新课标备战高考数学文专题复习107110复数复数的代数形式及其运算

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第107-110课时：第十四章 复数——复数的代数形式及其运算 课题：复数的代数形式及其运算 一．教学目标：‎ 掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。‎ 二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。‎ 三．教学过程：‎ ‎（一）主要知识：‎ ‎1．共轭复数规律，；‎ ‎2．复数的代数运算规律 ‎（1）i=1，i=i，i=1，i=i；‎ ‎（3）i·i·i·i=1，i＋i＋i＋i=0；‎ ‎；‎ ‎3．辐角的运算规律 ‎（1）Arg（z·z）＝Argz＋Argz ‎（3）Arg=nArgz（n∈N）‎ ‎…，n1。‎ 或z∈R。‎ 要条件是|z|＝|a|。‎ ‎（6）z·z≠0，则 ‎4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。‎ ‎5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ‎||z||z||≤|z±z|≤|z|+|z|的运用。‎ 即|z±z|≤|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。‎ ‎|z±z|≥|z||z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。‎ ‎（二）范例分析 Ⅰ.2004年高考数学题选 ‎1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )‎ A． B． C．- D．- ‎2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C )‎ A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：‎ ‎1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。‎ ‎【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。‎ 解法一、设z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即为 用复数相等的定义得：‎ ‎∴=1，=1+3i.‎ 两边取模，得：‎ 整理得 ‎ 解得 或 代入①式得原方程的解是=1，=1+3i.‎ ‎【例2】（1993·全国·理）设复数z=cosθ＋isinθ（0＜‎ ‎【解】∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ 即，又∵0＜θ＜π，当时，或 ‎【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。‎ ‎【例3】设a，b，x，y∈R+，且（r＞0），‎ 求证：‎ 分析令=ax+byi，==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则问题化归为证明：‎ ‎||+||≥r（a+b）。‎ 证明设=ax+byi，=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），则 ‎=|（a+b）x+（a＋b）yi|=|（a＋b）（x+yi）|＝（a＋b）·r。‎ 解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：‎ 即（x‎3a+yi）·（i）＝（x‎3a+yi）‎ 由复数相等的定义得 而点（x，y）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为 ‎【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。‎ ‎2．分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。‎ ‎【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z＋2|z|=a。‎ 分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2|z|=a转化为z=a2|z|，则z∈R。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。‎ 总之，是一个需要讨论的问题。‎ ‎【解】解法一∵z=a2|z|∈R，∴z为实数或纯虚数。‎ ‎∴问题可分为两种情况：‎ ‎（1）若z∈R，则原方程即为|z|+2|z|a=0，‎ ‎（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为|y|2|y|＋a=0‎ 当a=0时，|y|=2即z=±2i。‎ 当0＜a≤1时，‎ 当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。‎ 综上所述，原方程：‎ 当a=0时，解为z＝0或z=±2i 解法二设z=x＋yi，x，y∈R，将原方程转化为 ‎3．数形结合思想 数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。‎ ‎【例6】已知|z|=1，且z+z＝1，求z。‎ ‎【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，‎ ‎【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。‎ ‎【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈(0，)，求复数z的值．‎ x O A B y 图1‎ ‎ 【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论．‎ ‎【解】因|OA|=|z|＞||=|OB|，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90º或∠ABO=90º．‎ x O A B y 图2‎ 若∠AOB=90º，示意图如图1所示．因z与所对应的点关于实轴对称，故argz=45º,‎ S△AOB=|OA|·|OB|=|z|·||=|z|2=．于是，|z|=2，‎ 从而，z=2(cos45º+isin45º)=+i．‎ 若∠ABO=90º，示意图如图2所示．因z与所对应的点关于实轴对称，且∠AOB＜90º，故argz=θ＜45º．‎ 令z=r(cosθ+isinθ)，则 cos2θ==，sin2θ=，S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ ‎=r·r·=r2=．‎ 于是，r=． 又cosθ==，‎ ‎ sinθ==， 故z=(+i)=2+i．‎ ‎ 综上所述，z=+i或z=2+i．‎ ‎ 【说明】①解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图．‎ ‎②解题规律：复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示．‎ ‎③解题技巧：复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称．‎ ‎④这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。‎ ‎4．集合对应思想 ‎【例8】如图所示，在复平面内有三点P，P，P对应的复数 应的复数为a，‎2a，‎3a，且它们有相同的辐角主值θ（如图所示），即A，P，P，P共线。‎ 从而2sinθ＝2‎ 因此有a=±2i。‎ ‎5．整体处理思想 解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。‎ ‎【例9】已知z=2i，求z3z＋z+5z＋2的值。‎ ‎【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再将结论转化为z3z＋z+5z＋2=（z4z＋5）（z＋z）+2，然后代入就不困难了。‎ ‎【解】∵z=2i，∴（z2）=（i）=1‎ 即z4z+5=0‎ ‎∴z3z＋z+5z＋2=（z4z+5）（z＋z）+2=2。‎ ‎【例10】已知，求。‎ ‎【解】解由条件得 ‎【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。‎ ‎【例11】复平面上动点z的轨迹方程为：|zz|＝|z|，z≠0，另一动点z满足z·z=1，求点z的轨迹。‎ 解由|zz|＝|z|，知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线。‎ 将此式整体代入点z1的方程，得 的圆（除去原点）。‎ ‎【例12】设z∈c，a≥0，解方程z|z|＋az＋i=0。‎ 边取模，得 ‎【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。‎ 综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。‎ ‎6．有关最值问题的多角度思考 ‎【例13】复数z满足条件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。‎ 解法一|z|=1，∴z=cosθ＋isinθ ‎∴|2zz+1|=|2（cosθ＋isinθ）（cosθ＋isinθ）＋1|‎ ‎=|（2cos2θcosθ＋1）＋（2sin2θsinθ）i|‎ ‎∴|2zz+1|=|2zz+|‎ 设z的实部为a，则1≤a≤1‎ ‎|2zz+1|=|‎2a＋z1|‎ ‎，‎ ‎∴|2zz+1|=4‎ 解法三：设ω=x+yi（x，y∈R），z=a＋bi（a，b∈r）且a+b=1，‎ 这说明ω对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。‎ 时的圆的半径。‎ 得8x2x＋89r＝0， 由相内切条件知Δ=0,‎ 解法四由模不等式：‎ ‎|2zz+1|≤2|z|＋|z|+1=4，等号成立的条件是2z，z，1所对应的向量共线且同向，可知z是负实数，在|z|=1的条件下，z=-1‎ ‎∴当z=1时|2zz+1|=4。‎ 但另一方面：|2zz+1|≥2|z||z|1=0，这是显然成立的，可是这不能由此确定|2zz+1|=0，实际上等号成立的条件应为2z，z，1表示的向量共线且异向，由2z与1对应的向量共线且异向知z=±i，但是当z=±i时，2z与z不共线，这表明|2zz+1|的最小值不是0。‎ 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。‎ ‎【例14】2001年普通高等学校招生全国统一考试(理18)‎ 已知复数z1＝i(1—i)3． (Ⅰ)求argz1及|z|； (Ⅱ)当复数z满足|z|＝1，求|z—z1|的最大值．‎ ‎【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．‎ ‎【解】(Ⅰ)‎ ‎∴，|z1|＝．‎ ‎(Ⅱ)设，则 当时，取得最大值，从而得到的最大值为．‎ 四．课后作业：‎ ‎1、下列命题中正确的是 [ ]‎ A．方程|z+5||z5i|=8的图形是双曲线 B．方程|z+5|=8的图形是双曲线 C．方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线的两支 D．方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线靠近焦点F(0，5)的一支 ‎2、方程的图形是 [ ]‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 ‎3、在复平面上绘出下列图形：‎ ‎4、已知是虚数，是实数。‎ ‎(1)求z对应复平面内动点A的轨迹；‎ ‎(2)设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；‎ ‎（3）设，求对应复平面内动点C的轨迹。‎ ‎5、设A，B，C三点对应的复数分别为z，z，z满足 ‎(1)证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；‎ ‎(2)求S△ABC；‎ ‎6、若，求所对应的点A的集合表示的图形，并求其面积．‎ ‎7．设z1，z2是两个虚数，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4．若θ1=argz1，θ2=argz2，求cos(θ1-θ2)的最大值．‎ ‎8．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海理17））‎ 已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值.‎ 四、专题训练参考答案 ‎1、解：DA的图形是直线，B的图形是圆，C是图形是双曲线的一去．故选D．||z+5i|-|z-5i||=8才是双曲线的两支．‎ ‎2、解：A原方程即|z(2+i)|=7．故选A．‎ ‎3、解：‎ ‎4、解：（1）因为z是虚数，所以，于是，即，且，因此动点A轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，但去掉两个点(2，0)与(2，0)．‎ ‎(2)由u=3iz+1得u1=3iz．由(1)及题设知|z|=2，z≠±2，所以 ‎|u1|=6，且u1≠±6i 因此动点B的轨迹是圆，中心在(1，0)，半径等于6，但去掉两点(1，6)与(1，6)．‎ ‎(3)设z=2(cosθ+isinθ)，(θ≠0，π)则 再令v=x+yi(x，y∈R)，则 ‎5、解：(1)由(ii)知A，B，C三点都在单位圆上．再结合(i)得 z=(z+z)‎ 设BC中点为D，它对应复数为z，那么 由于正三角形的外接圆与内切圆的圆心合一，因此△ABC的内切圆圆心 ‎6、‎ 因此动点A的图形是一个圆环．设此圆环面积为S，那么 ‎7．解：设|z1|=r，则|z2|=4-r(0＜r＜4)．将z1=r(cosθ1+isinθ1)，z2=(4–r)(cosθ2+isinθ2)，代入z1+z2=-3，得 两式平方相加，得r2+(4-r)2+2r(4-r)(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)=9，‎ 于是cos(θ1-θ2)==1+，‎ 当r=2时，cos(θ1-θ2)取最大值.‎ ‎8．解：‎ 故的最大值为最小值为.‎