【数学】2019届一轮复习北师大版计数原理与古典概率学案

【数学】2019届一轮复习北师大版计数原理与古典概率学案

专题1. 8 计数原理与古典概率 一、排列组合 1. 排列组合的定义 ‎ ‎ (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.‎ ‎(3)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎(4)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.‎ ‎【说明】　排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．‎ ‎2．活用排列数与组合数的公式及性质 公式 排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)‎ ‎＝ 组合数公式 C＝ ‎＝ ‎＝ 性质 ‎(1)A＝n！；‎ ‎(2)0！＝1‎ ‎(1)C＝1； , , ]‎ ‎(2)C＝；‎ ‎(3)C＋C＝C 备注 n，m∈N*，且m≤n ‎3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排；‎ ‎(2)合理分类与准确分步；‎ ‎(3)排列、组合混合问题先选后排；‎ ‎(4)相邻问题捆绑处理；‎ ‎(5)不相邻问题插空处理；‎ ‎(6)定序问题排除法处理；‎ ‎(7)分排问题直排处理； ‎ ‎(8)“小集团”排列问题先整体后局部；‎ ‎(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．‎ 二、熟记二项式定理及通项 ‎1.二项式定理 ‎ ‎(1)定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－ b ＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．‎ ‎(2)通项 T ＋1＝Can－ b 为展开式的第 ＋1项．‎ ‎[说明]　①Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项；‎ ‎②通项公式中a，b的位置不能颠倒；‎ ‎③通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．‎ ‎2．活用二项式系数的性质 ‎(1)对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C.‎ ‎(2)增减性与最大值 二项式系数C，当 ＜时，二项式系数是递增的；当 ≥时，二项式系数是递减的．‎ 当n是偶数时，中间一项取得最大值．‎ 当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值．‎ ‎(3)各二项式系数的和 ‎(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.[ ]‎ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.‎ 三．古典概型 ‎1.计算三注意 ‎ ‎（1）本试验是否是等可能的；‎ ‎（2）本试验的基本事件有多少个； ‎ ‎（3）事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．‎ ‎2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 ‎ ‎(1)直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；‎ ‎(2)间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．‎ 四. 随机变量及随机变量的分布列、均值、方差 ‎1．相互独立事件与n次独立重复试验 ‎(1)若A1，A2，…，An是相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．‎ ‎(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在n次独立重复试 验中事件A发生 次的概率为 Pn( )＝Cp (1－p)n－ .‎ ‎2．离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本公式 ①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；‎ ‎②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…；‎ ‎③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；‎ ‎④二项分布 ξ～B(n，p)，则P(ξ＝ )＝Cp (1－p)n－ ，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p).‎ ‎1．【 浙江省台州市上 期期末】有位男生， 位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛 求解排列、组合问题常用的解题方法 ‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎2．马路上有编号为1，2，3，4…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有( )‎ A. 7种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 ‎【答案】D ‎【解析】9只路灯关闭3只，有6只亮着的的灯，6只灯除去两边还有5个空，插入3只熄灭的灯，即种观灯的方法.选D. * 0 ‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎3．【 云南凉山州高中毕业班第二次检测】某校在教师交流活动中，决定派名语文教师， 名数 教师到甲乙两个 校交流，规定每个 校派去名老师且必须含有语文老师和数 老师，则不同的安排方案有（ ）种 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 故答案为 12．‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎4．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品为20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A=“是一等品”,B=“是合格品”,C=“是不合格品”,则下列结果错误的是(　　)‎ A. P(B)=‎ B. P(A∪B)=‎ C. P(A∩B)=0[ , , ]‎ D. P(A∪B)=P(C)‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据事件的关系及运算求解,A,B,C为互斥事件,故C项正确,‎ 又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,则P(B)=，P(A∪B)=，即A,B两项正确,‎ 很明显P(A∪B)≠P(C)D项错误.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【回扣要点】古典概型 ‎5．【 云南凉山州高中毕业班第二次检测】展开式中项的系数是（ ）[ ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎∴利用（1+x）5展开式的一次项与1﹣x的常数项相乘，常数项与1﹣x的一次项相乘，即5×1+1×（﹣1）=4，‎ 即的展开式中，含x项的系数为4．‎ 故选 A．‎ ‎【要点回扣】（1）二项式定理；（2）二项式系数的性质. 8 ‎ ‎6．【 浙江省嵊州市高三第一 期期末】甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）‎ A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 ‎【答案】D ‎【解析】可取， ； ‎ ‎， ， ， ， ，故选D.‎ ‎【回扣要点】随机变量的分布列、数 期望、方差.‎ ‎7．【2018届浙江省宁波市高三上 期期末】一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ， ， ，故选B.‎ ‎【回扣要点】二项分布、数 期望、方差.‎ ‎8．【2017年12月浙江省重点中 期末热身】已知随机变量满足， ， ，若，则（ ）‎ A. 随着的增大而增大， 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小， 随着的增大而增大 C. 随着的增大而减小， 随着的增大而减小 D. 随着的增大而增大， 随着的增大而减小 ‎【答案】C ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴随着的增大而减小， 随着的增大而减小 故选C.‎ ‎【回扣要点】随机变量的分布列、数 期望、方差.‎ ‎9．【 四川省成都实验中 高三上 期1月月考】名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得分，平均各得分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后， 名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】从高到底分数为14,12,10,8,6,4,2,0，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12，选C.‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎10．【 浙江省诸暨市高三上 期期末】已知，则______；则__________．‎ ‎【答案】 1 60‎ ‎ ‎ 点睛 赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎【要点回扣】（1）二项式定理；（2）二项式系数的性质.‎ ‎11．【 浙江省绍兴市高三3月模拟】若离散型随机变量的分布列为 则常数__________，的数 期望__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题得. 故填（1）（2）.‎ ‎【回扣要点】随机变量的分布列、数 期望、方差. 7 ‎ ‎12．【 浙江省绍兴市高三3月模拟】在我国南宋数 家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，__________，__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】 20 35‎ ‎【解析】,故填（1）20，（2）35.‎ ‎【回扣要点】1.杨辉三角；2.组合数的性质.‎ ‎13．【 浙江省嵊州市高三第一 期期末】某 校要安排位数 老师、位英语老师和位化 老师分别担任高三年级中个不同班级的班主任，每个班级安排个班主任．由于某种原因，数 老师不担任班的班主任，英语老师不担任班的班主任，化 老师不担班和班的班主任， 则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．‎ ‎【答案】32‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎14．【 江西省赣州厚德外国语 校高三上 期第一次阶段测试】一批产品的二等品率为 ‎，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次， 表示抽到的二等品件数，则____________．‎ ‎【答案】1.96‎ ‎【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．‎ 点睛 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点 ①是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生 次的概率．‎ ‎【回扣要点】1.独立重复试验；2.二项分布.‎ ‎15．【 辽宁省凌 市高三上 期期末】现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为__________．[ ]‎ ‎【答案】‎ 故所求的概率为.‎ ‎【回扣要点】古典概型 ‎16．某 生在参加政、史、地三门课程的 业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数 期望E(ξ)的值为________．‎ ‎ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b ‎【答案】‎ ‎【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．‎ ‎【回扣要点】随机变量的分布列、数 期望.‎ ‎17．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠.‎ ‎（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？‎ ‎（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？‎ ‎【答案】(1)；(2) 121．‎ ‎【解析】试题分析 （1）可分步完成这件事情 第一步，选3名男司机；第二步，选2名女司机；（2）可分类完成这件事情 第一类，选2名男司机3名女司机；第二类，选3名男司机2名女司机；第三类，选4名男司机1名女司机，第四类，选25名男司机0名女司．‎ 试题解析 （1)可分步完成这件事情 第一步，选3名男司机,有种不同的选法；第二步，选2名女司机，有种不同的选法；利用分步乘法原理，共有种不同的选法．‎ 可分类完成这件事情 第一类，选2名男司机3名女司机,有种不同的选法；第二类，选3名男司机2名女司机，有种不同的选法；第三类，选4名男司机1名女司机，有种不同的选法；第四类，选5名男司机0名女司机，有种不同的选法；‎ 利用分类加法与分步乘法原理，共有种不同的选法．．‎ ‎【回扣要点】排列组合应用题 ‎18．(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求. ‎ ‎(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.‎ ‎（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？‎ ‎（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？‎ ‎【答案】(Ⅰ) ,15360；(Ⅱ) ,114.‎ 试题解析 ‎ ‎(Ⅰ)（i）令则.‎ ‎ (ii)令 ‎ 得 ‎ ‎ (Ⅱ)（i） ‎ ‎ (ii) ‎ ‎【要点回扣】（1）二项式定理；（2）二项式系数的性质.‎ ‎19．已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.‎ ‎(1)求展开式中各项系数的和；‎ ‎(2)求展开式中含的项；‎ ‎(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案见解析.‎ 试题解析 ‎ 由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．‎ ‎(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.‎ ‎(2)通项公式＝ ＝ ，‎ 令－2 ＝，则 ＝1，故展开式中含的项为T2＝－16.‎ ‎(3)设展开式中的第 项，第 ＋1项，第 ＋2项的系数绝对值分别为 ‎， ， ，‎ 若第 ＋1项的系数绝对值最大，则解得5.‎ 又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792.‎ 由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120.‎ ‎【要点回扣】（1）二项式定理；（2）二项式系数的性质. · ‎ ‎20．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.‎ ‎（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；‎ ‎（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数 期望.‎ ‎【答案】（1）108 343‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 试题解析 （1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则 ‎（2）的取值有四个 3、4、5、6，分布列为 ‎ ‎，,‎ ‎，．‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而得分的数 期望．‎ ‎【要点回扣】（1）独立重复试验的概率；（2）离散型随机变量分布列（超几何分布）及期望.‎