【数学】2020届北京一轮复习通用版9-3椭圆及其性质作业
9.3 椭圆及其性质
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.椭圆的定义和标准方程
1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题
2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程
2017北京文,19
直线和椭圆的方程
三角形的面积公式
★★★
2.椭圆的几何性质
1.掌握椭圆的几何性质(范围、对称性等),并会熟练运用
2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率
2018北京,14
求椭圆离心率
双曲线的性质
★★★
3.直线与椭圆的位置关系
1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法
2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆的位置关系解答相应问题
2014北京文,19
弦长的最值问题
椭圆的标准方程和几何性质
★★★
分析解读 从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5 分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.
破考点
【考点集训】
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.“m>n>0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
考点二 椭圆的几何性质
2.(2017浙江,2,4分)椭圆x29+y24=1的离心率是( )
A.133 B.53 C.23 D.59
答案 B
3.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1-32 B.2-3 C.3-12 D.3-1
答案 D
考点三 直线与椭圆的位置关系
4.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.
解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x0·4y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).
(2)设C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3
得b2x2+43x+6-2b2=0,
又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,
由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=2·48-24b2+8b4b2.
由点P到直线l的距离为32及S△PAB=12×32|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,
因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,
从而所求C的方程为x26+y23=1.
炼技法
【方法集训】
方法1 求椭圆标准方程的方法
1.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
A.x225+y25=1 B.x230+y210=1 C.x236+y216=1 D.x245+y225=1
答案 C
方法2 椭圆的离心率(取值范围)的求法
2.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得过点P的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.12,1 B.22,32 C.22,1 D.32,1
答案 C
3.(2013福建文,15,4分)椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .
答案 3-1
方法3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法
4.(2014安徽文,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0
b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
答案 22
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .
答案 3-1;2
2.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.
(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意得a=2,ca=32,
解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).
直线BN的方程为y=n2-m(x-2).
联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.
3.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解析 (1)由题意,知椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=2.
故椭圆C的离心率e=ca=22.
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.
又x02+2y02=4,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=x0+2y0x02+(y0-2)2
=x02+y02+4y02x02+4
=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4
=x022+8x02+4(00)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B
2.(2015天津文,19,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
(i)求λ的值;
(ii)若|PM|sin∠BQP=759,求椭圆的方程.
解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.
又因为B(0,b),F(-c,0),
故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
又因为λ=|PM||MQ|,及xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
(ii)由(i)有|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,
即|PQ|=157|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=759,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.
又因为yP=2xP+2c=-43c,
所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,
因此553c=553,得c=1.
所以,椭圆方程为x25+y24=1.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.
3.(2014四川文,20,13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
解析 (1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.
又由a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=1m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,
所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,
x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.
因为四边形OPTQ是平行四边形,
所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=±1.
此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×12·|OF|·|y1-y2|
=24mm2+32-4·-2m2+3=23.
评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力.考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.22 D.223
答案 C
2.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A.23 B.12 C.13 D.14
答案 D
3.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A.63 B.33 C.23 D.13
答案 A
4.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案 A
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.
当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.
所以,k的值为-12.
解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.
2.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,
又kOM=510,从而b2a=510.
进而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.
(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得NM=a6,5b6.
又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).
由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以AB·NM=0,故MN⊥AB.
评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.
3.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析 (1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).
故C的离心率为12.
(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
C组 教师专用题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
2.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .
答案 33
3.(2016天津,19,14分)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
解析 (1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.
因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.
设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,
解得xM=20k2+912(k2+1).
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化简得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.
所以,直线l的斜率为-64或64.
4.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),
所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.
当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=-4±627.
所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.
当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.
综上,|AB|=23或|AB|=187.
评析本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想.
5.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
解析 (1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.
由此得|4-x|=2(x-1)2+y2,
化简得x24+y23=1,
所以动点M的轨迹方程为x24+y23=1.
(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
将y=kx+3代入x24+y23=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=-24k3+4k2, ①
x1x2=243+4k2.②
又因A是PB的中点,故x2=2x1, ③
将③代入①,②得
x1=-8k3+4k2,x12=123+4k2,
可得-8k3+4k22=123+4k2,且k2>32,
解得k=-32或k=32,所以直线m的斜率为-32或32.
解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
∵A是PB的中点,
∴x1=x22, ① y1=3+y22. ②
又x124+y123=1, ③ x224+y223=1, ④
联立①,②,③,④解得x2=2,y2=0或x2=-2,y2=0,
即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),
所以直线m的斜率为-32或32.
评析本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系等基础知识,对运算能力要求较高,考查函数与方程思想、数形结合思想.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2017课标Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
答案 A
2.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
3.(2015浙江,15,4分)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
答案 22
4.(2017天津,20,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b22.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线FP的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因为00),则直线FP的斜率为1m.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.
(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c7(舍去),或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面积为12|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.
2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=y1-y2x1-x2(x1≠x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=nm(m≠0);(4)点差法.
3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.
5.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
解析 (1)由已知得,a=2b.
又椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P3,12,
故34b2+14b2=1,
解得b2=1.
所以椭圆E的方程是x24+y2=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2b>0)的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若AC·DB+AD·CB=8,求k的值.
解析 (1)设F(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组y=k(x+1),x23+y22=1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
根据根与系数的关系知x1+x2=-6k22+3k2,
x1x2=3k2-62+3k2.
因为A(-3,0),B(3,0),所以AC·DB+AD·CB=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+2k2+122+3k2.
由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
则原点O到该直线的距离d=bcb2+c2=bca,
由d=12c,得a=2b=2a2-c2,
解得离心率ca=32.
(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①
依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.
易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,
x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.
由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.
从而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
故椭圆E的方程为x212+y23=1.
解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②
依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=10.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,
两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,
得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,
所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.
因此直线AB的方程为y=12(x+2)+1,
代入②得x2+4x+8-2b2=0.
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
故椭圆E的方程为x212+y23=1.
评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.
2.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=22.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).
由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,
又b2=a2-c2,所以c2a2=12.
所以,椭圆的离心率e=22.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).
由已知,有F1P·F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
因为点P在椭圆上,故
x022c2+y02c2=1.②
由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入①得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=22,故有
c+23c2+0-23c2=8+59c2,
解得c2=3.
所以,所求椭圆的方程为x26+y23=1.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
3.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
解析 (1)由题意得c=5,∵e=ca=53,∴a=3,
∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,
则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,
由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,
∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,
∴4-y029-x02=-1,
∴x02+y02=13,即此时点P的轨迹方程为x02+y02=13.
当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x02+y02=13.
综上所述,所求P点的轨迹方程为x02+y02=13.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018北京石景山一模,8)如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A、B),线段CD⊥AB,且满足CD2=λAD·BD(λ是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
答案 B
2.(2018北京西城二模,6)已知点A(0,0),B(2,0).若椭圆W:x22+y2m=1上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则椭圆W的离心率是( )
A.12 B.22 C.63 D.32
答案 C
3.(2019届北京八中10月月考,7)椭圆x2m2+y2=1(m>1)与双曲线x2n2-y2=1(n>0)有公共焦点F1(-c,0)、F2(c,0),P是它们的一个交点,则下列说法中:①m2+n2=2c2;②m2-n2=2;③∠F1PF2=90°;④△F1PF2的面积为1,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.(2017北京丰台期末,10)设椭圆C:x2a2+y216=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,如果|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的离心率为 .
答案 35
5.(2018北京门头沟一模,13)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点P若满足PF1⊥PF2,F1,F2为椭圆的两个焦点,称这样的点P为椭圆的“焦垂点”.椭圆x24+y22=1有 个“焦垂点”;请你写出椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有4个“焦垂点”时所满足的条件: .
答案 2;c>b或22b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设点Q在椭圆C上.试问直线x+y-4=0上是否存在点P,使得四边形PAQB是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意得,a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1,c=a2-b2=3,
所以椭圆C的离心率e=ca=32.
(2)由已知,设P(t,4-t),Q(x0,y0).
若四边形PAQB是平行四边形,则PA+PB=PQ,
所以(2-t,t-4)+(-t,t-3)=(x0-t,y0-4+t),
整理得x0=2-t,y0=t-3.
将其代入x02+4y02=4,
得(2-t)2+4(t-3)2=4,整理得5t2-28t+36=0,
解得t=185或t=2.
此时P185,25或P(2,2).
经检验,均使得四边形PAQB是平行四边形,
所以存在P185,25或P(2,2)满足题意.
试题分析 (1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点可得a=2,b=1,进而可得椭圆C的方程及离心率;(2)设P(t,4-t),Q(x0,y0),若四边形PAQB是平行四边形,则PA+PB=PQ,可得x0=2-t,y0=t-3.将其代入x02+4y02=4,可解得t=185或t=2,从而可得出P的坐标.
7.(2018北京东城期末,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点Q为椭圆C的上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于点P,求△OPQ的面积S的最小值.
解析 (1)由题意,得b=1,c=1,a2=b2+c2,解得a=2,
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)设Q(x0,y0)(x0≠1),P(m,2),则x022+y02=1.
①当m=0时,点P(0,2),点Q的坐标为(-2,0)或(2,0),
S=12×2×2=2.
②当m≠0时,直线OP的方程为y=2mx,即2x-my=0,
直线QF的方程为y=-m2(x-1).
点Q(x0,y0)到直线OP的距离
d=|2x0-my0|22+(-m)2,|OP|=22+m2,
所以S=12·|OP|·d=12·|2x0-my0|=x0-m2y0.
又y0=-m2(x0-1),
所以S=x0+y02x0-1=x0+1-x022x0-1=12·x02-2x0+2x0-1=12·x0-1+1x0-1=12|x0-1|+1|x0-1|≥1(-2b>0)的离心率为12,F为椭圆C的右焦点.A(-a,0),|AF|=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O作OE⊥DF,交直线x=4于点E.求证:OE∥AP.
解析 (1)依题意,得ca=12,a+c=3,解得a=2,c=1.
所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程是x24+y23=1.
(2)证明:由(1)得A(-2,0).
设M(x0,y0),P(x1,y1).
设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0),将其代入椭圆方程,整理得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
所以-2+x1=-16k24k2+3.
所以x0=-8k24k2+3,y0=k(x0+2)=6k4k2+3,
即M-8k24k2+3,6k4k2+3.
所以直线OM的斜率为6k4k2+3-8k24k2+3=-34k,
所以直线OM的方程是y=-34kx.
令x=4,得y=-3k,故D4,-3k.
又F(1,0),所以直线DF的斜率是-3k4-1=-1k,
因为OE⊥DF,所以直线OE的斜率为k,所以直线OE∥AP.
思路分析 (1)由离心率为12,|AF|=3可列方程组ca=12,a+c=3,从而可求椭圆方程;
(2)设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0),与椭圆方程联立,表示出点M,进而得到直线OM的方程,求得D点坐标(含k),求得直线DF的斜率为-1k,由OE⊥DF得到直线OE的斜率,进一步可证.
一题多解 第(2)问:由(1)得A(-2,0).设P(x1,y1)(x1≠±2),其中3x12+4y12-12=0.
因为AP的中点为M,所以Mx1-22,y12.
所以直线OM的斜率kOM=y1x1-2,
所以直线OM的方程是y=y1x1-2x.
令x=4,得D4,4y1x1-2.
由F(1,0),得直线DF的斜率kDF=4y13(x1-2).
因为直线AP的斜率是kAP=y12+x1,
所以kDF·kAP=4y123(x12-4)=-1,
所以AP⊥DF.
因为OE⊥DF,所以OE∥AP.
