝－＝ －＝0，所以kBE＝kBD，所以B， D， E三点共线.
（记住常见的结论可以更快获取思路，避免联立方法的繁琐计算）
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3，0),离心率为e.
*(1)若e＝ ，求椭圆的方程；
**(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点， M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤ ，求k的取值范围.
答案：（1）＋＝1 ；
（2）(－∞，－]∪[，＋∞) .
(本题可以利用平面几何知识得F2A⊥F2B简化运算，考查函数值域问题)
15.如图，已知动直线与椭圆交于两个不同点.
*(1)若动直线又与圆相切，求的取值范围.
第15题
**(2)若动直线与轴交于点，满足，点O为坐标原点.求面积的最大值，并指出此时的值.
解：把代入椭圆方程得：
（Ⅰ）
即直线与圆相切，
把（3）代入（2）得：
解得：或
（Ⅱ）设 ，
由（1）式得：
又是方程（1）的根，
，依题意得，显然满足
当且仅当即（符合题意），
当时，的面积取最大值为1.
(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1、F2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB、DC，分别交椭圆E于点A、B和D、C.当α＝时，点B坐标为(0，1)．
*(1) 求椭圆E的方程；
** (2) 当α变化时，讨论线段AD与BC长度之间的关系，并给出证明；
*** (3) 当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值及对应的α值．
答案：(1) ＋y2＝1；(2) AD＝BC；(3)α＝.
(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)
17.如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)相切于点M(0，1)．
*⑴求椭圆T与圆O的方程;
⑵过点M引两条互相垂直的两直线l1，l2与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合).
**①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，求d＋d的最大值；
***②若3·＝4·，求l1与l2的方程．
解: (1)＋y2＝1，x2＋y2＝1．
(2)①，此时P(±，－)．
②l1：y＝x＋1，l2：y＝－x＋1
或l1：y＝－x＋1，l2：y＝
(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中，d＋d实际上就是矩形的对角线的平方，即PM2．问题3中，求出A，C点坐标后，直接用－替换k，得到B，D点坐标．或将3·＝4·转化为3(k2＋1)xAxC＝4(＋1)xBxD．)
18.如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，),B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－＜x＜)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
*（1）求直线AP斜率的取值范围；
***（2）求|PA|·|PQ|的最大值．
答案：（1）(－1，1)；（2）
(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得AP的斜率为x－，由－＜x＜，得AP斜率的取值范围；（2）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)＝－(k－1)(k＋1)3求解|PA|·|PQ|的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA|·|PQ|＝·减少了求Q点坐标问题达到简化运算的目的.)
