高考数学复习 17-18版 第1章 第2课 四种命题和充分、必要条件
第 2 课 四种命题和充分、必要条件
[最新考纲]
内容
要求
A B C
命题的四种形式 √
充分条件、必要条件、充分必要条件 √
1.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图 21
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
2.充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.
(2)如果 p⇔q,那么 p 与 q 互为充分必要条件.
(3)如果 pD q,且 qD p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
3.集合与充分必要条件
设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有:
(1)若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件.
(2)若 B⊆A,则 p 是 q 的必要条件,若 B A,则 p 是 q 的必要不充分条件.
(3)若 A=B,则 p 是 q 的充分必要条件.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若 p 则 q”的否命题是“若 p,则非 q”.( )
(3)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( )
(4)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.( )
[解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
(3)正确.q 是 p 的必要条件说明 p⇒q,所以 p 是 q 的充分条件.
(4)正确.原命题与逆否命题是等价命题.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)命题“若α=π
4
,则 tan α=1”的逆否命题是________.
若 tan α≠1,则α≠π
4 [“若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q,则非 p”,显
然非 q:tan α≠1,非 p:α≠π
4
,所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1,则α≠π
4
”.]
3.(2016·镇江期中)实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,则“ac<0”是“该
方程有实数根”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分
必要”或“既不充分又不必要”)
充分不必要 [一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根,则判别式Δ=b2-4ac
≥0,即 b2≥4ac.当 ac<0 时,显然有 b2≥4ac;但 b2≥4ac 未必推出 ac<0,故
“ac<0”是一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根的充分不必要条件.]
4.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假
命题的个数为________.
2 [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若 a>-6,则 a>
-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.
因此 4 个命题中有 2 个假命题.]
5.(2017·南京三模)记不等式“x2+x-6<0”的解集为集合 A,函数 y=lg(x
-a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围
为________.
(-∞,-3] [由 x2+x-6<0 得-3
0 得 x>a,即 B={x|x>a}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
∴A⊆B,
∴a≤-3.]
四种命题的关系及其真假判断
(1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是
________.
(2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命
题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是________.(填序号)
①真,假,真;②假,假,真;③真,真,假;④假,假,假.
(1)若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数 (2)② [(1)“若 x,y 都是偶数,
则 x+y 也是偶数”的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”.
(2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.
当 z1=1+2i,z2=2+i 时,显然|z1|=|z2|,但 z1 与 z2 不共轭,所以逆命题为
假命题,从而它的否命题也为假命题.]
[规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明
它是假命题,只需举一反例即可.
3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性
间接地证明命题的真假.
[变式训练 1] (1)已知命题 p:正数 a 的平方不等于 0,命题 q:若 a 不是正
数,则它的平方等于 0,则 p 是 q 的________.(填“逆命题”“否命题”“逆否
命题”或“否定”)
(2)给出以下四个命题:
①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若 q≤-1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题;
④若 ab 是正整数,则 a,b 都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
(1)否命题 (2)①③ [(1)把命题 p 可改成“若 a 是正数,则它的平方不等于
0”,显然 q 是 p 的否命题.
(2)①的逆命题为:若 x,y 互为相反数,则 x+y=0,显然是真命题;②的
否命题为:不全等的三角形的面积不相等,显然是假命题;
③若 x2+x+q=0 有实根,则Δ=1-4q≥0,即 q≤1
4.故当 q≤-1 时,方程
x2+x+q=0 有实根是真命题,其逆否命题也是真命题;
④是假命题,如 a=2,b=1
2
,则 ab=1.]
充分条件与必要条件的判断
(1)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)
的极值点,则 p 是 q 的________条件. 【导学号:62172006】
(2)(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题:
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;
②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件,故①错误;
②由于α,β的范围不明确,故当α>β时无法判断“cos α,cos β”的大小关
系.故②错误;
③当 a=0 时,f(x)=x3 是奇函数;反之由 f(x)为奇函数可知 a=0,故③正确.]
[规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据 p⇒q,q⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用
于命题中涉及字母的范围的推断问题.
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化
为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.
[变式训练 2] (2017·南昌调研)m=-1 是直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线
3x+my+9=0 垂直的________条件.
充分不必要 [由直线 mx+(2m-1)y+1=0 与 3x+my+9=0 垂直可知 3m+
m(2m-1)=0,∴m=0 或 m=-1,∴m=-1 是两直线垂直的充分不必要条件.]
充分条件、必要条件的应用
(典例迁移)
已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x
∈P 是 x∈S 的必要条件,求 m 的取值范围. 【导学号:62172007】
[解] 由 x2-8x-20≤0 得
-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P 是 x∈S 的必要条件,
则 S⊆P,
∴
1-m≥-2,
1+m≤10,
1-m≤1+m,
∴0≤m≤3.
综上可知,当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.
[迁移探究 1] 本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要
条件.
[解] 由例题知 P={x|-2≤x≤10}.
若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
∴ 1-m=-2,
1+m=10,
∴ m=3,
m=9,
即这样的 m 不存在.
[迁移探究 2] 本例条件不变,若非 P 是非 S 的必要不充分条件,求实数 m
的取值范围.
[解] 由例题知 P={x|-2≤x≤10}.
∵非 P 是非 S 的必要不充分条件,∴P 是 S 的充分不必要条件,
∴P⇒S 且 SD P,
∴[-2,10] [1-m,1+m],
∴ 1-m≤-2,
1+m>10
或 1-m<-2,
1+m≥10,
∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).
[规律方法] 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解
题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集
合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
[变式训练 3] (1)(2017·徐州模拟)已知命题 p:a≤x≤a+1,命题 q:x2-4x<0,
若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是________.
(2)方程 ax2+2x+1=0(a∈R,a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件
是________.
(1)(0,3) (2)a≤0 或 a=1 [(1)令 M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}=
{x|00,
a+1<4,
解得 00,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是
________.
若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0 [根据逆否命题的定义,命题“若
m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2+x-m=0 没有实
根,则 m≤0”.]
2.设α,β是两个不同的平面,m 是直线且 m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的
________条件.
必要不充分 [m⊂α,m∥βD α∥β,但 m⊂α,α∥β⇒m∥β,∴“m∥β”
是“α∥β”的必要不充分条件.]
3.“x=1”是“x2-2x+1=0”的________条件.
充分必要 [因为 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根,为 x=1,所以“x=1”
是“x2-2x+1=0”的充分必要条件.]
4.已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac2>bc2”与它的逆命
题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是________.
【导学号:62172008】
2 [由 a>bD ac2>bc2,但 ac2>bc2⇒a>b.
所以原命题是假命题,它的逆命题是真命题.
从而否命题是真命题,逆否命题是假命题.]
5.“m<1
4
”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的________条件.
【导学号:62172009】
充分不必要 [x2+x+m=0 有实数解等价于Δ=1-4m≥0,
即 m≤1
4
,因为 m<1
4
⇒m≤1
4
,反之不成立.
故“m<1
4
”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的充分不必要条
件.]
6.给出下列命题:
①“若 a21,则 ax2-2ax+a+3>0 的解集为 R”的逆否命题;
④“若 3x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数”的逆否命题.
其中为真命题的是________.(填序号)
③④ [对于①,否命题为“若 a2≥b2,则 a≥b”,为假命题;对于②,逆命题
为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当 a>1 时,Δ=-12a<0,
原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆
否命题正确,故④正确,故命题③④为真命题.]
7.(2017·金陵中学期中)设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的
________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必
要”)
必要不充分 [当 a>2 且 b>2 时,a+b>4.
但当 a=1,b=6 时,有 a+b=7>4,
故“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件.]
8.“sin α=cos α”是 cos 2α=0 的________条件.
充分不必要 [∵cos 2α=cos2α-sin2α,
∴若 sin α=cos α,则 cos 2α=0,反之不一定,如当 cos α=-sin α时也成立.]
9.命题“若 a2+b2=0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是________.
【导学号:62172010】
若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0 [“若 a2+b2=0,则 a=0 且 b=0”的逆否命
题是“若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0”.]
10.若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件,则实数 m
的取值范围是________.
[0,2] [由已知易得{x|x2-2x-3>0} {x|x<m-1 或 x>m+1},
又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
∴
-1≤m-1,
m+1<3
或
-1<m-1,
m+1≤3,
∴0≤m≤2.]
二、解答题
11.已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0,
则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.
(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
[解] (1)否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若 a
+b<0,则 f(a)+f(b)0,设 p:函数 y=cx 在 R 上递减;q:
函数 f(x)=x2-c2 的最小值不大于- 1
16.如果 p,q 均为真命题,求实数 c 的取值范
围.
[解] 因为 c>0,p:函数 y=cx 在 R 上递减,
所以 p 为真时,00,所以 c≥1
4.
因为 p,q 均为真命题,所以
0
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