【数学】2019届一轮复习北师大版函数的奇偶性与周期性学案
第6讲 函数的奇偶性与周期性
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
2017·全国卷Ⅱ，14
2017·山东卷，14
2016·天津卷，6
2015·广东卷，3
1.对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．
2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大.
分值：5分
1．偶函数、奇函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，
那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特点
偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．
3．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最小__正周期．
5．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
【例1】 (1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( C )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列各函数的奇偶性．
①f(x)＝(x＋1)；
②f(x)＝；
③f(x)＝
解析 (1)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数．故选C．
(2)①由得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
二 函数奇偶性的应用
与函数奇偶性有关的问题及解决方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．
【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( C )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( C )
A．－5 B．－1
C．3 D．4
解析 (1)用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1.故选C．
(2)∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，①
∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，
即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，②
①＋②得f(x)＋f(－x)＝8.③
又∵lg(log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，
∴f[lg(log210)]＝f[－lg(lg 2)]＝5，
又由③式，知f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，
∴5＋f[lg(lg 2)]＝8，∴f[lg(lg 2)]＝3.
三 函数的周期性
函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期．
【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( C )
A．337 B．338
C．339 D．2 018
解析 由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.
四 函数性质的综合应用
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，
则实数a的取值范围是( A )
A．(2，3) B．(3，)
C．(2，4) D．(－2,3)
(2)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 017)＋f(2 018)＝__1__.
解析 (1)由f(a－3)＋f(9－a2)<0，得f(a－3)<－f(9－a2)．又奇函数满足f(－x)＝－f(x)，得f(a－3)0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)＝( D )
A．－6 B．6
C．4 D．－4
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x＋m，所以f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，则f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.
3．已知定义在R上的偶函数f(x)，在x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，若f(a)0，所以不是奇函数，所以B项错；对于C项，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)是偶函数，所以C项错；对于D项，f(x)＝x3－1定义域为R，但图象不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数，所以D项错．只有A项满足定义域关于原点对称，并且f(－x)＝－f(x)，是奇函数．
2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( A )
A． B．－1
C．1 D．7
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又因为f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，所以a＋b＝.故选A．
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝( A )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析 因为f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
即f(2 019)＝－2.
4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x，则f＝( D )
A． B．－
C．lg 2 D．－lg 2
解析 因为当x>0时，f(x)＝lg x，所以f＝lg＝－2，
则f＝f(－2)，
因为函数y＝f(x)是奇函数，
所以f＝－f(2)＝－lg 2.
5．已知偶函数y＝f(x)满足f(x＋5)＝f(x－5)，且0≤x≤5时，f(x)＝x2－4x，则f(2 018)＝( B )
A．－3 B．－4
C．4 D．12
解析 ∵f(x＋5)＝f(x－5)，∴f(x＋10)＝f(x)，∴f(x)为周期函数，且周期为10，∴f(2 018)＝f(202×10－2)＝f(－2)＝f(2)＝22－4×2＝－4.故选B．
6．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．[－2,1] B．[－5,0]
C．[－5,1] D．[－2,0]
解析 因为f(x)是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈时恒成立，则ax＋1≤|x－2|，即x－2≤ax＋1≤2－x.由ax＋1≤2－x，得ax≤1－x，a≤－1，而－1在x＝1时取得最小值0，故a≤0.同理，x－2≤ax＋1时，a≥－2，所以a的取值范围是[－2,0]．
二、填空题
7．(2018·河南豫西南部分示范性高中期中)已知奇函数f(x)＝则实数a＝__－4__.
解析 因为函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，所以4－21＝－(21＋a)，解得a＝－4.
8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
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