数学6年高考4年模拟 立体几何 点 线 面的位置关系

数学6年高考4年模拟 立体几何 点 线 面的位置关系

第二节 点、线、面的位置关系 第一部分 六年高考荟萃 ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010浙江理）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ‎（A）若，，则 （B）若，，则 ‎（C）若，，则 （D）若，，则 ‎【答案】 B 解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 ‎2.（2010江西理）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎【答案】D ‎【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 ‎ ‎3.（2010山东文）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 ‎【答案】D ‎4.（2010四川理）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ ‎ cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD ‎ 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC ‎ Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 ‎ ‎5.（2010全国卷1文）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 ‎(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. ‎ ‎【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线 与所成的角，又三角形为等边三角形，‎ ‎6.（2010湖北文）4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；‎ ‎③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④‎ ‎7.（2010山东理）(3)在空间，下列命题正确的是 ‎（A）平行直线的平行投影重合 ‎（B）平行于同一直线的两个平面平行 ‎（C）垂直于同一平面的两个平面平行 ‎（D）垂直于同一平面的两条直线平行 ‎【答案】D ‎【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。‎ ‎【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。‎ ‎8.（2010安徽理）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A、280 B、‎292 ‎C、360 D、372‎ ‎【答案】C ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ 二、填空题 ‎1.（2010四川理）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，‎ 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，‎ C D 故∠ADC为二面角的平面角，为60°‎ 又由已知，∠ABD＝30°‎ 连结CB，则∠ABC为与平面所成的角 设AD＝2，则AC＝，CD＝1‎ AB＝＝4‎ ‎∴sin∠ABC＝‎ 三、解答题 ‎1.（2010湖南文）18.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 ‎（Ⅰ）求异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B‎1M1‎ ‎2.（2010浙江理）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. ‎ ‎（Ⅰ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。‎ 解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。‎ ‎（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,‎ 又因为平面平面.‎ 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则（2，2，），C（10，8，0），‎ F（4，0，0），D（10，0，0）. ‎ 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.‎ 设=（x,y,z）为平面的一个法向量，‎ ‎ -2x+2y+2z=0‎ 所以 ‎ 6x=0.‎ 取，则。‎ 又平面的一个法向量，‎ 故。‎ 所以二面角的余弦值为 ‎（Ⅱ）解：设则，‎ ‎ 因为翻折后，与重合，所以，‎ ‎ 故， ，得，‎ ‎ 经检验，此时点在线段上，‎ 所以。‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。‎ ‎ 因为=及是的中点，‎ 所以 又因为平面平面，‎ 所以平面,‎ 又平面,‎ 故，‎ 又因为、是、的中点，‎ 易知∥，‎ 所以，‎ 于是面，‎ 所以为二面角的平面角，‎ 在中，=，=2，=‎ 所以.‎ 故二面角的余弦值为。‎ ‎（Ⅱ）解：设,‎ ‎ 因为翻折后，与重合，‎ 所以，‎ ‎ 而，‎ ‎ ‎ 得，‎ 经检验，此时点在线段上，‎ 所以。‎ ‎3.（2010全国卷2）（19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．‎ ‎（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.‎ ‎【参考答案】‎ ‎(19)解法一：‎ ‎（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.‎ 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.‎ 又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.‎ 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.‎ ‎（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°‎ 设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.‎ 作B1H⊥A‎1C1，H为垂足，因为底面A1B‎1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA‎1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.‎ ‎【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.‎ ‎4.（2010北京文）（17）（本小题共13分）‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。‎ EF//AC，AB=,CE=EF=1‎ ‎（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;‎ 证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形 ‎ 所以AF∥EG ‎ 因为EG平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF∥平面BDE ‎ （Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.‎ ‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.‎ ‎5.（2010天津文）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.‎ ‎（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； ‎ ‎（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中，tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎6.（2010天津理）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，、分别是棱,‎ 上的点，,‎ （1） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ （2） 证明平面 （3） 求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点A为坐标原点，设,依题意得,‎ ‎,,‎ （1） 解：易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2） 证明：已知,,‎ 于是·=0，·=0.因此，,,又 所以平面 ‎(3)解：设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。‎ 于是，从而 所以二面角的正弦值为 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=‎ 链接B‎1C,BC1，设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ‎ ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.‎ 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知，所以，又所以，在 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎7.（2010广东理）18.（本小题满分14分）‎ 如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．‎ ‎ 图5‎ ‎ （1）证明：EB⊥FD；‎ ‎（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面 与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎（2）设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面，∴平面，‎ 而平面平面= ，‎ ‎∴.‎ 由（1）知，平面，∴平面，‎ 而平面， 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是．‎ ‎8.（2010全国卷1理）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎9.（2010湖北文）18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1‎ ‎（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎10.（2010山东理）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，‎ 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为 ‎，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则 ‎，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎（2010湖北理数）18． (本小题满分12分)‎ 如图， 在四面体ABOC中, , 且 ‎（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎11.（2010福建理）‎ 概率为。‎ ‎（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，‎ ‎，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎（2010安徽理数）18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证：∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面；‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎2009年高考题 一、 选择题 ‎1.. 如图，正方体的棱线长为1，线段 有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ‎ ‎ （A）‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）三棱锥的体积为定值 ‎ （D）异面直线所成的角为定值 ‎2. 给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是 ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ 答案 选D.‎ ‎3．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中 心，则与平面所成角的大小是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ 答案：C ‎ ‎【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面 所成角即为，设，则，，‎ 即有．‎ ‎4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎5．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的． ‎ ‎6.设m，n是平面 内的两条不同直线，，是平面 内的两条相交直线，则// 的 一个充分而不必要条件是 ‎ A.m // 且l // B. m // l 且n // l C. m // 且n // D. m // 且n // l ‎【答案】：B ‎【解析】若，则可得.若则存在 ‎7. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与 所成的角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C ‎8．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面 的距离为 （ ）‎ ‎ A． B．1 ‎ C． D．‎ 答案 D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意，，如图，‎ ‎，故选D.‎ ‎9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和 平面所成的角都是的直线的条数为（ ） ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5 ‎ 答案 B ‎10．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是 ‎ A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）‎ ‎ B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 ‎ C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 ‎ D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 C ‎11.如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则 该三棱柱的高等于 A. B. ‎ C. D. ‎ A ‎12．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的 距离相等的点的个数为（C）‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C. 4 D. 5 ‎ ‎13．平面六面体- 中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】‎ A．3 B. ‎4 C.5 D. 6 ‎ ‎14．如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为 ‎ A．是正三棱锥 B．直线∥平面 C．直线与所成的角是 D．二面角为 ‎ 答案 B ‎15.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则 下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 ‎ C. 直线∥平面 Ｄ.‎ 答案 D 二、填空题 ‎16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端 ‎ 点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ 答案： ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着 F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 ‎ ‎17.对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________‎ ‎（写出所有正确命题的编号）。 ‎ 相对棱AB与CD所在的直线异面；‎ 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；‎ 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面； ‎ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;‎ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。‎ ‎[解析]①④⑤‎ ‎18.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的 中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所 成的角,由三角余弦定理，易知.故选D ‎ ‎19.已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 ‎ ‎20.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 ‎ 棱的中点，则异面直线所成的角的大小 ‎ 是 。‎ 答案 ‎ ‎21．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为 ‎4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果 ‎ 用反三角函数表示）.‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎22．（本小题满分14分） ‎ 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中 ‎ 点，点在上，。 ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC； ‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查 空间想象能力、推理论证能力。满分14分。‎ ‎23．（本小题满分14分）‎ 如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点 ‎、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．‎ ‎（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎（3）求异面直线所成角的正弦值.‎ 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ‎ ，‎ 又面，，∴.‎ ‎（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，‎ ‎∴，，即，，‎ 又，∴平面.‎ ‎（3），，则，设异面直线所成角为，则.‎ ‎24.（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其 补角） 为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中 点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。‎ 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD 都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可 得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，‎ 故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° ‎ ‎（II）证明：因为 ‎ （III）‎ 由（I）可得，‎ ‎ ‎ ‎25. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，‎ ‎（1）证明：平面 ‎ ‎（2）证明：平面 ‎（3）求直线与平面所成角的正切值 ‎20090423‎ ‎26．（本题满分15分）如图，平面平面，‎ 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，‎ ‎，的中点，，．‎ ‎ （I）设是的中点，证明：平面；‎ ‎ （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．‎ 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， ‎ 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 ‎（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为． ‎ ‎20090423‎ ‎27．（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎28．（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD ‎（Ⅱ）在中，，所以 ‎ 而DC平面ABC，，所以平面ABC ‎ 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 ‎ 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中， ，‎ 所以 ‎29.（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。‎ ‎（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎（I）解法一：‎ 取CD的中点G，连接MG，NG。‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， ‎ 则MG⊥CD，MG=2，NG=.‎ 因为平面ABCD⊥平面DCED，‎ 所以MG⊥平面DCEF，‎ 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 ‎30．（本小题满分13分）‎ 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，‎ ‎（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD： ‎ ‎（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。‎ ‎【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。‎ ‎【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. ‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=‎ ‎31．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60°‎ ‎（I）证明：M在侧棱的中点 ‎（II）求二面角的大小。‎ ‎（I）解法一：作∥交于N，作交于E，‎ 连ME、NB，则面，,‎ 设，则,‎ 在中，。‎ 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. ‎ ‎（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.‎ 分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。‎ 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎32.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。‎ ‎（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， ‎ 为的中点，。又平面，‎ ‎（射影相等的两条斜线段相等）而平面，‎ ‎（相等的斜线段的射影相等）。‎ 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。‎ 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。‎ 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.‎ ‎ 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。‎ 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。‎ ‎34．（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵， ‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ ‎36．（本小题共14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎ ∴OE//PD，，又∵，‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ ‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎ ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎37．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平 面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小． ‎ ‎39 （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ ‎ 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：‎ ‎ （Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： ‎ ‎ （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值，‎ ‎40.（本小题满分12分）‎ 如图4，在正三棱柱中，‎ D是的中点，点E在上，且。‎ （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。 ‎ 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA.‎ 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。‎ ‎（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF ‎ 又CDDF=D，所以AB平面CDF，‎ 而AB∥AB，所以 AB平面CDF，又AB平面ABC，故 平面AB C平面CDF。‎ 过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 ‎ 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。‎ 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，‎ CF=，AD==，DH==—，‎ 所以 sinHAD==。‎ 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ ‎41.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE ‎（Ⅰ）证明：平面平面; ‎ ‎（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEA.‎ 而DEA，,所以DE⊥平面 又DE 平面，故平面⊥平面 ‎ （Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直于点 连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，‎ 所以AF平面,故直线AD和 平面所成的角。 ‎ 因为DE所以DEAC而 ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2 AE=4-CE=4- =3‎ 又因为= 所以E= == 4‎ ‎ , ‎ 即直线AD和平面所成的角的正弦值为 ‎ ‎42．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎20．解：‎ 方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。‎ 又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，‎ 所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，‎ 所以平面ABM⊥平面PCD。‎ ‎（2）由（1）知，，又，则是的中点可得 ‎，‎ 则 设D到平面ACM的距离为，由即，‎ 可求得，‎ 设所求角为，则，。‎ （1） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。‎ 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。‎ 又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。‎ ‎43（本小题满分12分）‎ 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相 垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，‎ 平面平面，‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形， ，‎ 所以 又因为，‎ 所以，‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 ‎ 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC ‎ 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=.‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中，tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008上海13） 给定空间中的直线L及平面a，条件“直线L与平面a内无数条直线都垂直”是“直线L与平面a垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 答案 C ‎2.（2008天津5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )‎ A． 　　 B． ‎ C． D．‎ 答案 C ‎3.（2008安徽4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 D ‎4.（2008湖南5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )‎ A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥‎ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ ‎ 答案 D ‎5.（2008全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面 内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎6.（2008全国Ⅱ10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是 的中点，则所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎7.（2008四川９）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有 ( )‎ A．１条　　 B.２条 C．３条　　 D．４条 答案 B ‎ ‎8.（2008湖南9）长方体ABCD－A1B‎1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( C )‎ A.2 B. C. D. ‎ 答案 C A B a b l ‎9.（2008陕西9）如图，到的距离分别是 和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 D ‎11. (2007北京理•3）平面平面的一个充分条件是（　　）‎ A．存在一条直线 ‎ B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 答案 D ‎12. ( 2007安徽理•2）设，，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 ‎13.（2007福建理•8）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. B．‎ C． D． ‎ 答案 D ‎14.（2007湖北理•4）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：‎ ‎①⊥⊥； ②⊥⊥；‎ ‎③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合；‎ 其中不正确的命题个数是（ ）‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ 答案 D ‎15.（2007江苏理•4）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ 答案 C ‎16.（2007全国Ⅰ理•7）如图，正四棱柱中，，‎ 则异面直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎17.（2007福建理•10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为 （ ）‎ A ． B． C ． D． ‎ 答案 B ‎ ‎18.（2007四川理•4）如图，ABCD-A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）‎ A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60° ‎ 答案 D ‎19. (2006福建）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( )‎ A. 若m⊥，m⊥n，则n∥ B. 若m∥，n∥，则m∥n C. 若m，n∥，则m∥n D. 若m、n与所成的角相等，则n∥m 答案 C ‎20. （2006广东）给出以下四个命题：‎ ‎①‎ 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，‎ ‎②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ‎③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，‎ ‎④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.‎ 其中真命题的个数是 ( )‎ A. 4 B. ‎3 C. 2 D. 1‎ 答案 B ‎21. （2006湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )‎ A.4条 B.6条 ‎ C.8条 D.12条 答案 D ‎22.（2006全国II）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为 和 ，过A、B分别作两 平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝（ ）‎ A. 2∶1 B.3∶‎1 ‎‎ C.3∶2 D.4∶3‎ 答案 A ‎23. (2006重庆卷) 对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l A.平行　　 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 答案 C ‎24.（2005上海春13） 已知直线及平面，下列命题中的假命题是 （ ）‎ ‎ A. 若，，则 B. 若，，则 ‎ C. 若，，则 D. 若，，则 答案 D ‎25.（2005上海14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ）‎ ‎ ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 答案 A 二、填空题 ‎26.（2008陕西14）长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ． ‎ 答案 ‎ ‎27.(2008全国Ⅰ16）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ． ‎ 答案 ‎ ‎28.（2008安徽16）已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 .‎ 答案 ‎ ‎29.（2008辽宁14）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________． ‎ 答案 ‎ ‎30.（2007四川理•14）如图，在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中，侧棱长为，‎ 底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC‎1A1所成的角是 ．‎ 答案 ‎ ‎31.（2007浙江理•16）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且 。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是_______。‎ 答案 ‎ 三、解答题 A C B P ‎32.（2008北京16）如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ ‎（Ⅰ）证明 取中点，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ A C B D P ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）解 ，，‎ A C B E P ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 又，即，且，‎ 平面．‎ 取中点．连结．‎ ‎，．‎ 是在平面内的射影，‎ ‎．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ ‎．‎ A C B D P H 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解 由（Ⅰ）知平面，‎ 平面平面．‎ 过作，垂足为．‎ 平面平面，‎ 平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ ‎． ‎ 点到平面的距离为．‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2010年联考题 题组二（5月份更新）‎ ‎1.（祥云一中月考理）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎2．（昆明一中二次月考理）在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB‎1C1C的中心，则AD与平面BB‎1C1C所成角的大小是（ ）‎ A．300 B．‎450 C．600 D．90 ‎ 答案：C ‎3.（祥云一中月考理）曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围 是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：A ‎4. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列4个命题,其中正确命题是（ ）‎ A.若∥，∥，则∥ 　　　‎ ‎ B.若∥，∥，∥，则∥； ‎ C.若⊥，⊥，⊥，则⊥；‎ D.若、在平面内的射影互相垂直，则⊥.‎ 答案 C ‎ ‎5．（祥云一中三次月考文）曲线y=在=1处的切线在y轴上的截距为 ‎ ‎ A．－1 B．－‎3 ‎‎ ‎‎ ‎C．1 D．3 ‎ 答案：A ‎6.（玉溪一中期中） 在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，M 为BB1的中点，则点D到直线A‎1M的距离为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎7.（昆明一中三次月考理）如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起,使A点在平面BCD内的射影落在BC边上,若二面角C—AB—D的平面角大小为θ,则sinθ‎2,4,6‎ 的值等 A． B． ‎ C． D．‎ 答案：A ‎8．（三明市三校联考）（本小题满分13分）‎ A B C E D C D E A B 如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD= 2，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B. （Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值.‎ C D E A B O x y z F ‎（Ⅰ）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，‎ 连结OD、BE，∵AD=DE=，∴OD⊥AE，‎ 又∵二面角D—AE—B为直二面角，‎ ‎ ∴OD⊥平面ABCE， ∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2，∴AB2=AE2+BE2，AE⊥BE，OD∩AE=O，∴BE⊥平面ADE，‎ ‎∴BE⊥AD，BE∩DE=E，∴AD⊥平面BDE. ……………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）取AB中点F，连结OF，则OF//EB，∴OF⊥平面ADE，‎ 以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），‎ 则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(-1，2，0)，，，‎ 设是平面ABD的一个法向量，则，,∴取x=1，则y=1，z= 1，则，平面ADE的法向量 ‎∴. …………………………………（13分）‎ ‎9．（昆明一中三次月考理）（本小题满分12分）‎ 图甲，直角梯形中，∥，，点分别在上，且，‎ 现将梯形沿拆起，平面平面，图乙．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面A C B D N M C D N A B M 甲 乙 （Ⅱ）若二面角的大小为,求线段的长；‎ A C B D N M C D N A B M x y z ‎10． ‎ ‎2‎ ‎4‎ 解：（Ⅰ）由题知∥、∥， ‎ ‎∴平面∥平面，又 ‎∴∥平面。。。。。4分 ‎（Ⅱ）以N为原点，如图建立直角坐标系N-xyz,由已知易得 ‎ ‎…………9分 ‎（Ⅲ）假设存在点，设，则有，又 ‎ 即解得：故不存在……12分 ‎11. （玉溪一中期中）（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）证明平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎9. （Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．‎ 又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．‎ 在中，，故．‎ 所以和平面所成的角的大小为．‎ ‎（Ⅱ）证明：在四棱锥中，‎ 因底面，平面，故．‎ 由条件，，面．‎ 又面，．‎ 由，，可得．‎ 是的中点，，．综上得平面．‎ ‎（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．‎ 因此是二面角的平面角．‎ 由已知，可得．设，可得，，，．在中，，∴，则 ‎．在中，．所以二面角的大小 ‎ 题组一（3月份更新）‎ 一、选择填空 ‎1、（2009泰安一模）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ‎ (A)若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β (B)若m∥n，mn,nβ,则α∥β ‎ (c)若m∥n，m∥α，则n∥α (D)若n⊥α，n⊥α，则α∥β 答案 D ‎2、（2009昆明市期末）三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC的距离等于 （ ）‎ ‎ A． B ‎ ‎ C． D．‎ 答案 C ‎3、（2009广东三校一模）如图，设平面，垂足 b a A E F B D C 分别为，若增加一个条件，就能推出.‎ 现有① ②与所成的角相等;‎ ‎③与在内的射影在同一条直线上;④∥.‎ 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是 个 个 个 个.‎ 答案 C ‎4、（2009牟定一中期中）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.下列四个命题中，正确的是 ( )‎ A．,,则 B．,则 C．,,则 D．，，则 答案 D ‎5、（2009东莞一模）如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为 ‎ A． B. ‎ C. D.‎ 答案 A ‎6、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：‎ ‎ ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；‎ ‎ ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；‎ ‎ ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；‎ ‎ ④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β．‎ ‎ 其中正确命题的个数为（　　）个。‎ ‎ A ．0 　　B ．‎1　　‎ C ．2　　 D ．3‎ 答案 B ‎7、（2009南华一中12月月考）空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，则必有 ( )‎ A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c ‎ 答案 C ‎8. (安徽六校联考)设、为两条直线，、为两个平面，则下列结论成立的是( )‎ A.若，，且，则；‎ B.若，，且，则；‎ C.若，，则；‎ D.若，，则 答案D ‎9．（安庆市四校元旦联考）设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：（1）‎ ‎（2）（3）（4），其中假命题有 ‎ 答案 （1）（3）‎ ‎10.（2009上海十校联考）如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）‎ 答案 ①②⑤‎ 二、解答题 ‎1、 （20009枣庄一模）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，，E是CD的中点，‎ ‎ （1）证明：平面平面PAB；‎ ‎ （2）求二面角A—BE—P的大小。‎ 解：（1）如图，连结BD，由四边形ABCD是菱形且知，‎ ‎ BCD是等边三角形，‎ ‎ E是CD的中点，‎ ‎ 而AB//CD， 2分 ‎ 又平面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ 而呵呵平面PAB。 4分 ‎ 又平面PAB。 6分 ‎ （2）由（1）知，平面PAB，所以 ‎ 又是二面角A—BE—P的平面角 9分 ‎ 平面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ 在 ‎ ‎ ‎ 故二面角A—BE—P的大小是 12分 ‎2、（2009广州一模）如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，‎ AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF.‎ ‎(1)求证: 平面DEF∥平面ABC；‎ ‎(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..‎ ‎(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)‎ ‎ 证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点，‎ A B C P D E F ‎∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，‎ ‎∵DE平面PAB，ABÌ平面PAB，‎ ‎ ∴DE∥平面PAB， ……2分 ‎ ∵DE∩DF=D，DEÌ平面DEF，‎ ‎ DFÌ平面DEF，‎ ‎ ∴平面DEF∥平面ABC. ……4分 ‎ (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：‎ 解法1：由已知PA⊥平面ABC， AC⊥AB，PA=BC=2，‎ ‎∴AB2 +AC2 =BC2=4，‎ ‎∴三棱锥P-ABC的体积为 ‎……6分 ‎.‎ 当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=.‎ 解法2：设AB=x，在△ABC中，(0

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