高考数学难点突破08__奇偶性与单调性(二)
高中数学难点 8 奇偶性与单调性(二)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.
本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数 f(x)在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)=0,解不等式 f［log2(x2+5x+4)］
≥0.
●案例探究
［例 1］已知奇函数 f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x－3)+f(x2－3)<0,
设不等式解集为 A，B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问
题的能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.
错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最
值问题时，学生容易漏掉定义域.
技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为 xcos 不等式，利用数形结合进行集合运
算和求最值.
解：由
66
60
333
333
2 x
x
x
x 得 且 x≠0,故 0
3－x2,即 x2+x－6>0,解得 x>2 或 x<－3,综上得 2f(0)对所有θ ∈［0, 2
］都成立？若存在，求出符合条件
的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运
算能力，属★★★★★题目.
知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二
次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思
想方法.
技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
解：∵f(x)是 R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是 R 上的增函数.于是不
等式可等价地转化为 f(cos2θ －3)>f(2mcosθ －4m),
即 cos2θ －3>2mcosθ －4m,即 cos2θ －mcosθ +2m－2>0.
设t=cosθ ,则问题等价地转化为函数g(t) =t2－mt+2m－2=(t－
2
m )2－
4
2m +2m－2在［ 0，
1］上的值恒为正，又转化为函数 g(t)在［0，1］上的最小值为正.
∴当
2
m <0,即 m<0 时，g(0)=2m－2>0 m>1 与 m<0 不符；
当 0≤
2
m ≤1 时，即 0≤m≤2 时，g(m)=－
4
2m +2m－2>0
4－2 2 1,即 m>2 时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2
综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m>4－2 2 .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭
知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.
(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价
转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.
特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设 f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当 0≤x≤1 时，f(x)=x,则 f(7.5)
等于( )
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)<0,
a 的取值范围是( )
A.(2 2 ，3) B.(3， 10 )
C.(2 ，4) D.(－2，3)
二、填空题
3.(★★★★)若 f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又 f(－3)=0,则 xf(x)<0 的解集
为_________.
4.(★★★★)如果函数 f(x)在 R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且 f(x+2)=－f(x),
试比较 f( 3
1 ),f( 3
2 ),f(1)的大小关系_________.
三、解答题
5.(★★★★★)已知 f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断 f(x)在(－∞,0)上的增
减性并加以证明.
6.(★★★★)已知 f(x)= x
xa
21
12
(a∈R)是 R 上的奇函数，
(1)求 a 的值；
(2)求 f(x)的反函数 f－1(x);
(3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f－1(x)>lg k
x1 .
7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数 f(x)满足 f(m－sinx)≤f( m21 －
4
7 +cos2x)对
任意 x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围.
8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)= cbx
ax
12
(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当 x>0 时，f(x)
有最小值 2，其中 b∈N 且 f(1)< 2
5 .
(1)试求函数 f(x)的解析式；
(2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不
存在，说明理由.
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).
又∵f(x)为偶函数，且 f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且 f(－2)=f(2)=0
∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ①
或 log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得 x2+5x+4≥4
∴x≤－5 或 x≥0 ③
由②得 0＜x2+5x+4≤
4
1 得
2
105 ≤x＜－4 或－1＜x≤
2
105 ④
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5 或 ≤x≤－4 或－1＜x≤ 或 x≥0}
歼灭难点训练
一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=
f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.
答案：B
2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且 f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴
93
191
131
2
2
aa
a
a
∴a∈(2 2 ,3).
答案：A
二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0
0)(
0
0)(
0
xf
x
xf
x 或
3
0
3
0 )3()(
0 )3()(
0
x
x
x
x
fxf
x
fxf
x 或或
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
4.解析：∵f(x)为 R 上的奇函数
∴f( 3
1 )=－f(－
3
1 ),f( 3
2 )=－f(－
3
2 ),f(1)=－f(－1),又 f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >
－ >－1.
∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
答案：f( )＜f( )＜f(1)
三、5.解：函数 f(x)在(－∞,0）上是增函数，设 x1＜x2＜0,因为 f(x)是偶函数，所以
f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知 f(x) (0，+∞)上是减函数，于是
有 f(－x1)＜f(－x2),即 f(x1)＜f(x2),由此可知，函数 f(x)在(－∞,0)上是增函数.
6.解：(1）a=1.
(2)f(x)=
12
12
x
x
(x∈R)f－-1(x)=log2
x
x
1
1 (－1＜x＜1 ) .
(3)由 log2
x
x
1
1 >log2 k
x1 log2(1－x)＜log2k,∴当 0＜k＜2 时，不等式解集为{x|1－k
＜x＜1} ;当 k≥2 时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .
7.解：
1sinsin4
721
sin4
cos4
721sin
4cos4
721
4sin
2
2
2
xxmm
xm
xmxm
xm
xm
即 ，对 x
∈R 恒成立,
2
1
2
3
3
mm
m
或 ∴m∈［
2
3 ,3］∪{ 2
1 }.
8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即 cbxcbxcbx
ax
cbx
ax
11 22
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= bxxb
a
bx
ax 112
≥2 2b
a ，当且仅当 x= a
1 时等号成立，
于是 2 2b
a =2,∴a=b2,由 f(1)＜
2
5 得
b
a 1 ＜ 即
b
b 12 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得
2
1 ＜b＜2，
又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ x
1 .
(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在 y=f(x)
图象上，则
0
0
2
0
0
0
2
0
2
1)2(
1
yx
x
yx
x
消去 y0 得 x0
2－2x0－1=0,x0=1± 2 .
∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.
