2019-2020学年安徽省马鞍山市第二中学高二12月考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省马鞍山市第二中学高二12月考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省马鞍山市第二中学高二12月考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若命题,则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由全称命题的否定是特称命题，命题，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题.‎ ‎2．已知椭圆:,其焦点坐标为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为椭圆:,化简为:,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 椭圆:,化简为:‎ ‎ ‎ 根据:‎ 可得:,故 ‎ 的焦点为: .‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆焦点坐标,解题关键是掌握椭圆方程定义和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎3．是直线与直线平行的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由直线平行的判定得：斜率存在时，斜率相等，斜率不存在时两直线也平行，进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 当直线与直线斜率都不存在时，两直线平行，‎ 即，此时，‎ 当两直线斜率存在时，直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 由得，，即，‎ 当，且时，直线为同一条直线，直线重合，不是平行，‎ 综上：“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线平行的判定以及充分必要条件，属于基础题.‎ ‎4．方程，化简的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由，可得点到，的距离之和正好等于，结合椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，，‎ 故方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎5．设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）‎ A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件 B．当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件 C．当时，“n//”是“”必要不充分条件 D．当时，“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】A,B,D正确；C错误．异面；‎ 所以当时，是的既不充分又不必要条件.故选C ‎6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程，‎ 当时，，，，‎ 所以，由，解得，‎ 当时，，，，‎ 所以，由，解得，‎ 故实数的取值范围为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知命题，命题，则（ ）‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是真命题 D．命题是假命题 ‎【答案】B ‎【解析】判断命题是真命题，命题是真命题，进而判断复合命题的真假.‎ ‎【详解】‎ 命题，取，则，故命题为真命题，‎ 命题，当且仅当，即时取等号，所以，即命题也为真命题，‎ 所以，命题是真命题.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断，判断命题的真假是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎8．已知椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，为坐标原点，则 A．2 B．4‎ C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆定义，求得的值，连接，可知ON为的中位线，进而求得的值。‎ ‎【详解】‎ 由已知及椭圆的定义可得，‎ 由于在中，N，O分别是，的中点，‎ 所以根据中位线定理可得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义，根据定义将线段进行转化，属于基础题。‎ ‎9．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，且，则符合条件的直线有（ ）‎ A．条 B．条 C．条 D．条 ‎【答案】C ‎【解析】设直线的方程为，则，，可得 ‎，解出即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设直线的方程为，‎ 令，得，则，‎ 令，得，则，‎ 所以，即，‎ 解得或，‎ 因此符合题意的直线方程有条.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积计算公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10．设是椭圆的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点，使（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的加法以及向量的数量积运算，即可求得为等腰三角形，进而可得为直角三角形，再利用椭圆的定义即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图，由题意，取的中点，连接，‎ 由，，则，即为等腰三角形，‎ ‎∴为的中位线，则，即为直角三角形，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，，‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎∴，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，考查向量的运算，考查椭圆定义的应用，考查转化思想，属于中档题.‎ ‎11．中，斜边，以的中点为圆心，作半径为的圆，圆交于两,两点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理，求出，，再结合，即可求值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，‎ 在中，根据余弦定理，‎ 同理中，，‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，属于基础题.‎ ‎12．在椭圆内有一点，为椭圆右焦点，为椭圆上一动点，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆的定义将转化为，再利用三角形的基本定理即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆的右焦点，设左焦点，为椭圆上一动点，‎ 根据椭圆的定义，则，‎ 所以，‎ 由三角形三边中，两边之差小于第三边，即当在的延长线上时，‎ ‎，‎ 故的最大值是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若命题“”使是假命题，则实数的取值范围为 ________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为命题“，使”的否定是假命题，所以命题“，使”是真命题，即从而实数的取值范围是.‎ ‎【考点】命题的真假 ‎14．已知点，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则_______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】利用椭圆的标准方程定义及其三角形面积计算公式、勾股定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：,的面积为9，‎ 设，．‎ 则 可得：，‎ 即，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎15．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为______.‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】求出直线的定点，再判断定点的位置即可.‎ ‎【详解】‎ 直线整理得，‎ 由，解得，即直线过定点，‎ 因，即定点在圆内部，‎ 所以直线与圆相交.‎ 故答案为：相交.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线系方程的应用，考查直线过定点，考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于基础题.‎ ‎16．有下列命题：‎ ‎①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；‎ ‎②函数的图象关于点对称；‎ ‎③“且”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④在中，若，则角等于或 ‎.‎ 其中是真命题的序号为_____________.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】①将函数化为，利用周期性判断即可；‎ ‎②将函数转化为，可知其对称中心为；‎ ‎③利用必要不充分条件判断即可；‎ ‎④利用两角和的正弦公式与诱导公式可求得，再排除，即可判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①函数，‎ 所以其周期为，即相邻两个对称中心的距离为，故①错误；‎ ‎②函数，其图象关于点对称，故②正确；‎ ‎③若且，则不成立，即充分性不成立；反之，若，也不能推出且，即必要性也不成立，故“且”是“”的既不充分也不必要条件，故③错误；‎ ‎④在中，由两式平方相加得，‎ ‎，即，‎ 所以或，‎ 当时，，故舍去，‎ 所以，故④错误.‎ 故答案为：②.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件、命题及其否定、三角函数的恒等变换及其应用，考查分析运算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．‎ 已知，命题，命题 ‎．‎ ‎（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）;（II）.‎ ‎【解析】（1）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的范围；（2）由命题“p∧q”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；‎ ‎（2）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，‎ p为假命题时，由（I）a＞1；‎ q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，‎ 综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ ‎1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．‎ ‎2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．‎ ‎18．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．‎ ‎∴＝3．‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，‎ ‎∴λ＝2或．‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．‎ ‎(2)由 解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．‎ ‎∴dmax＝|PA|＝．‎ ‎19．已知（为常数）；代数式有意义.‎ ‎（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；‎ ‎（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）由是成立的必要不充分条件，则是成立的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，命题即为，命题，‎ 若“”为真命题，则，得，‎ 故时，使“”为真命题的实数的取值范围是.‎ ‎（2）记命题为集合，命题为集合，‎ 由是成立的必要不充分条件，即是成立的充分不必要条件，则，‎ 因此，，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎20．已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2)直线的方程为，的面积为.‎ ‎【解析】求得圆的圆心和半径.‎ ‎（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.‎ ‎（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.‎ ‎【详解】‎ 圆，故圆心为，半径为.‎ ‎(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，，故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).‎ 当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).‎ 综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为，即.‎ 又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，‎ ‎，‎ 所以△POM的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）若的周长为16，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）的周长为可得的值，由离心率为得的值，得坐标，代入直线的点斜式方程可得直线的方程；（2）由离心率及关系化简椭圆方程，联立椭圆及直线方程，整理关于的一元二次方程，由根与系数的关系得的值，代入弦长公式，建立等式，可得的值，从而得椭圆的方程．‎ 试题解析：（1）由题设得 又得 ‎∴∴‎ ‎（2）由题设得，得，则 椭圆C：‎ 又有， 设，‎ 联立消去，得 则且 ‎∴，‎ 解得，‎ 从而得所求椭圆C的方程为．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22．已知椭圆，经过椭圆上一点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且点横坐标为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆的一条动弦，且，为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）∵在椭圆上，故，‎ 同时联立 得，‎ 化简得，由，‎ 可得，，故椭圆；‎ ‎（2）设，，直线方程为：，‎ 联立得，‎ 故，，‎ 由，‎ 得，‎ 故原点到直线的距离，∴，‎ 令，则，‎ 又∵， 当时，，‎ 当斜率不存在时，的面积为，综合上述可得面积的最大值为．‎