2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（课标Ⅰ卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（课标Ⅰ卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合，,则（ ）‎ ‎（A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}‎ ‎2．（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是：（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于 9‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．函数在的图像大致为（ ）‎ ‎10．已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）‎ 9‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．已知函数，若，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。‎ ‎14．设满足约束条件 ，则的最大值为______。‎ ‎15．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。‎ ‎16．设当时，函数取得最大值，则______.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和满足，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和。‎ ‎18（本小题满分共12分）‎ 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：），试验的观测结果如下：‎ 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ 9‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，求三棱柱的体积。‎ ‎20．（本小题满分共12分）‎ 已知函数，曲线在点处切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值。‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长是，求。‎ 9‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点。‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎ （Ⅱ）设圆的半径为，，延长交于点，求外接圆的半径。‎ ‎23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求与交点的极坐标（）。‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，。‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且当时，，求的取值范围。‎ 9‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．A；2．B；3．B；4．C；5．B；6．D；7．A；8．C；9．C；10．D；11．A；12．D；‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13．2； 14．3；15．； 16．；‎ 三.解答题 ‎17．（1）设｛a｝的公差为d，则S=。‎ 由已知可得 ‎（2）由（I）知 从而数列.‎ ‎18．（本小题满分共12分）‎ （1） 设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 ，又观测结果可得 ‎（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5）=2.3，‎ 由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好 ‎（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：‎ A药 B药 ‎6‎ ‎0．‎ ‎5 5 6 8 9‎ ‎8 5 5 2 2‎ ‎1．‎ ‎1 2 2 3 4 6 7 8 9‎ ‎9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 ‎ ‎2．‎ ‎1 4 5 6 7‎ ‎5 2 1 0‎ ‎3．‎ ‎2 ‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上，而B药疗效的试验结果有 9‎ 的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好。‎ ‎19.【答案】（I）取AB的中点O，连接、、，因为CA=CB，所以，由于AB=A A1，∠BA A1=600，故为等边三角形，所以OA⊥AB.‎ 因为OC⨅OA=O，所以AB平面OAC.又ACC平面OAC，故ABAC。‎ ‎(II)由题设知 ‎20．‎ ‎(II) 由（I）知，‎ ‎ ‎ 令 从而当<0.‎ 故.‎ 当.‎ ‎21．解：由已知得圆M的圆心为M（-1,0），半径;圆N的圆心为N（1,0），半径.‎ 设知P的圆心为P（x,y）,半径为R.‎ （I） 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以 ‎.‎ 9‎ 有椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左定点除外），其方程为。‎ （I） 对于曲线C上任意一点，由于，所以R2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得.‎ 若l的倾斜角不为90°，则知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，‎ 则，可求得Q（-4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得，‎ 解得k=±。‎ ‎ 当k=时，将y=x+代入，并整理得，‎ 解得.‎ ‎ 当k=.‎ 综上，.‎ ‎22．解：（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，，而.又因为，所以DE为直径，DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎（II）由（1），，，故是的中垂线，所以，圆心为O，连接BO，则，，所以，故外接圆半径为.‎ 9‎ ‎23．解：（1）将，消去参数t，化学普通方程，‎ 即 ，‎ ‎ 将 ‎；‎ 所以极坐标方程为 ‎ 。‎ ‎（2）的普通方程为，‎ 所以交点的极坐标为.‎ ‎24．解：（I）当

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