【数学】2020届一轮复习苏教版解题模板给力学案
必备五 解题模板给力
模板一 函数性质的应用
典型例题
例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(log126)的值是 .
答案 -12
解析 因为-3
0,f(3)=20.12-5>0.由于f(1)·f(2)<0,因此方程ex-(x+2)=0的一个根在区间(1,2)内,故填③.
▲模板构建 函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:
跟踪集训
2.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f(x)=lgx+32x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .
模板三 三角函数的性质
典型例题
例3 已知函数f(x)=23sinx+π4cosx+π4-sin(2x+3π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向左平移π4个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.
解析 (1)f(x)=23sinx+π4cosx+π4-sin(2x+3π)
=3sin2x+π2+sin2x=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,(化简)
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由已知得g(x)=fx+π4=2sin2x+π4+π3,
=2sin2x+π2+π3=2cos2x+π3,
∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,(换元)
故当2x+π3=π,即x=π3时,g(x)min=gπ3=-2;
当2x+π3=π3,即x=0时,g(x)max=gπ3=1.(结论)
▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路:
跟踪集训
3.已知函数f(x)=23asinxcosx+asin2x-acos2x+b(a,b∈R).
(1)若a>0,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当x∈-π4,π4时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1-3,求ab的值.
模板四 解三角形
典型例题
例4 如图,在△ABC中,已知AC=7,∠B=45°,D是边AB上的一点,AD=3,∠ADC=120°.求:
(1)CD的长;
(2)△ABC的面积.
解析 (1)在△ACD中,AC=7,AD=3,∠ADC=120°,(定已知)
由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,(选定理)
72=32+CD2-2×3·CDcos120°,解得CD=5.(得结论)
(2)在△BCD中,∠B=45°,CD=5,(定已知)
由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsinB=BDsin75°=5sin45°,(选定理)
解得BD=5+532,(得结论)
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=12AD·CDsin∠ADC+12CD·BDsin∠BDC=12×3×5sin120°+12×5×5+532sin60°=75+5538.
▲模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:
跟踪集训
4.(2018江苏淮海中学模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc,a=152b.
(1)求sinB的值;
(2)求cosC+π12的值.
模板五 利用函数性质解不等式
典型例题
例5 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(-2)=9,且f(x)的导数f'(x)在[0,+∞)上恒有f'(x)<4x,则不等式f(x)<2x2+1的解集为 .
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 设g(x)=f(x)-2x2-1,(构函数)
则g'(x)=f'(x)-4x.(析性质)
因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
而g(-x)=f(-x)-2(-x)2-1=f(x)-2x2-1=g(x),
所以函数g(x)为偶函数,故g(x)=g(|x|),(析性质)
因为当x∈[0,+∞)时,f'(x)<4x,故g'(x)=f'(x)-4x<0,
所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.(析性质)
而g(2)=f(2)-2×22-1=f(-2)-9=0,故由g(x)<0,即g(|x|)2.(巧转化)
解得x<-2或x>2.
所以不等式f(x)<2x2+1的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(写解集)
▲模板构建 利用函数性质解题主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:
跟踪集训
5.设函数f(x)是奇函数,其导函数为f'(x),f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
模板六 基本不等式的应用
典型例题
例6 设x,y是正实数,且x+y=1,则x2x+2+y2y+1的最小值是 .
答案 14
解析 设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,(换元)
所以x2x+2+y2y+1=(s-2)2s+(t-1)2t=s-4+4s+t-2+1t
=4s+1t-2,(巧拼凑)
因为4s+1t=144s+1t(s+t)=144ts+st+5≥94,当且仅当t=43,s=83,即x=23,y=13时,取等号,(得定值)
所以x2x+2+y2y+1≥14,即x2x+2+y2y+1的最小值是14.(得结论)
▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:
跟踪集训
6.(2018江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数a,b满足1a+b+1a-b=1,则3a+2b的最小值为 .
模板七 不等式恒成立问题
典型例题
例7 已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y-(m2+2m)>0恒成立,则实数m的取值范围为 .
答案 (-4,2)
解析 记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m2+2m0,y>0,所以4yx+xy≥24yx·xy=4当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.
所以t=4+4yx+xy≥4+4=8,即tmin=8.(求最值)
故m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系)
解得-40)上恰有两点M,N,使得△MAB和△NAB的面积均为4,则r的取值范围是 .
模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题
典型例题
例12 平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且点3,12在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
①求|OQ||OP|的值;
②求△ABQ面积的最大值.
解析 (1)将3,12代入椭圆方程,有3a2+14b2=1,又e=ca=a2-b2a=32,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为x216+y24=1.
①设P(x0,y0),|OQ||OP|=λ(λ>0),由题意知Q(-λx0,-λy0).
因为x024+y02=1,(-λx0)216+(-λy0)24=1,即λ24x024+y02=1,
所以λ=2或λ=-2(舍去),即|OQ||OP|=2.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),(设点)
将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程)
由Δ>0,可得m2<4+16k2,(a)
又x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2,
所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=12|m|·|x1-x2|=2|m|16k2+4-m21+4k2
=2(16k2+4-m2)m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.
设m21+4k2=t.(设出参数)
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(b)
由(a)(b)可知00等).解题步骤如下:
跟踪集训
12.(2018江苏南通模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A、B是椭圆C上的任意两点,O是坐标原点,且OA垂直OB.
①求证:存在一个定圆,使得直线AB始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程;
②求△AOB面积的最大值.
模板十三 圆锥曲线中的探索性问题
典型例题
例13 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)在y轴上是否存在点P,使得当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
解析 (1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).
对于y=x24,因为y'=12x,所以y=x24在x=2a处的导数值为a,在x=-2a处的导数值为-a,
所以曲线C在(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0,在(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.
故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.
(2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在)
设M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
将y=kx+a代入曲线C的方程,整理得x2-4kx-4a=0,(联立方程)
所以x1+x2=4k,x1x2=-4a,
所以k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.
当b=-a时,有k1+k2=0,
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)
▲模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:
跟踪集训
13.(2018江苏兴化一中模拟)椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,点P(0,2)关于直线y=-x的对称点在椭圆M上.
(1)求椭圆M的方程;
(2)如图,椭圆M的上、下顶点分别为A、B,过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C,D.
①求OC·OD的取值范围;
②当AD与BC相交于点Q时,试问:点Q的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
模板十四 应用性问题
典型例题
例14 (2018江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10米,BC=103米,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,△BEF区域内安装一批照明灯(E,F点在线段AC上),且∠EBF=30°,△BEF外其余区域建运动场.
(1)若E在距离A点4米处,求点E,F之间的距离;
(2)为了使运动场地区域最大化,要求△BEF面积应尽可能地小,记∠ABE=θ,请用θ表示△BEF的面积S(θ),当S(θ)最小时,求θ的值.
解析 (1)由题意得∠BAC=60°,∠ACB=30°,AC=20米.
∵∠BFE=∠BCF+∠CBF=30°+∠CBF,
∠ABE=∠ABC-∠EBF-∠CBF=90°-30°-∠CBF,
∴∠BFE+∠ABE=90°.
△ABE中,由余弦定理得BE=219米.
cos∠ABE=41919,
△BEF中,EFsin30°=BEsin∠BFE=BEcos∠ABE,
∴EF=BE2cos∠ABE=194米.
(2)△ABE中,BEsin60°=ABsin[180°-(θ+60°)]=10sin(θ+60°),则BE=53sin(θ+60°).
△BCF中,BFsin30°=BCsin(60°+θ+30°)=103sin(θ+90°),则BF=53cosθ米.
∴S(θ)=12BE·BFsin30°=754cosθsin(θ+60°)=753+2sin(2θ+60°).
∵θ∈(0°,60°),∴当2θ+60°=90°,即θ=15°时,S(θ)最小.
答:当θ=15°时,三角形BEF的面积最小.
▲模板构建
跟踪集训
14.(2018江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A沿AB,AC方向修建两条小路,休息亭P与入口的距离为32a米(其中a为正常数),过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交两条小路于E、F处,已知∠BAP=45°,tan∠CAB=125.
(1)设AE=x米,AF=y米,求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)试确定E,F的位置,使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低.
模板十五 求空间角(理科专用)
典型例题
例15 (2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥A-BOC中,AO,OB,OC两两互相垂直,点D,E分别为棱BC,AC的中点,F在棱AO上,且满足OF=14OA,已知OA=OC=4,OB=2.
(1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值;
(2)求二面角C-EF-D的正弦值.
解析 (1)如图,以O为原点,分别以OB,OC,OA的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1),
所以AD=(1,2,-4),OC=(0,4,0),
所以cos=AD·OC|AD||OC|=8421=22121.
因此异面直线AD与OC所成角的余弦值为22121.
(2)平面AOC的一个法向量为OB=(2,0,0).
设m=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,
又EF=(0,-2,-1),DE=(-1,0,2),
则m·EF=0,m·DE=0,即2y+z=0,x-2z=0.
不妨取z=2,则x=4,y=-1,
所以m=(4,-1,2)为平面DEF的一个法向量,
从而cos=OB·m|OB||m|=(2,0,0)·(4,-1,2)2×21=42121,
设二面角C-EF-D的大小为θ,则|cosθ|=42121.
因为θ∈[0,π],所以sinθ=1-cos2θ=10521.
因此二面角C-EF-D的正弦值为10521.
▲模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:
跟踪集训
15.(2018南京、盐城一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC的中点,AC=4,BD=2,OP=4.
(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;
(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
模板十六 离散型随机变量
典型例题
例16 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
解析 (1)设事件A为“张同学至少取到1道乙类题”,
则事件A为“张同学所取3道题都是甲类题”.(定性)
因为P(A)=C63C103=16,(定型)
所以P(A)=1-P(A)=56.(求值)
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3.(定元)
P(X=0)=C22×252×15=4125,
P(X=1)=C21×35×25×15+C22×252×45=28125,
P(X=2)=C22×352×15+C21×35×25×45=57125,
P(X=3)=C22×352×45=36125.(定型)
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
4125
28125
57125
36125
所以E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.(求值)
▲模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:
跟踪集训
16.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).
答案精解精析
模板一 函数性质的应用
跟踪集训
1.答案 -4
解析 奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(-2)=-f(2)=-4.
模板二 函数的零点
跟踪集训
2.答案 5
解析 函数f(x)在(0,+∞)上递增,且f(5)=lg5-32<0,f(6)=lg6>0,所以函数零点在区间(5,6)上,则n=5.
模板三 三角函数的性质
跟踪集训
3.解析 (1)因为f(x)=23asinxcosx+asin2x-acos2x+b
=3asin2x-acos2x+b
=2asin2x-π6+b.
又a>0,所以函数f(x)的单调增区间为-π6+kπ,π3+kπ,k∈Z.
(2)当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,2sin2x-π6∈[-2,3],
则当a>0时,函数f(x)的最大值为3a+b,最小值为-2a+b.
所以3a+b=3,-2a+b=1-3,
解得a=1,b=3-3.
当a<0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为3a+b.
所以3a+b=1-3,-2a+b=3,
解得a=-1,b=1.
综上,a=1,b=3-3或a=-1,b=1.
模板四 解三角形
跟踪集训
4.解析 (1)在△ABC中,根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得,cosA=b2+c2-a22bc=12.
因为A∈(0,π),所以A=π3.
在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB得
sinB=basinA=215×32=55.
(2)因为a=152b>b,所以A>B,即00时,g'(x)=xf '(x)-f(x)x2<0,则g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是奇函数,则g(-x)=f(-x)-x=f(x)x=g(x),则g(x)是偶函数,
g(-1)=f(-1)-1=0=g(1),f(x)>0⇔xg(x)>0⇔x>0,g(x)>0或x<0,g(x)<0,解得00,x>0,则x>1,y>0,
a=x+y2,b=x-y2,3a+2b=3x+3y2+x-y=5x+y2=12(5x+y)·1x+1y=126+yx+5xy≥3+12×2yx·5xy=3+5,当且仅当yx=5xy,y=5x时,取等号,故3a+2b的最小值为3+5.
模板七 不等式恒成立问题
跟踪集训
7.答案 a≥-1712
解析 2ag(x)+h(2x)≥0,即2a·2x-2-x2+22x+2-2x2≥0,
2a·(2x-2-x)+22x+2-2x≥0,令2x-2-x=t,t∈32,154,则22x+2-2x=t2+2,
2at+t2+2≥0,t2+2≥-2at,-2a≤t+2tmin,y=t+2tt,∈32,154递增,t=32时,ymin=176,
则-2a≤176,解得a≥-1712.
模板八 线性规划问题
跟踪集训
8.答案 6
解析 画出可行域如图所示,
由z=2x+y得y=-2x+z.
当直线y=-2x+z经过点A(-1,-1)时,z取得最小值n=-3;
当直线y=-2x+z经过点C(2,-1)时,z取得最大值m=3.
∴m-n=6.
模板九 数列的通项与求和
跟踪集训
9.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为满足a2=2,S5=15,
所以a1+d=2,5a1+5×42d=15,解得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)·1=n,
因为等比数列{bn}满足b2=4,b5=32,设其公比为q,则b1q=4,b1q4=32,解得b1=2,q=2,
所以数列{bn}的通项公式为bn=b1qn-1=2n.
(2)由(1)知:anbn=n·2n,所以Tn=1×2+2×22+…+n×2n,①
所以2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1,②
由②-①得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n·2n+1=-2(1-2n)1-2+n·2n+1,
故Tn=(n-1)2n+1+2.
模板十 空间中的平行与垂直
跟踪集训
10.证明 (1)∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD=BG,又∵AD∥BC,∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.
∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.
(2)易知四边形ADFE是矩形,连接GF,
∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,∴DF⊥平面BCFE,EG⊂平面BCFE,∴DF⊥EG.
∵EF∥BG,EF=BG,且EF=BE,∴四边形BGFE为菱形,∴BF⊥EG,
又BF∩DF=F,BF⊂平面BFD,DF⊂平面BFD,∴EG⊥平面BDF.
模板十一 直线与圆
跟踪集训
11.答案 22,922
解析 由题意可得|AB|=(-1+3)2+(-2-0)2=22,
根据△MAB和△NAB的面积均为4,可得两点M,N到直线AB的距离为22.
由于直线AB的方程为y-0-2-0=x+3-1+3,即x+y+3=0.
若圆上只有一个点到直线AB的距离为22,
则圆心(2,0)到直线AB的距离为|2+0+3|2=r+22,解得r=22;
若圆上只有3个点到直线AB的距离为22,
则圆心(2,0)到直线AB的距离为|2+0+3|2=r-22,解得r=922.
综上,r的取值范围是22,922.
模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题
跟踪集训
12.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得ca=32,且a=2,得c=3,b=1,
∴所求椭圆方程为x24+y2=1.
(2)①证明:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±255,原点O到直线AB的距离为255.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
则由x24+y2=1,y=kx+m,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
Δ=16(1+4k2-m2)>0,
x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,
由OA·OB=x1x2+y1y2=5m2-4-4k21+4k2=0,
得m2=45(1+k2),
∴原点O到直线AB的距离d=mk2+1=45(1+k2)1+k2=255.
综上所述,原点O到直线AB的距离为255,即该定圆方程为x2+y2=45.
②当直线AB的斜率不存在时,AB=455,
当直线AB的斜率存在时,|AB|=1+k2|x1-x2|=451+9k216k4+8k2+1,
当k≠0时,|AB|=451+916k2+1k2+8≤5,当且仅当k=±12时等号成立.
当k=0时,|AB|=455,∴|AB|的最大值为5.
由①知,点O到直线AB的距离为255,
∴S△AOB的最大值为12×5×255=1.
模板十三 圆锥曲线中的探索性问题
跟踪集训
13.解析 (1)因为点P(0,2)关于直线y=-x的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆M上,所以a=2.又e=32,故c=3,则b2=a2-c2=4-3=1.所以椭圆M的方程为x24+y2=1.
(2)①当直线l的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以OC·OD=-1.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),y=kx+2,x24+y2=1,消去y整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由Δ>0,可得4k2>3,且x1+x2=-16k1+4k2,x1x2=121+4k2,
所以OC·OD=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-1+171+4k2,
所以-10,y=13ax4x-7a>0得定义域为7a4,+∞.
解法二:由tan∠CAB=125,得sin∠CAB=1213,cos∠CAB=513,
sin∠FAP=sin(∠FAE-∠PAE)=sin(∠FAE-45°)=7226.
设∠FPA=θ,
△APF中,由正弦定理得AFsin∠APF=PFsin∠FAP=APsin∠AFE,
所以PF=7226ysinθ,sin∠AFE=32asinθy.
同理可得PE=22xsinθ,FE=1213xy32asinθ.
由PF+PE=FE,
即7226ysinθ+22xsinθ=1213xy32asinθ,
整理得y=13ax4x-7a,
由x>0,y=13ax4x-7a>0,得定义域为7a4,+∞.
解法三:以AB所在直线为x轴,点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则E(x,0),P(3a,3a),由tan∠CAB=125,得sin∠CAB=1213,cos∠CAB=513,
所以F513y,1213y,
因为PE与PF共线,
所以513y-3a(-3a)=1213y-3a(x-3a),
所以y=13ax4x-7a,由x>0,y=13ax4x-7a>0
得定义域为7a4,+∞.
(2)设三条路围成地皮购价为y元,地皮购价为k元/平方米,则y=k·S△AEF(k为正常数),
所以要使y最小,只要使S△AEF最小即可.
由题可知S△AEF=12AE·AF·sin∠CAB=12xy·1213=613xy=613x·13ax4x-7a=6ax24x-7a,定义域为7a4,+∞.
令t=4x-7a>0,
则S△AEF=6at+7a42t=3a8·t2+14at+49a2t=3a8t+49a2t+14a
≥3a82t·49a2t+14a=212a2.
当且仅当t=7a,即x=7a2时取等号,
所以,当x=7a2时,S△AEF最小,所以y最小.
答:当点E距离A点7a2米时,三条路围成地皮购价最低.
模板十五 求空间角(理科专用)
跟踪集训
15.解析 (1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,所以以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2).
所以AP=(-2,0,4),BM=(-1,-1,2),
所以AP·BM=10,
|AP|=25,|BM|=6.
则cos=AP·BM|AP||BM|=1025×6=306.
故直线AP与BM所成角的余弦值为306.
(2)AB=(-2,1,0),BM=(-1,-1,2).
设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·AB=0,n·BM=0,即-2x+y=0,-x-y+2z=0.令x=2,则y=4,z=3.
所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).
又平面PAC的一个法向量为OB=(0,1,0),所以n·OB=4,|n|=29,|OB|=1.
则cos=n·OB|n||OB|=429=42929.
故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为42929.
模板十六 离散型随机变量
跟踪集训
16.解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,
所以P=C42+C32+C22C92=6+3+136=518.
(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.
{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=C44C94=1126.
{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=C43C51+C33C61C94=20+6126=1363.
于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.
所以随机变量X的概率分布如下表:
X
2
3
4
P
1114
1363
1126
因此随机变量X的数学期望
E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.
