2018中考数学二次函数压轴题汇编

2018中考数学二次函数压轴题汇编

‎1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．‎ ‎（1）求抛物线C的函数表达式；‎ ‎（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．‎ ‎（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．‎ ‎（1）当⊙O的半径为2时，‎ ‎①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是　 　．‎ ‎②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．‎ ‎6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．‎ ‎①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；‎ ‎②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．‎ ‎7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．‎ ‎（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；‎ ‎（2）求A、B两点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．‎ ‎（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　 　．‎ A.0 B.1 C.2 D.1或2‎ ‎（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．‎ ‎（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．‎ ‎9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；‎ ‎（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；‎ ‎（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．‎ ‎（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；‎ ‎（ⅱ）求△QMN面积的最小值．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．‎ ‎（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；‎ ‎（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；‎ ‎（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．‎ ‎11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．‎ ‎（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．‎ ‎（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．‎ ‎12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥‎ x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求b、c的值；‎ ‎（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；‎ ‎（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．‎ ‎（1）求直线AE的解析式；‎ ‎（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；‎ ‎（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣‎ 沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线y=kx+b的函数解析式；‎ ‎（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；‎ ‎（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．‎ ‎16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．‎ ‎（1）点B，C的坐标分别为B（　 　），C（　 　）；‎ ‎（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=　 　．‎ ‎17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上 ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；‎ ‎（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．‎ ‎18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．‎ ‎（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；‎ ‎（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；‎ ‎（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．‎ ‎19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．‎ ‎（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；‎ ‎（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，‎ ‎①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；‎ ‎②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）‎ ‎（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．‎ ‎①填空：b=　 　（用含a的代数式表示）；‎ ‎②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；‎ ‎（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；‎ ‎（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．‎ ‎（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；‎ ‎（2）题（1）中求得的函数记为C1．‎ ‎①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；‎ ‎②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．‎ ‎25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．‎ ‎（1）求c的值及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．‎ ‎①求证：△APM∽△AON；‎ ‎②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；‎ ‎（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；‎ ‎①连结BD，求BD的最小值；‎ ‎②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．‎ ‎27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）证明：圆C与x轴相切；‎ ‎（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．‎ ‎28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+‎ ‎（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．‎ ‎（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．‎ ‎①当a=1、d=﹣1时，求k的值；‎ ‎②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；‎ ‎（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．‎ ‎29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）‎ ‎②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；‎ ‎（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．‎ ‎（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；‎ ‎（2）求△ABC外接圆的半径；‎ ‎（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．‎ ‎31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；‎ ‎（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．‎ ‎（1）求此二次函数的关系式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；‎ ‎（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．‎ ‎33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．‎ ‎34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．‎ ‎35．如图1，抛物线y=ax2+bx+‎ c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；‎ ‎（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：‎ 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．‎ ‎（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；‎ ‎（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？‎ ‎（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．‎ ‎37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；‎ ‎（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；‎ ‎（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；‎ ‎②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．‎ ‎39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．‎ ‎①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；‎ ‎②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：‎ ‎【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　 　．‎ ‎【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．‎ ‎【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③‎ ‎．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．‎ ‎【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．‎ ‎　1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；‎ ‎（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．‎ ‎（1）填空：b=　 　，c=　 　；‎ ‎（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；‎ ‎（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△‎ PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．‎ ‎3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．‎ ‎（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；‎ ‎（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；‎ ‎②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．‎ ‎（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；‎ ‎（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；‎ ‎（3）是否存在这样的实数a（a＜‎ ‎0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．‎ ‎（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；‎ ‎（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；‎ ‎（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．‎ ‎6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．‎ ‎（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；‎ ‎（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．‎ ‎①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；‎ ‎②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．‎ ‎7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；‎ ‎（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？‎ ‎8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】‎ ‎10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；‎ ‎（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．‎ ‎12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．‎ ‎13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．‎ ‎（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？‎ ‎（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．‎ ‎14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．‎ ‎（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；‎ ‎（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．‎ ‎（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；‎ ‎（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；‎ ‎（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+‎ c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．‎ ‎17．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，‎ ‎①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．‎ ‎18．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．‎ ‎（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？‎ ‎②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；‎ ‎（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．‎ ‎19．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．‎ ‎（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；‎ ‎（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．‎ ‎（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；‎ ‎（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．‎ ‎①若∠CAB=90°，求m的值；‎ ‎②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．‎ ‎21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：‎ ‎（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；‎ ‎（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．‎ ‎22．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．‎ ‎（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；‎ ‎（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．‎ ‎23．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；‎ ‎（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；‎ ‎（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．‎ ‎（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎27．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：直线l是⊙M的切线；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．‎ ‎（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于　 　；‎ ‎（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；‎ ‎（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．‎ ‎29．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．‎ ‎30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．‎ ‎①当PE=2ED时，求P点坐标；‎ ‎②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；‎ ‎②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，‎ ‎∴0=﹣2+c，解得c=2，‎ ‎∴B（0，2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，‎ ‎∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，‎ ‎∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，‎ ‎∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，‎ 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，‎ ‎∴N点的纵坐标为2，‎ ‎∴﹣m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，‎ ‎∴M（2.5，0）；‎ 当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，‎ 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，‎ ‎∵∠NBP=90°，‎ ‎∴∠NBC+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠ABO=∠NBC，‎ ‎∴Rt△NCB∽Rt△BOA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，解得m=0（舍去）或m=，‎ ‎∴M（，0）；‎ 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；‎ ‎②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵M，P，N三点为“共谐点”，‎ ‎∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，‎ 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；‎ 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；‎ 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；‎ 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．‎ ‎　‎ ‎2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．‎ ‎（1）求抛物线C的函数表达式；‎ ‎（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．‎ ‎（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；‎ ‎（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；‎ ‎（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，‎ 把A（﹣2，0）代入可得a=﹣，‎ ‎∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．‎ ‎（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，‎ 由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，‎ 由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，‎ 则有，解得2＜m＜2，‎ ‎∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．‎ ‎（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．‎ 理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．‎ 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，‎ ‎∴PF=FM，∠PFM=90°，‎ 易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，‎ ‎∴M（m+2，m﹣2），‎ ‎∵点M在y=﹣x2+4上，‎ ‎∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），‎ ‎∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．‎ 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），‎ 把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），‎ ‎∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．‎ 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=﹣3或6．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．‎ ‎（1）当⊙O的半径为2时，‎ ‎①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是　P2，P3　．‎ ‎②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；‎ ‎（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），‎ ‎∴OP1=，OP2=1，OP3=，‎ ‎∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，‎ ‎∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；‎ 故答案为：P2，P3；‎ ‎②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，‎ ‎∴设P（x，﹣x），当OP=1时，‎ 由距离公式得，OP==1，‎ ‎∴x=，‎ 当OP=3时，OP==3，‎ 解得：x=±；‎ ‎∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤x≤﹣，或≤x≤；‎ ‎（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，‎ ‎∴A（1，0），B（0，1），‎ 如图1，‎ 当圆过点A时，此时，CA=3，‎ ‎∴C（﹣2，0），‎ 如图2，‎ 当直线AB与小圆相切时，切点为D，‎ ‎∴CD=1，‎ ‎∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，‎ ‎∴直线AB与x轴的夹角=45°，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴C（1﹣，0），‎ ‎∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣；‎ 如图3，‎ 当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），‎ 如图4，‎ 当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，‎ ‎∴OC==2，‎ ‎∴C（2，0）．‎ ‎∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2；‎ 综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；‎ ‎（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；‎ ‎（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，‎ ‎，‎ 解得，a=4，b=﹣3，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；‎ ‎（2）∵点C在y轴上，‎ 所以C点横坐标x=0，‎ ‎∵点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点P横坐标xP==，‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，‎ ‎∴yP=﹣3=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点C的纵坐标为2×﹣0=，‎ ‎∴点C的坐标为（0，），‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴sin∠OCB===．‎ ‎【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；‎ ‎（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；‎ ‎（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；‎ ‎（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，‎ ‎∴D（2，8）；‎ ‎（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，‎ 设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，‎ ‎∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，‎ ‎∴△FBG∽△BDE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵B（6，0），D（2，8），‎ ‎∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，‎ ‎∴BG=6﹣x，‎ ‎∴=，‎ 当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；‎ 当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；‎ 综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；‎ ‎（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，‎ ‎∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，‎ ‎∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，‎ 设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），‎ ‎∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，‎ ‎∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，‎ ‎∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．‎ ‎【点评】‎ 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出P、Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．‎ ‎①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；‎ ‎②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．‎ ‎【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；‎ ‎（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），‎ ‎∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，‎ ‎∵点P′与P关于原点对称，‎ ‎∴P′（﹣m，﹣t），‎ ‎∵点P′落在抛物线上，‎ ‎∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，‎ ‎∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；‎ ‎②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，‎ ‎∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，‎ ‎∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），‎ ‎∴﹣4≤t＜0，‎ ‎∵P在抛物线上，‎ ‎∴t=m2﹣2m﹣3，‎ ‎∴m2﹣2m=t+3，‎ ‎∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），‎ ‎∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；‎ ‎∴当t=﹣时，P′A2有最小值，‎ ‎∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=不合题意，舍去，‎ ‎∴m的值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．‎ ‎（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；‎ ‎（2）求A、B两点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；‎ ‎（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵C1、C2关于y轴对称，‎ ‎∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，‎ ‎∴a=1，n=﹣3，‎ ‎∴C1的对称轴为x=1，‎ ‎∴C2的对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；‎ ‎（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0）；‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，‎ ‎∴AB只能为平行四边形的一边，‎ ‎∴PQ∥AB且PQ=AB，‎ 由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，‎ ‎∴PQ=4，‎ 设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），‎ ‎①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，‎ ‎∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，‎ ‎∴P（﹣2，5），Q（2，5）；‎ ‎②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，‎ ‎∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，‎ ‎∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），‎ 综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．‎ ‎（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　D　．‎ A.0 B.1 C.2 D.1或2‎ ‎（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．‎ ‎（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．‎ ‎【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；‎ ‎（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；‎ ‎（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），‎ ‎∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，‎ 则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，‎ 故选D；‎ ‎（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，‎ 把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，‎ 则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；‎ ‎（3）设函数z=，‎ 当m=﹣1时，z有最小值为0；‎ 当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；‎ 当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，‎ 当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，‎ 则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．‎ ‎【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；‎ ‎（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；‎ ‎（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．‎ ‎（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；‎ ‎（ⅱ）求△QMN面积的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；‎ ‎（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），‎ ‎∴a+a+b=0，即b=﹣2a，‎ ‎∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，‎ ‎∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；‎ ‎（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），‎ ‎∴0=2×1+m，解得m=﹣2，‎ 联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）‎ ‎∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，‎ 由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，‎ ‎∴a＜0，b＞0，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴方程（*）有两个不相等的实数根，‎ ‎∴直线与抛物线有两个交点；‎ ‎（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，‎ ‎∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，‎ ‎∴N点坐标为（﹣2，﹣6），‎ ‎（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，‎ ‎∵﹣1≤a≤﹣，‎ ‎∴﹣2≤≤﹣1，‎ ‎∴MN2随的增大而减小，‎ ‎∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，‎ 当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，‎ ‎∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；‎ ‎（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，‎ ‎∵抛物线对称轴为x=﹣，‎ ‎∴E（﹣，﹣3），‎ ‎∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S，‎ ‎∴S=S△QEN+S△QEM=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，‎ ‎∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），‎ ‎∵关于a的方程（*）有实数根，‎ ‎∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴S=﹣﹣＞，‎ ‎∴8S﹣54＞0，‎ ‎∴8S﹣54≥36，即S≥+，‎ 当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，‎ ‎∴当a=﹣，b=时，△QMN面积的最小值为+．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．‎ ‎（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；‎ ‎（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；‎ ‎（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；‎ ‎（3）根据二次函数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得 ‎（a+1）（﹣a）=﹣2，‎ 解得a1=﹣2，a2=1，‎ 函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；‎ 函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，‎ 综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，‎ y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），‎ 当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；‎ 当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；‎ ‎（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，‎ ‎（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，‎ 由m＜n，得0＜x0≤；‎ 当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，‎ 由m＜n，得＜x0＜1，‎ 综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．‎ ‎　‎ ‎11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．‎ ‎（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．‎ ‎（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；‎ ‎（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；‎ ‎（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；‎ ‎（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），‎ 如图，作PG⊥x轴于点G，‎ ‎∵点P的坐标为（1，），‎ ‎∴AG=1、PG=，PA===2，‎ ‎∵tan∠PAB==，‎ ‎∴∠PAG=60°，‎ 在Rt△PAB中，AB===4，‎ ‎∴点B坐标为（4，0），‎ 设y=ax（x﹣4），‎ 将点P（1，）代入得：a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；‎ ‎（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，‎ 则有﹣x2+x=，‎ 解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），‎ ‎∴点Q的坐标为（3，）；‎ ‎②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，‎ 则有﹣x2+x=﹣，‎ 解得：x1=2+，x2=2﹣，‎ ‎∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；‎ 综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求b、c的值；‎ ‎（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；‎ ‎（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△‎ APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；‎ ‎（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；‎ ‎（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵CD∥x轴，CD=2，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=1．‎ ‎∴．‎ ‎∵OB=OC，C（0，c），‎ ‎∴B点的坐标为（﹣c，0），‎ ‎∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），‎ ‎∴c=﹣3；‎ ‎（2）设点F的坐标为（0，m）．‎ ‎∵对称轴为直线x=1，‎ ‎∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．‎ 由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴E（1，﹣4），‎ ‎∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），‎ ‎∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．‎ ‎∵点F在BE上，‎ ‎∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；‎ ‎（3）存在点Q满足题意．‎ 设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．‎ 作QR⊥PN，垂足为R，‎ ‎∵S△PQN=S△APM，‎ ‎∴，‎ ‎∴QR=1．‎ ‎①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．‎ ‎∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，‎ ‎∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；‎ ‎②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．‎ 同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，‎ ‎∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．‎ 综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．‎ ‎【点评】‎ 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．‎ ‎（1）求直线AE的解析式；‎ ‎（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；‎ ‎（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；‎ ‎（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+‎ NK有最小值，最小值=GH；‎ ‎（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=x2﹣x﹣，‎ ‎∴y=（x+1）（x﹣3）．‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）．‎ 当x=4时，y=．‎ ‎∴E（4，）．‎ 设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，‎ 解得：k=，b=．‎ ‎∴直线AE的解析式为y=x+．‎ ‎（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．‎ ‎∴直线CE的解析式为y=x﹣．‎ 过点P作PF∥y轴，交CE与点F．‎ 设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），‎ 则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．‎ ‎∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．‎ ‎∴当x=2时，△EPC的面积最大．‎ ‎∴P（2，﹣）．‎ 如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．‎ ‎∵K是CB的中点，‎ ‎∴k（，﹣）．‎ ‎∴tan∠KCP=．‎ ‎∵OD=1，OC=，‎ ‎∴tan∠OCD=．‎ ‎∴∠OCD=∠KCP=30°．‎ ‎∴∠KCD=30°．‎ ‎∵k是BC的中点，∠OCB=60°，‎ ‎∴OC=CK．‎ ‎∴点O与点K关于CD对称．‎ ‎∴点G与点O重合．‎ ‎∴点G（0，0）．‎ ‎∵点H与点K关于CP对称，‎ ‎∴点H的坐标为（，﹣）．‎ ‎∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．‎ 当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．‎ ‎∴GH==3．‎ ‎∴KM+MN+NK的最小值为3．‎ ‎（3）如图3所示：‎ ‎∵y′经过点D，y′的顶点为点F，‎ ‎∴点F（3，﹣）．‎ ‎∵点G为CE的中点，‎ ‎∴G（2，）．‎ ‎∴FG==．‎ ‎∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．‎ 当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，‎ ‎∴点Q″（3，2）．‎ 当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．‎ 由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．‎ ‎∴点Q1的坐标为（3，﹣）．‎ 综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，抛物线y=ax2+bx+‎ ‎2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴AB=5，OC=2，‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，‎ ‎∵S△ABC=S△ABD，‎ ‎∴S△ABD=×5=，‎ 设D（x，y），‎ ‎∴AB•|y|=×5|y|=，解得|y|=3，‎ 当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；‎ 当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；‎ 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；‎ ‎（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，‎ ‎∴AC==，BC==2，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，‎ 如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，‎ 由题意可知∠FBC=45°，‎ ‎∴∠CFB=45°，‎ ‎∴CF=BC=2，‎ ‎∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，‎ ‎∴F（2，6），且B（4，0），‎ 设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，‎ 联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴E（5，﹣3），‎ ‎∴BE==．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线y=kx+b的函数解析式；‎ ‎（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；‎ ‎（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．‎ ‎【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；‎ ‎（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；‎ ‎（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴直线解析式为y=x+3；‎ ‎（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，‎ 则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，‎ ‎∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，‎ ‎∴△PQH∽△BOA，‎ ‎∴==，‎ 设H（m，m+3），则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），‎ ‎∵A（﹣4，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，‎ ‎∴==，‎ 整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，‎ ‎∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+，‎ ‎∵＞0，‎ ‎∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2×+1=，‎ ‎∴当d取得最小值时P点坐标为（，）；‎ ‎（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，‎ ‎∴CE+EF=C′E+EF，‎ ‎∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，‎ ‎∵C（0，1），‎ ‎∴C′（2，1），‎ 由（2）可知当x=2时，d=×（2﹣）2+=，‎ 即CE+EF的最小值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、轴对称的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造相似三角形是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．‎ ‎（1）点B，C的坐标分别为B（　3，0　），C（　0，﹣4　）；‎ ‎（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=　　．‎ ‎【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；‎ ‎（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到==，设OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；‎ ‎（3）如图3中，连接AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大，‎ ‎【解答】解：（1）在y=x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，‎ ‎∴B（3，0），C（0，﹣4）；‎ 故答案为：3，0；0，﹣4；‎ ‎（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，‎ ‎①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，‎ 连接BC，‎ ‎∵OB=3．OC=4，‎ ‎∴BC=5，‎ ‎∵CP2⊥BP2，CP2=，‎ ‎∴BP2=2，‎ 过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，‎ 则△CP2F∽△BP2E，‎ ‎∴==，‎ 设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，‎ ‎∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴x=，2x=，‎ ‎∴FP2=，EP2=，‎ ‎∴P2（，﹣），‎ 过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，‎ 同理求得P1（﹣1，﹣2），‎ ‎②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，‎ 过P4作P4H⊥y轴于H，‎ 则△BOC∽△CHP4，‎ ‎∴==，‎ ‎∴CH=，P4H=，‎ ‎∴P4（，﹣﹣4）；‎ 同理P3（﹣，﹣4）；‎ 综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；‎ ‎（3）如图（3），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，‎ ‎∴OE=AP，‎ ‎∴当AP最大时，OE的值最大，‎ ‎∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+，‎ ‎∴OE的最大值为 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了根据函数的解析式求得点的坐标，圆与直线是位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值 等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上 ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；‎ ‎（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．‎ ‎【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE；‎ ‎（3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．‎ ‎（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，‎ 将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，‎ ‎∴k=m﹣1，‎ ‎∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．‎ 联立直线AF和抛物线解析式成方程组，‎ ‎，解得：，，‎ ‎∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．‎ ‎∵GH⊥x轴，‎ ‎∴点H的坐标为（2m，0）．‎ ‎∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），‎ ‎∴点E的坐标为（1，0）．‎ 设直线AE的解析式为y=k1x+b1，‎ 将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线AE的解析式为y=﹣x+．‎ 设直线FH的解析式为y=k2x+b2，‎ 将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．‎ ‎∴FH∥AE．‎ ‎（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，‎ 将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+2．‎ 当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．‎ 当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．‎ ‎∵QM=2PM，‎ ‎∴==，‎ ‎∴QM′=，MM′=t，‎ ‎∴点M的坐标为（t﹣，t）．‎ 又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，‎ ‎∴t=×（t﹣）2﹣（t﹣），‎ 解得：t=；‎ 当点M在线段QP的延长线上时，‎ 同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），‎ ‎∵点M在抛物线y=x2﹣x上，‎ ‎∴2t=×（t﹣4）2﹣（t﹣4），‎ 解得：t=．‎ 综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线AE（FH）的解析式：（3）分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况，借助相似三角形的性质找出点M的坐标．‎ ‎　‎ ‎18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．‎ ‎（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；‎ ‎（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；‎ ‎（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．‎ ‎【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；‎ ‎（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；‎ ‎（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，‎ ‎∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∵∠AOB=60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∵AB=2，AB⊥OC，‎ ‎∴AC=BC=1，∠BOC=30°，‎ ‎∴OC=，‎ ‎∴A（﹣1，），‎ 把A（﹣1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；‎ ‎（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，‎ ‎∵CF∥BG，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC=4BC，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴AF=4FG，‎ ‎∵A的横坐标为﹣4，‎ ‎∴B的横坐标为1，‎ ‎∴A（﹣4，16a），B（1，a），‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴∠AOD+∠BOE=90°，‎ ‎∵∠AOD+∠DAO=90°，‎ ‎∴∠BOE=∠DAO，‎ ‎∵∠ADO=∠OEB=90°，‎ ‎∴△ADO∽△OEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴16a2=4，‎ a=±，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=；‎ ‎∴B（1，）；‎ ‎（3）如图3，设AC=nBC，‎ 由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，‎ 则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），‎ ‎∴AD=am2n2，‎ 过B作BF⊥x轴于F，‎ ‎∴DE∥BF，‎ ‎∴△BOF∽△EOD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，DE=am2n，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OC∥AE，‎ ‎∴△BCO∽△BAE，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CO==am2n，‎ ‎∴DE=CO．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC=4BC，确定A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题．‎ ‎　‎ ‎19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．‎ ‎（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；‎ ‎（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．‎ ‎【分析】（1）根据y=mx2﹣16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根据OA=OC，即可得到12=48m，进而得出m的值；‎ ‎（2）根据C、E两点总关于原点对称，得到E（0，﹣48m），根据E（0，﹣48m），A（12，0）可得直线AE的解析式，最后解方程组即可得到直线AE与抛物线的交点D的坐标；‎ ‎（3）根据△ODB∽△OAD，可得OD=4，进而得到D（6，﹣2），代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得抛物线解析式，再根据点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，即可得出y0≥﹣，令t=﹣2（y0+3）2+4，可得t最大值=﹣2（﹣+3）2+4=，再根据n+≥，可得实数n的最小值为．‎ ‎【解答】解：（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，‎ ‎∴A（12，0），即OA=12，‎ 又∵C（0，48m），‎ ‎∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，‎ 即12=48m，‎ ‎∴m=；‎ ‎（2）由（1）可知点C（0，48m），‎ ‎∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，‎ ‎∴必有E（0，﹣48m），‎ 设直线AE的解析式为y=kx+b，‎ 将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得 ‎，解得，‎ ‎∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，‎ ‎∵点D为直线AE与抛物线的交点，‎ ‎∴解方程组，可得或（点A舍去），‎ 即点D的坐标为（8，﹣16m）；‎ ‎（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，‎ ‎∴OD2=OA×OB=4×12=48，‎ ‎∴OD=4，‎ 又∵点D为线段AE的中点，‎ ‎∴AE=2OD=8，‎ 又∵OA=12，‎ ‎∴OE==4，‎ ‎∴D（6，﹣2），‎ 把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，‎ 解得m=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），‎ 即y=（x﹣8）2﹣，‎ ‎∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，‎ ‎∴y0≥﹣，‎ 令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，‎ 则当y0≥﹣时，t最大值=﹣2（﹣+3）2+4=，‎ 若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，‎ ‎∴n≥3，‎ ‎∴实数n的最小值为．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的最值，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及待定系数法求直线解析式的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，‎ ‎①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；‎ ‎②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到结论；‎ ‎（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；‎ ‎②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）①如图，令y=0，‎ ‎∴﹣x2﹣x+2=0，‎ ‎∴x1=﹣4，x2=1，‎ ‎∴B（1，0），‎ 过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，‎ ‎∴DM∥BN，‎ ‎∴△DME∽△BNE，‎ ‎∴==，‎ 设D（a，﹣a2﹣a+2），‎ ‎∴M（a，a+2），‎ ‎∵B（1，0），‎ ‎∴N（1，），‎ ‎∴==（a+2）2+；‎ ‎∴当a=﹣2时，的最大值是；‎ ‎②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），‎ ‎∴AC=2，BC=，AB=5，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，‎ ‎∴P（﹣，0），‎ ‎∴PA=PC=PB=，‎ ‎∴∠CPO=2∠BAC，‎ ‎∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，‎ 过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，‎ 情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，‎ ‎∴∠CDG=∠BAC，‎ ‎∴tan∠CDG=tan∠BAC=，‎ 即，‎ 令D（a，﹣a2﹣a+2），‎ ‎∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，‎ ‎∴，‎ ‎∴a1=0（舍去），a2=﹣2，‎ ‎∴xD=﹣2，‎ 情况二，∴∠FDC=2∠BAC，‎ ‎∴tan∠FDC=，‎ 设FC=4k，‎ ‎∴DF=3k，DC=5k，‎ ‎∵tan∠DGC==，‎ ‎∴FG=6k，‎ ‎∴CG=2k，DG=3k，‎ ‎∴RC=k，RG=k，‎ DR=3k﹣k=k，‎ ‎∴==，‎ ‎∴a1=0（舍去），a2=﹣，‎ 点D的横坐标为﹣2或﹣．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）‎ ‎（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．‎ ‎①填空：b=　﹣2a﹣1　（用含a的代数式表示）；‎ ‎②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．‎ ‎【分析】（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=﹣b，由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，），‎ ‎∴c=，‎ ‎∵抛物线经过点B（2，﹣），‎ ‎∴﹣=4a+2b+，‎ ‎∴b=﹣2a﹣1，‎ 故答案为：﹣2a﹣1；‎ ‎②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+，‎ 令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+=0，‎ ‎∵△=（2a+1）2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4（a﹣）2+＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2==（﹣1）2+3，‎ ‎∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+；‎ ‎（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2+bx+，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=﹣b，‎ ‎∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，‎ 当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+=﹣b2+，‎ ‎①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在范围内，满足条件；‎ ‎②当|﹣b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，‎ 综上可知b的值为1或﹣5．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）①中注意利用待定系数法的应用，在（1）②中用a表示出EF2是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（2）中确定出抛物线上离x轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，‎ ‎），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；‎ ‎（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；‎ ‎（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；‎ ‎（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得，，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+1；‎ ‎（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵A（0，1），D（3，），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=x+1，‎ 设P（t，0），‎ ‎∴M（t，t+1），‎ ‎∴PM=t+1，‎ ‎∵CD⊥x轴，‎ ‎∴PC=3﹣t，‎ ‎∴S△PCM=PC•PM=（3﹣t）（t+1），‎ ‎∴S△PCM=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴△PCM面积的最大值是；‎ ‎（3）∵OP=t，‎ ‎∴点M，N的横坐标为t，‎ 设M（t，t+1），N（t，﹣t2+t+1），‎ ‎∴|MN|=|﹣t2+t+1﹣t﹣1|=|﹣t2+t|，CD=，‎ 如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎∴MN=CD，即﹣t2+t=，‎ ‎∵△=﹣39，‎ ‎∴方程﹣t2+t=无实数根，‎ ‎∴不存在t，‎ 如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎∴MN=CD，即t2﹣t=，‎ ‎∴t=，（负值舍去），‎ ‎∴当t=时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；‎ ‎（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）待定系数法即可得到结论；‎ ‎（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；‎ ‎（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∵OC=3OB，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，‎ ‎∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），‎ ‎∴AF∥x轴，‎ ‎∴F（﹣1，﹣3），‎ ‎∴BF=3，AF=3，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ 设D（0，m），则OD=|m|，‎ ‎∵∠BDO=∠BAC，‎ ‎∴∠BDO=45°，‎ ‎∴OD=OB=1，‎ ‎∴|m|=1，‎ ‎∴m=±1，‎ ‎∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；‎ ‎（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），‎ ‎①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，‎ 则△ABF≌△NME，‎ ‎∴NE=AF=3，ME=BF=3，‎ ‎∴|a﹣1|=3，‎ ‎∴a=4或a=﹣2，‎ ‎∴M（4，5）或（﹣2，5）；‎ ‎②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，‎ 则N在x轴上，M与C重合，‎ ‎∴M（0，﹣3），‎ 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．‎ ‎（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；‎ ‎（2）题（1）中求得的函数记为C1．‎ ‎①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；‎ ‎②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．‎ ‎【分析】（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；‎ ‎（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；‎ ‎（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，‎ ‎∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，‎ 解得：m＜且m≠0．‎ ‎∵m为符合条件的最大整数，‎ ‎∴m=2．‎ ‎∴函数的解析式为y=2x2+x．‎ ‎（2）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．‎ ‎∵n≤x≤﹣1＜﹣，a=2＞0，‎ ‎∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小．‎ ‎∴当x=n时，y=﹣3n．‎ ‎∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）．‎ ‎∴n的值为﹣2．‎ ‎（3）∵y=2x2+x=2（x+）2﹣，‎ ‎∴M（﹣，﹣）．‎ 如图所示：‎ 当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．‎ 设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣k=﹣，解得：k=．‎ ‎∴OM的解析式为y=x．‎ 设点P的坐标为（x，x）．‎ 由两点间的距离公式可知：OP==，‎ 解得：x=2或x=﹣2（舍去）．‎ ‎∴点P的坐标为（2，1）．‎ ‎∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，找出PM取得最大值的条件是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．‎ ‎（1）求c的值及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．‎ ‎①求证：△APM∽△AON；‎ ‎②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；‎ ‎②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，‎ 令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，‎ ‎∴A（﹣4，0），‎ 设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），‎ 把A、C坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线AC的函数表达式为y=x+3；‎ ‎（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，‎ ‎∴∠OAB=∠OAD，‎ ‎∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，‎ ‎∴OM=MP，‎ ‎∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，‎ ‎∴∠APM=∠AON，‎ ‎∴△APM∽△AON；‎ ‎②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，‎ ‎∵点M的横坐标为m，‎ ‎∴AE=m+4，AP=2m+4，‎ ‎∵tan∠OAD=，‎ ‎∴cos∠EAM=cos∠OAD=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AM=AE=，‎ ‎∵△APM∽△AON，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AN=．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；‎ ‎（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；‎ ‎①连结BD，求BD的最小值；‎ ‎②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；‎ ‎（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；‎ ‎②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，‎ ‎∵A、B关于对称轴对称，‎ ‎∴B（10，5）．‎ ‎（2）①如图1中，‎ 由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，‎ ‎∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．‎ ‎②如图2中，‎ ‎ 图2‎ 当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，‎ ‎∴DE===3，‎ ‎∴点D的坐标为（4，3）．‎ 设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴P（，5），‎ ‎∴直线PD的解析式为y=﹣x+．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）证明：圆C与x轴相切；‎ ‎（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．‎ ‎【分析】（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；‎ ‎（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，‎ ‎∵抛物线经过点（4，2），‎ ‎∴2=a（4﹣2）2+1，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；‎ ‎（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴B（3﹣，﹣），D（3+，+），‎ ‎∵C为BD的中点，‎ ‎∴点C的纵坐标为=，‎ ‎∵BD==5，‎ ‎∴圆的半径为，‎ ‎∴点C到x轴的距离等于圆的半径，‎ ‎∴圆C与x轴相切；‎ ‎（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，‎ 由（2）可知CM=，CH=﹣1=，‎ 在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，‎ ‎∵HF==，‎ ‎∴MF=HF﹣MH=﹣2，‎ ‎∵BE=﹣﹣1=﹣，‎ ‎∴==．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在（1）中注意利用抛物线的顶点式，在（2）中求得B、D的坐标是解题的关键，在（3）中求得BE、MF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．‎ ‎　‎ ‎28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．‎ ‎（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．‎ ‎①当a=1、d=﹣1时，求k的值；‎ ‎②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；‎ ‎（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；‎ ‎②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），结合已知条件2a﹣m=d，可求得d的取值范围；‎ ‎（2）由d=﹣4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；‎ ‎（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，﹣2d），D（0，﹣2d﹣8），于是可得到CD的长度．‎ ‎【解答】解：（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，‎ 所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6．‎ ‎∵a=1，‎ ‎∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，‎ 把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，‎ ‎∴A（1，6），B（3，0）．‎ 将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：，解得：，‎ 所以k的值为﹣3．‎ ‎②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），‎ ‎∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），‎ ‎∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，‎ ‎∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，‎ 又∵2a﹣m=d，‎ ‎∴d的取值范围为d＞﹣4．‎ ‎（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，‎ ‎∴m=2a+4．‎ ‎∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．‎ 把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．‎ 把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．‎ ‎∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．‎ ‎∵点A、点B的纵坐标相同，‎ ‎∴AB∥x轴．‎ ‎（3）线段CD的长度不变．‎ ‎∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，2a﹣m=d，‎ ‎∴y=﹣x2+（2a﹣d﹣2）x+2（2a﹣d）．‎ ‎∴yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8．‎ ‎∵把a=0代入yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，得：y=﹣2d，‎ ‎∴C（0，﹣2d）．‎ ‎∵点D在y轴上，即a+2=0，‎ ‎∴a=﹣2，．‎ 把a=﹣2代入yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8．‎ ‎∴D（0，﹣2d﹣8）．‎ ‎∴DC=|﹣2d﹣（﹣2d﹣8）|=8．‎ ‎∴线段CD的长度不变．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，求得点A和点B的坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）‎ ‎②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；‎ ‎（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据函数的解析式得到B（9，0），C（0，3），解方程组即可得到结论；‎ ‎（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG=t，AG=t，于是得到P（t﹣3，t），把OQ=9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣t2+t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；‎ ‎（3）根据中点坐标公式得到F（﹣t+3，﹣t2+t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由y=0得﹣x2+x+3=0，‎ 解得：x1=﹣3，x2=9，‎ ‎∴B（9，0），‎ 由x=0得y=3，‎ ‎∴C（0，3），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+3；‎ ‎（2）①过P作PG⊥x轴于G，‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，3），‎ ‎∴OA=3．OC=3，‎ ‎∴tan∠CAO=，‎ ‎∴∠CAO=60°，‎ ‎∵AP=t，‎ ‎∴PG=t，AG=t，‎ ‎∴OG=3﹣t，‎ ‎∴P（t﹣3，t），‎ ‎∵DQ⊥x轴，BQ=2t，‎ ‎∴OQ=9﹣2t，‎ ‎∴D（9﹣2t，﹣t2+t），‎ ‎②过P作PH⊥QD于H，‎ 则四边形PGQH是矩形，‎ ‎∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），‎ ‎∴﹣t2+t=2×t，‎ 解得：t1=0（舍去），t2=，∴当PQ=PD时，t的值是；‎ ‎（3）∵点F为PD的中点，‎ ‎∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）=﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）=﹣t2+t，‎ ‎∴F（﹣t+3，﹣t2+t），‎ ‎∵点F在直线BC上，‎ ‎∴﹣t2+t=﹣（﹣t+3）+3，‎ ‎∴t=3，‎ ‎∴F（，）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，矩形的判定和性质，中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．‎ ‎（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；‎ ‎（2）求△ABC外接圆的半径；‎ ‎（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；‎ ‎（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；‎ ‎（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ=PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ 令x=0可得y=﹣3，‎ 又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，‎ ‎∴C（0，3），‎ 设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 把A、B、C的坐标代入可得，解得，‎ ‎∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，‎ ‎∵B（3，0），C（0，3），‎ ‎∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，‎ 又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，‎ ‎∴M（1，1），‎ ‎∴MB==，‎ 即△ABC外接圆的半径为；‎ ‎（3）设Q（t，0），则BQ=|t﹣3|‎ ‎①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，‎ ‎∴P点纵坐标为3，‎ 即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，‎ 当点P在曲线M上时，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，‎ ‎∴PC=1+或PC=﹣1，‎ 当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t﹣3，‎ ‎∴t﹣3=1+，解得t=4+，‎ 当x=1﹣时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3﹣t，‎ ‎∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，‎ ‎∴Q点坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；‎ 当点P在曲线N上时，在y=﹣x2+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，‎ ‎∴PC=2，‎ 此时Q点在B点的右侧，则BQ=t﹣3，‎ ‎∴t﹣3=2，解得t=5，‎ ‎∴Q点坐标为（5，0）；‎ ‎②当BC为平行四边形的对角线时，‎ ‎∵B（3，0），C（0，3），‎ ‎∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），‎ ‎∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，‎ ‎∴P（3﹣t，3），‎ 当点P在曲线M上时，则有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，‎ ‎∴Q点坐标为（2+，0）或（2﹣，0）；‎ 当点P在曲线N上时，则有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，‎ ‎∴Q点坐标为（1，0）；‎ 综上可知Q点的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、三角形外心、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中确定出点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出外心的位置和坐标是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别最后一问，情况很多，难度较大．‎ ‎　‎ ‎31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；‎ ‎（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；‎ ‎（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；‎ ‎（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．‎ 把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，‎ 解得k=4，‎ 则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．‎ ‎∵B的坐标是（3，0），‎ ‎∴OB=3，‎ ‎∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠OCB=45°，‎ 过点N作NH⊥y轴，垂足是H．‎ ‎∵∠NCB=90°，‎ ‎∴∠NCH=45°，‎ ‎∴NH=CH，‎ ‎∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，‎ 设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．‎ ‎∴a+3=﹣a2+2a+3，‎ 解得a=0（舍去）或a=1，‎ ‎∴N的坐标是（1，4）；‎ ‎（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，‎ 设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，‎ 整理，得2t2﹣t=0，‎ 解得t=0或．‎ ‎∴﹣t2+2t+3的值为3或．‎ ‎∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．‎ 综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．‎ ‎（1）求此二次函数的关系式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；‎ ‎（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）直接利用待定系数法求出a，b的值进而得出答案；‎ ‎（2）首先得出∠OAC=45°，进而得出AD=BD，求出∠DAB=45°，即可得出答案；‎ ‎（3）首先利用已知得出圆M平移的长度为：2﹣或2+，进而得出抛物线的平移规律，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3中，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 所以所求函数关系式为：y=x2﹣x+3；‎ ‎（2）△ABC是直角三角形，‎ 过点B作BD⊥x轴于点D，‎ 易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，‎ 所以∠OAC=45°，‎ 又∵点B坐标为：（4，1），‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠DAB=45°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ 圆心M的坐标为：（2，2）；‎ ‎（3）存在 取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，‎ ‎∵M的坐标为：（2，2），‎ ‎∴MC==，OM=2，‎ ‎∴∠MOA=45°，‎ 又∵∠BAD=45°，‎ ‎∴OM∥AB，‎ ‎∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，‎ 则平移的长度为：2﹣或2+；‎ ‎∵∠BAD=45°，‎ ‎∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移=个单位长度 或=个单位长度，‎ ‎∵y=x2﹣x+3=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴平移后抛物线的关系式为：y=（x﹣+）2﹣﹣，‎ 即y=（x﹣）2﹣，‎ 或y=（x﹣+）2﹣﹣，‎ 即y=（x﹣）2﹣．‎ 综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：‎ y=（x﹣）2﹣或y=（x﹣）2﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、等腰直角三角形的性质等知识，正确得出圆M的平移距离是解题关键．‎ ‎　‎ ‎33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解决问题；‎ ‎（2）设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC=S△PHC+S△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；‎ ‎（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵tan∠ABC=4‎ ‎∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），‎ ‎∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），‎ 把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），‎ ‎∴y=4x2﹣16x+12，‎ ‎（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．‎ ‎∵B（3，0），C（0，12），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，‎ ‎∴H（m，﹣4m+12），‎ ‎∴S△DBC=S△DHC+S△DHB=•（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3=﹣6（m﹣）2+，‎ ‎∵﹣6＜0，‎ ‎∴m=时，△DBC面积最大，‎ 此时D（，﹣3）．‎ ‎（3）不存在．‎ 理由：假设存在．由题意可知，‎ 且1＜﹣＜2，‎ ‎∴4＜a＜8，‎ ‎∵a是整数，‎ ‎∴a=5 或6或7，‎ 当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2‎ 的最大值．‎ ‎【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2=S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，‎ ‎∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，‎ ‎∴四边形ABDC为等腰梯形，‎ ‎∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，‎ ‎∴D（3，2）；‎ 当点D在x轴下方时，‎ ‎∵∠DBA=∠CAO，‎ ‎∴BD∥AC，‎ ‎∵C（0，2），‎ ‎∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，‎ ‎∴直线AC解析式为y=2x+2，‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，‎ ‎∴直线BD解析式为y=2x﹣8，‎ 联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴D（﹣5，﹣18）；‎ 综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；‎ ‎（3）设P（t，﹣t2+t+2），‎ ‎∵AB=5，OC=2，‎ ‎∴S△PAB=（﹣t2+t+2）×5=﹣t2+t+5，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OF=﹣（t﹣4），‎ ‎∴S△AFO=×1×[﹣（t﹣4）]=﹣（t﹣4），且S△BOC=×2×4，‎ ‎∴S1﹣S2=﹣t2+t+5+（t﹣4）﹣4=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．‎ ‎　‎ ‎35．如图1，抛物线y=ax2+bx+‎ c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；‎ ‎（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；‎ ‎（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）∵A（0，3），D（2，3），‎ ‎∴BC=AD=2，‎ ‎∵B（﹣1，0），‎ ‎∴C（1，0），‎ ‎∴线段AC的中点为（，），‎ ‎∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，‎ ‎∴直线l过平行四边形的对称中心，‎ ‎∵A、D关于对称轴对称，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=1，‎ ‎∴E（3，0），‎ 设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线l的解析式为y=﹣x+，‎ 联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴F（﹣，），‎ 如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，‎ ‎∵P点横坐标为t，‎ ‎∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），‎ ‎∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，‎ ‎∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）2+×，‎ ‎∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，‎ ‎∴最大值的立方根为=；‎ ‎（3）由图可知∠PEA≠90°，‎ ‎∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，‎ ‎①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA=45°，‎ ‎∴∠PAG=∠APG=45°，‎ ‎∴PG=AG，‎ ‎∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），‎ ‎②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，‎ 则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，‎ ‎∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，‎ ‎∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，‎ ‎∴△PKE∽△AQP，‎ ‎∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），‎ 综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数示的应用，在（2）中用t表示出△PEF的面积是解题的关键，在（3）中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．‎ ‎　‎ ‎36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：‎ 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．‎ ‎（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；‎ ‎（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？‎ ‎（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；‎ ‎（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，‎ ‎（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1‎ ‎=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟，‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：m=30；‎ ‎∴B（30，0），‎ 潮头从甲地到乙地的速度为：千米/分钟；‎ ‎（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，‎ ‎∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，‎ 设小红出发x分钟与潮头相遇，‎ ‎∴0.4x+0.48x=12﹣7.6，‎ ‎∴x=5‎ ‎∴小红5分钟与潮头相遇，‎ ‎（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t2+bt+c，‎ 解得：b=﹣，c=﹣，‎ ‎∴s=t2﹣﹣‎ ‎∵v0=0.4，‎ ‎∴v=（t﹣30）+，‎ 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，‎ 此时v=0.48，‎ ‎∴0.48=（t﹣30）+，‎ ‎∴t=35，‎ 当t=35时，‎ s=t2﹣﹣=，‎ ‎∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．‎ 设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），‎ 当t=35时，s1=s=，代入可得：h=﹣，‎ ‎∴s1=﹣‎ 最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，‎ ‎∴t2﹣﹣﹣+=1.8‎ 解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），‎ ‎∴t=50，‎ 小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，‎ ‎∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，‎ ‎∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟，‎ ‎【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用，一元二次方程的解法，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，属于中等题型．‎ ‎　‎ ‎37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；‎ ‎（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；‎ ‎（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵矩形OBDC的边CD=1，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），‎ 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，‎ ‎∴E（﹣2，2），‎ ‎∴直线OE解析式为y=﹣x，‎ 由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），‎ ‎∵PG∥y轴，‎ ‎∴G（m，﹣m），‎ ‎∵P在直线OE的上方，‎ ‎∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，‎ ‎∵直线OE解析式为y=﹣x，‎ ‎∴∠PGH=∠COE=45°，‎ ‎∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，‎ ‎∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；‎ ‎（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥‎ AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，‎ 则∠ALF=∠ACO=∠FNM，‎ 在△MFN和△AOC中 ‎∴△MFN≌△AOC（AAS），‎ ‎∴MF=AO=3，‎ ‎∴点M到对称轴的距离为3，‎ 又y=﹣x2﹣x+2，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=﹣1，‎ 设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，‎ 当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，‎ ‎∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；‎ ‎②当AC为对角线时，设AC的中点为K，‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，2），‎ ‎∴K（﹣，1），‎ ‎∵点N在对称轴上，‎ ‎∴点N的横坐标为﹣1，‎ 设M点横坐标为x，‎ ‎∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，‎ ‎∴M（﹣2，2）；‎ 综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；‎ ‎（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；‎ ‎②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；‎ ‎（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；‎ ‎②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+4，‎ 设E（m，2m+4），‎ ‎∴G（m，﹣m2﹣2m+4），‎ ‎∵四边形GEOB是平行四边形，‎ ‎∴EG=OB=4，‎ ‎∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，‎ ‎∴m=﹣2‎ ‎∴G（﹣2，4）．‎ ‎（3）①如图1，‎ 由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，‎ ‎∴设E（a，2a+4），‎ ‎∵直线AC：y=﹣x﹣6，‎ ‎∴F（a，﹣a﹣6），‎ 设H（0，p），‎ ‎∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，‎ ‎∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∴EF为对角线，‎ ‎∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），‎ ‎∴a=﹣2，P=﹣1，‎ ‎∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；‎ ‎②如图2，‎ 由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），‎ ‎∴EH=，AE=2，‎ 设AE交⊙E于G，取EG的中点P，‎ ‎∴PE=，‎ 连接PC交⊙E于M，连接EM，‎ ‎∴EM=EH=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，∵∠PEM=∠MEA，‎ ‎∴△PEM∽△MEA，‎ ‎∴，‎ ‎∴PM=AM，‎ ‎∴AM+CM的最小值=PC，‎ 设点P（p，2p+4），‎ ‎∵E（﹣2，0），‎ ‎∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，‎ ‎∵PE=，‎ ‎∴5（p+2）2=，‎ ‎∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），‎ ‎∴P（﹣，﹣1），‎ ‎∵C（0，﹣6），‎ ‎∴PC==，‎ 即：AM+CM=．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．‎ ‎　‎ ‎39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．‎ ‎①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；‎ ‎②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；‎ ‎②当△CNQ与△PBM相似时有或=两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3；‎ ‎（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，‎ ‎∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），‎ ‎∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，‎ ‎∴M（t，0），N（t，t+3），‎ ‎∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+‎ 联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴C（0，3），D（7，），‎ 分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，‎ 则CE=t，DF=7﹣t，‎ ‎∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN•CE+PN•DF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；‎ ‎②存在．‎ ‎∵∠CQN=∠PMB=90°，‎ ‎∴当△CNQ与△PBM相似时，有或=两种情况，‎ ‎∵CQ⊥PM，垂足为Q，‎ ‎∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），‎ ‎∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，‎ ‎∴=，‎ ‎∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），‎ ‎∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，‎ 当时，则PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，﹣）；‎ 当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，﹣）；‎ 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标表示出△PCD的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：‎ ‎【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　　．‎ ‎【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．‎ ‎【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．‎ ‎【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．‎ ‎【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；‎ ‎【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；‎ ‎【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；‎ ‎【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；‎ 分三部分进行讨论：‎ ‎①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；‎ ‎②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；‎ ‎③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．‎ ‎【解答】解：【问题】‎ ‎∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，‎ ‎∴0=a（0﹣2）2﹣，‎ a=，‎ 故答案为：；‎ ‎【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，‎ 对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），‎ 如图②，沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+‎ 图象G对应的函数解析式为：y=；‎ ‎【探究】：如图③，由题意得：‎ 当y=1时，（x﹣2）2﹣=1，‎ 解得：x1=2+，x2=2﹣，‎ ‎∴C（2﹣，1），F（2+，1），‎ 当y=1时，﹣（x﹣2）2+=1，‎ 解得：x1=3，x2=1，‎ ‎∴D（1，1），E（3，1），‎ 由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；‎ ‎【应用】：∵D（1，1），E（3，1），‎ ‎∴DE=3﹣1=2，‎ ‎∵S△PDE=DE•h≥1，‎ ‎∴h≥1；‎ ‎①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，‎ ‎∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，‎ ‎（m﹣2）2≥10，‎ m﹣2≥或m﹣2≤﹣，‎ m≥2+或m≤2﹣，‎ ‎②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，‎ ‎∵H（2，），‎ ‎∴HM=﹣1=＜1，‎ ‎∴点P不可能在DE的上方；‎ ‎③∵MN=1，‎ 且O（0，0），A（4，0），‎ ‎∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，‎ ‎∴P与O或A重合时，符合条件，‎ ‎∴m=0或m=4；‎ 综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结合的思想和分类讨论的思想，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边的长和确定高的取值是关键．‎ ‎　1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；‎ ‎（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．‎ ‎（1）填空：b=　 　，c=　 　；‎ ‎（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；‎ ‎（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．‎ ‎3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．‎ ‎（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；‎ ‎（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；‎ ‎②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．‎ ‎（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；‎ ‎（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；‎ ‎（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．‎ ‎（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；‎ ‎（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；‎ ‎（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．‎ ‎6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．‎ ‎（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；‎ ‎（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．‎ ‎①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；‎ ‎②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．‎ ‎7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；‎ ‎（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？‎ ‎8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】‎ ‎10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；‎ ‎（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．‎ ‎12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．‎ ‎13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．‎ ‎（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？‎ ‎（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．‎ ‎14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．‎ ‎（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；‎ ‎（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．‎ ‎（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；‎ ‎（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；‎ ‎（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+‎ c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．‎ ‎17．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，‎ ‎①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．‎ ‎18．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．‎ ‎（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？‎ ‎②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；‎ ‎（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．‎ ‎19．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．‎ ‎（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；‎ ‎（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．‎ ‎（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；‎ ‎（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．‎ ‎①若∠CAB=90°，求m的值；‎ ‎②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．‎ ‎21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：‎ ‎（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；‎ ‎（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．‎ ‎22．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．‎ ‎（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；‎ ‎（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．‎ ‎23．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；‎ ‎（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；‎ ‎（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．‎ ‎（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎27．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：直线l是⊙M的切线；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．‎ ‎（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于　 　；‎ ‎（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；‎ ‎（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．‎ ‎29．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．‎ ‎30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．‎ ‎①当PE=2ED时，求P点坐标；‎ ‎②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年01月05日王奕杰的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；‎ ‎（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；‎ ‎（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；‎ ‎（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵B（2，t）在直线y=x上，‎ ‎∴t=2，‎ ‎∴B（2，2），‎ 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；‎ ‎（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，‎ ‎∵点C是抛物线上第四象限的点，‎ ‎∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），‎ ‎∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，‎ ‎∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，‎ ‎∵△OBC的面积为2，‎ ‎∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，‎ ‎∴C（1，﹣1）；‎ ‎（3）存在．连接AB、OM．‎ 设MB交y轴于点N，如图2，‎ ‎∵B（2，2），‎ ‎∴∠AOB=∠NOB=45°，‎ 在△AOB和△NOB中 ‎∴△AOB≌△NOB（ASA），‎ ‎∴ON=OA=，‎ ‎∴N（0，），‎ ‎∴可设直线BN解析式为y=kx+，‎ 把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，‎ ‎∴直线BN的解析式为y=x+，‎ 联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴M（﹣，），‎ ‎∵C（1，﹣1），‎ ‎∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），‎ ‎∴OB=2，OC=，‎ ‎∵△POC∽△MOB，‎ ‎∴==2，∠POC=∠BOM，‎ 当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，‎ ‎∵∠COA=∠BOG=45°，‎ ‎∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，‎ ‎∴△MOG∽△POH，‎ ‎∴===2，‎ ‎∵M（﹣，），‎ ‎∴MG=，OG=，‎ ‎∴PH=MG=，OH=OG=，‎ ‎∴P（，）；‎ 当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，‎ 同理可求得PH=MG=，OH=OG=，‎ ‎∴P（﹣，﹣）；‎ 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】‎ 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．‎ ‎（1）填空：b=　　，c=　4　；‎ ‎（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；‎ ‎（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；‎ ‎（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；‎ ‎（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△‎ ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；‎ ‎（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4，‎ ‎∴b=，c=4．‎ ‎（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．‎ 理由如下：连结QC．‎ ‎∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，‎ ‎∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．‎ 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，‎ ‎∴C（0，4）．‎ ‎∵AP=OQ=t，‎ ‎∴PC=5﹣t，‎ ‎∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△‎ APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，‎ ‎∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．‎ ‎∵由题意可知：0≤t≤4，‎ ‎∴t=4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．‎ ‎（3）如图所示：‎ 过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．‎ ‎∵PG∥y轴，‎ ‎∴△PAG∽△ACO，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴PG=t，AG=t，‎ ‎∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t．‎ ‎∵∠MPQ=90°，∠D=90°，‎ ‎∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，‎ ‎∴∠DMP=∠EPQ．‎ 又∵∠D=∠E，PM=PQ，‎ ‎∴△MDP≌PEQ，‎ ‎∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，‎ ‎∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t，‎ ‎∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）．‎ ‎∵点M在x轴下方的抛物线上，‎ ‎∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=．‎ ‎∵0≤t≤4，‎ ‎∴t=．‎ ‎（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．‎ ‎∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，‎ ‎∴RH=QO=t，RH∥OQ．‎ ‎∵A（﹣3，0），N（﹣，0），‎ ‎∴点N为OA的中点．‎ 又∵R为OP的中点，‎ ‎∴NR=AP=t，‎ ‎∴RH=NR，‎ ‎∴∠RNH=∠RHN．‎ ‎∵RH∥OQ，‎ ‎∴∠RHN=∠HNO，‎ ‎∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，‎ 解得：m=，n=4，‎ ‎∴直线AC的表示为y=x+4．‎ 同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．‎ 设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0，解得：s=2，‎ ‎∴直线NR的表述表达式为y=x+2．‎ 将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x=，y=，‎ ‎∴Q′（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为∠QHQ′的平分线是解答问题（4）的关键．‎ ‎　‎ ‎3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．‎ ‎（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；‎ ‎（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；‎ ‎②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．‎ ‎【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；‎ ‎（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤‎ ‎3时的最大值和最小值；‎ ‎（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．‎ ‎（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=‎ ‎①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．‎ 当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．‎ 综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．‎ ‎②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，‎ ‎∴此时y的最大值为．‎ 当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．‎ 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；‎ ‎（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．‎ 所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．‎ 如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点 ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，‎ ‎∴﹣n=1，解得：n=﹣1．‎ ‎∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ 如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），‎ ‎∴n=1．‎ 如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），‎ ‎∴+2﹣n=1，解得：n=．‎ ‎∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．‎ ‎（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；‎ ‎（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；‎ ‎（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；‎ ‎（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；‎ ‎（3）开放性答案，代入法即可解题；‎ ‎【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线L1解析式为y=；‎ 同理可得：，解得：，‎ ‎∴抛物线L2解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，‎ 由题意得：，解得：，‎ ‎∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；‎ ‎∴点D坐标为（，），‎ ‎∴DG==，AG=；‎ 同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m；‎ ‎∴EH==，BH=，‎ ‎∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，‎ ‎∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，‎ ‎∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，‎ ‎∴∠ADG=∠EBH，‎ ‎∵在△ADG和△EBH中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADG～△EBH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，化简得：m2=12，‎ 解得：m=±；‎ ‎（3）存在，例如：a=﹣，﹣；‎ 当a=﹣时，代入A，C可以求得：‎ 抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；‎ 同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m；‎ ‎∴点D坐标为（，），点E坐标为（，）；‎ ‎∵A（﹣4，0），‎ ‎∴直线AF的解析式为y=x+①‎ ‎∵B（4，0），‎ ‎∴直线BF的解析式为y=x﹣②‎ 联立①②解得，点F（﹣m，），‎ ‎∴OF2=m2+（）2，‎ 假设AF⊥BF，‎ ‎∴△ABF是直角三角形，‎ ‎∴OF=AB=4，‎ ‎∴OF2=16，‎ ‎∴m2+（）2=16，‎ 化简得，m4+4m2﹣320=0，‎ 解得，m=4（直线BF平行于x轴，不符合题意）或m=﹣4（直线AF平行于x轴，不符合题意），‎ 所以，AF不可能和BF垂直，‎ 同理可求得a=﹣时，AF不可能和BF垂直．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了待定系数法求解析式，还考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质；本题作出辅助线并证明△ADG～△EBH是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．‎ ‎（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；‎ ‎（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；‎ ‎（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．‎ ‎【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；‎ ‎（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵C（0，3）．‎ ‎∴﹣9a=3，解得：a=﹣．‎ 令y=0得：ax2﹣2 ax﹣9a=0，‎ ‎∵a≠0，‎ ‎∴x2﹣2 x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3．‎ ‎∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=．‎ ‎（2）∵OA=，OC=3，‎ ‎∴tan∠CAO=，‎ ‎∴∠CAO=60°．‎ ‎∵AE为∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠DAO=30°．‎ ‎∴DO=AO=1．‎ ‎∴点D的坐标为（0，1）‎ 设点P的坐标为（，a）．‎ 依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．‎ 当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．‎ 当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），‎ ‎∴点P的坐标为（，0）．‎ 当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣4）．‎ 综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．‎ ‎（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3=0，解得：m=，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+3．‎ 设直线MN的解析式为y=kx+1．‎ 把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，‎ ‎∴点N的坐标为（﹣，0）．‎ ‎∴AN=﹣+=．‎ 将y=x+3与y=kx+1联立解得：x=．‎ ‎∴点M的横坐标为．‎ 过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．‎ ‎∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，‎ ‎∴AM=2AG=+2=．‎ ‎∴+=+=+===．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．‎ ‎（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；‎ ‎（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．‎ ‎①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；‎ ‎②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△‎ ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；‎ ‎（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；‎ ‎（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．‎ ‎∵四边形CDHO是矩形，‎ ‎∴OC=DH=6，‎ ‎∵tan∠DAH==2，‎ ‎∴AH=3，‎ ‎∵OA=4，‎ ‎∴CD=OH=1，‎ ‎∴D（1，6），‎ 把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．‎ ‎（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．‎ ‎∵∠CPA=90°，‎ ‎∴PC2+PA2=AC2，‎ ‎∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，‎ 解得m=3±，‎ ‎∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．‎ ‎（3）①如图2中，‎ 易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，‎ x=1时，y=3，‎ ‎∴D′（1，3），‎ 平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，‎ 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，‎ ‎∴m=3．‎ ‎②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，‎ 当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，‎ ‎∴92﹣4×2×（4+m）＞0，‎ ‎∴m＜，‎ ‎③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），‎ 综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；‎ ‎（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？‎ ‎【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；‎ ‎（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；‎ ‎（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△‎ PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；‎ ‎（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，‎ ‎∵OA=OB=6，‎ ‎∴∠OAB=45°，‎ ‎∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°，‎ ‎∴tan∠PAC=，即=，‎ 设AC=m，则PC=m，‎ ‎∴P（m，6+m），‎ 把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（m）2+2m+6，解得m=0或m=﹣，‎ 经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，‎ ‎∴所求的P点坐标为（4﹣，+）；‎ ‎（3）当两个动点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），‎ 如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t，‎ ‎∴F（t，6﹣t），‎ ‎∴FP=﹣t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，‎ ‎∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，‎ ‎∴S△PAB=FP•OE+FP•BE=FP•（OE+BE）=FP•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM•OB=×t×6=3t，‎ ‎∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24，‎ ‎∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造Rt△PAC是解题的关键，在（3）中用t表示出P、M的坐标，表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．‎ ‎【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；‎ ‎（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，‎ ‎∴B（3，0），C（0，），‎ ‎∴OB=3，OC=，‎ ‎∴tan∠BCO==，‎ ‎∴∠BCO=60°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACO=30°，‎ ‎∴=tan30°=，即=，解得AO=1，‎ ‎∴A（﹣1，0）；‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；‎ ‎（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，‎ ‎∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，‎ ‎∴DH=DM，MH=DM，‎ ‎∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，‎ ‎∴当DM有最大值时，其周长有最大值，‎ ‎∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，‎ ‎∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），‎ ‎∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），‎ ‎∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，DM有最大值，最大值为，‎ 此时DM=×=，‎ 即△DMH周长的最大值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】‎ ‎【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；‎ ‎（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；‎ ‎（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，‎ 设D（m，0），‎ ‎∵DP∥y轴，‎ ‎∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），‎ ‎∵OD=4PE，‎ ‎∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），‎ ‎∴m=5，m=0（舍去），‎ ‎∴D（5，0），P（5，），E（5，），‎ ‎∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；‎ ‎（3）存在，设M（n，n﹣2），‎ ‎①以BD为对角线，如图1，‎ ‎∵四边形BNDM是菱形，‎ ‎∴MN垂直平分BD，‎ ‎∴n=4+，‎ ‎∴M（，），‎ ‎∵M，N关于x轴对称，‎ ‎∴N（，﹣）；‎ ‎②以BD为边，如图2，‎ ‎∵四边形BNDM是菱形，‎ ‎∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，‎ 过M作MH⊥x轴于H，‎ ‎∴MH2+DH2=DM2，‎ 即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，‎ ‎∴n1=4（不合题意），n2=5.6，‎ ‎∴N（4.6，），‎ 同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，‎ ‎∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，‎ ‎∴N（5﹣，﹣），‎ ‎③以BD为边，如图3，‎ 过M作MH⊥x轴于H，‎ ‎∴MH2+BH2=BM2，‎ 即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，‎ ‎∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），‎ ‎∴N（5+，），‎ 综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；‎ ‎（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；‎ ‎（2）∵AD=5，且OA=1，‎ ‎∴OD=6，且CD=8，‎ ‎∴C（﹣6，8），‎ 设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，‎ 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，‎ ‎∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），‎ ‎∵C（﹣6，8），‎ ‎∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，‎ ‎∴m的值为7或9；‎ ‎（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=2，‎ ‎∴可设P（2，t），‎ 由（2）可知E点坐标为（1，8），‎ ‎①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，‎ 则∠BEF=∠BMP=∠QPN，‎ 在△PQN和△EFB中 ‎∴△PQN≌△EFB（AAS），‎ ‎∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，‎ 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，‎ ‎∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，‎ 当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，‎ ‎∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；‎ ‎②当BE为对角线时，‎ ‎∵B（5，0），E（1，8），‎ ‎∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），‎ 设Q（x，y），且P（2，t），‎ ‎∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，‎ ‎∴Q（4，5）；‎ 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；‎ ‎（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|‎ ‎、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；‎ ‎（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），‎ 将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），‎ 解得：a=﹣1，‎ ‎∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，‎ 如图，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），‎ ‎∴ME=|﹣m2+2m+3|，‎ ‎∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，‎ ‎∴点N的横坐标为2﹣m，‎ ‎∴MN=2m﹣2，‎ ‎∵四边形MNFE为正方形，‎ ‎∴ME=MN，‎ ‎∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，‎ 分两种情况：‎ ‎①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），‎ 当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；‎ ‎②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），‎ 当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；‎ 综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．‎ ‎（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，‎ 把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，‎ 设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+‎ ‎3），点D（a，﹣a+3），‎ ‎①点M在对称轴右侧，即a＞1，‎ 则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，‎ 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，‎ 解得：a=或a=＜1（舍去）；‎ 若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，‎ 解得：a=﹣1（舍去）或a=2；‎ ‎②点M在对称轴左侧，即a＜1，‎ 则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，‎ 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，‎ 解得：a=﹣1或a=2（舍）；‎ 若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，‎ 解得：a=（舍去）或a=；‎ 综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；‎ ‎（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；‎ ‎【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，‎ 把（0，0）代入得到a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．‎ ‎（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），‎ ‎∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，‎ ‎∴E、B关于对称轴对称，‎ ‎∴=2，‎ 解得m=1或6（舍弃），‎ ‎∴B（3，0），C（1，﹣2），‎ ‎∴直线l′的解析式为y=x﹣3．‎ ‎（3）如图2中，‎ ‎①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．‎ ‎②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），‎ 则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，‎ 解得m=或，‎ ‎∴P2（，），P3（，）．‎ 综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．‎ ‎（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？‎ ‎（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；‎ ‎（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，‎ ‎∴C（0，4），‎ ‎∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），‎ ‎∴B（10，4），‎ 把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），‎ ‎∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，‎ ‎∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，‎ ‎∴△PBE∽△OCD，‎ ‎∴=，即BP•OD=CO•PE，‎ ‎∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），‎ ‎∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；‎ ‎（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，‎ ‎∴∠CQO+∠AQB=90°，‎ ‎∵∠CQO+∠OCQ=90°，‎ ‎∴∠OCQ=∠AQB，‎ ‎∴Rt△COQ∽Rt△QAB，‎ ‎∴=，即OQ•AQ=CO•AB，‎ 设OQ=m，则AQ=10﹣m，‎ ‎∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，‎ ‎①当m=2时，CQ==2，BQ==4，‎ ‎∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，‎ ‎∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），‎ ‎∴t=（10﹣t），解得t=，‎ ‎②当m=8时，同理可求得t=，‎ ‎∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．‎ ‎（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；‎ ‎（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；‎ ‎（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）如图，连接OC，‎ ‎∵M（4，0），N（0，3），‎ ‎∴OM=4，ON=3，‎ ‎∴MN=5，‎ ‎∴OC=MN=，‎ ‎∵CD为抛物线对称轴，‎ ‎∴OD=MD=2，‎ 在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，‎ ‎∴PD=PC﹣CD=﹣=1，‎ ‎∴P（2，﹣1）；‎ ‎（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），‎ ‎∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∵抛物线过N（0，3），‎ ‎∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；‎ ‎（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，‎ ‎∴A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴AB=3﹣1=2，‎ ‎∵ON=3，OM=4，PD=1，‎ ‎∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，‎ ‎∴S△QAB=1，‎ 设Q点纵坐标为y，则×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，‎ 当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，‎ 当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，‎ ‎∵D为AB的中点，‎ ‎∴AD=BD=QD，‎ ‎∴△QAB为等腰直角三角形，‎ ‎∵ON=OB=3，‎ ‎∴△OBN为等腰直角三角形，‎ ‎∴△QAB∽△OBN，‎ 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．‎ ‎【点评】‎ 本题为二次函数的综合应用，涉及勾股定理、垂径定理、待定系数法、相似三角形的性质和判定、二次函数的性质等知识．在（1）中利用垂径定理得到OD=2，从而求得CD的长是解题的关键，在（2）中注意设抛物线的顶点式更容易求解，在（3）中求得Q点的纵坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；‎ ‎（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；‎ ‎（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；‎ ‎（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．‎ ‎∴A（﹣2，0），‎ 把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得 ‎，‎ 解得 ，‎ 所以该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3；‎ ‎（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．‎ ‎∴MB=6﹣3t．‎ 由题意得，点C的坐标为（0，3）．‎ 在Rt△BOC中，BC==5．‎ 如图1，过点N作NH⊥AB于点H．‎ ‎∴NH∥CO，‎ ‎∴△BHN∽△BOC，‎ ‎∴，即=，‎ ‎∴HN=t．‎ ‎∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+，‎ 当△MBN存在时，0＜t＜2，‎ ‎∴当t=1时，‎ S△MBN最大=．‎ 答：运动1秒使△MBN的面积最大，最大面积是；‎ ‎（3）如图2，‎ 在Rt△OBC中，cos∠B==．‎ 设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．‎ ‎∴MB=6﹣3t．‎ 当∠MNB=90°时，cos∠B==，即=，‎ 化简，得17t=24，解得t=，‎ 当∠BMN=90°时，cos∠B==，‎ 化简，得19t=30，解得t=，‎ 综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．‎ ‎（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；‎ ‎（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；‎ ‎（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．‎ ‎【分析】（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；‎ ‎（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即可；‎ ‎（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0，‎ ‎∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；‎ ‎（2）证明：∵2a=b，‎ ‎∴对称轴x=﹣=﹣1，‎ 把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，‎ ‎∵a＞0，c＜0，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，‎ ‎∴＜0，‎ 则顶点A（﹣1，）在第三象限；‎ ‎（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，‎ 解得：x1=﹣3，x2=1，‎ 二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a，‎ ‎∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，‎ ‎∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°，‎ ‎∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，‎ 顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1，‎ 设对称轴x=﹣1与OF交于点G，‎ ‎∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a），‎ ‎∴m=1﹣4a，‎ ‎∴直线解析式为y=x+1﹣4a，‎ 联立得：，‎ 解得：或，‎ 这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（﹣1，﹣4a）为点D坐标，‎ 点D到对称轴x=﹣1的距离为﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a，‎ ‎∴S△ADE=××4a=2，即它的面积为定值，‎ 这时等腰直角△ADF的面积为1，‎ ‎∴底边DF=2，‎ 而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由﹣1=0，‎ 解得：a=1．‎ 此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．‎ ‎【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的关系，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，‎ ‎①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．‎ ‎【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，即可得出答案；‎ ‎②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，得出方程组，求出b即可；‎ ‎③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组，解方程组求出b的值即可．‎ ‎【解答】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，‎ 当b=1时，=，‎ ‎∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=．‎ ‎②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），‎ ‎∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b，‎ ‎∴，解得：b=，‎ ‎∴b为，二次函数的图象与x轴相切．‎ ‎③∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠AMB=90°，‎ ‎∴∠OAM+∠OBM=90°，‎ ‎∵∠AOM=∠MOB=90°，‎ ‎∴∠OAM+∠OMA=90°，‎ ‎∴∠OMA=∠OBM，‎ ‎∴△OAM∽△OMB，‎ ‎∴，‎ ‎∴OM2=OA•OB，‎ ‎∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），‎ ‎∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1），‎ ‎∵OM=c+1，‎ ‎∴（c+1）2=c+1，‎ 解得：c=0或c=﹣1（舍去），‎ ‎∴c=0，OM=1，‎ ‎∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，‎ ‎∴AD=BD，DF=4DE，‎ DF∥OM，‎ ‎∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，‎ ‎∴，，‎ ‎∴DE=，DF=，‎ ‎∴×4，‎ ‎∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，‎ ‎∵x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴b=﹣+2=，‎ ‎∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．‎ ‎【点评】‎ 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数是关系等知识；本题综合性强，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎18．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．‎ ‎（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？‎ ‎②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；‎ ‎（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．‎ ‎【分析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD；‎ ‎②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；‎ ‎（2）先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；由OB∥AD得△OBE是直角三角形，所以P与O重合时，满足△BEP为直角三角形且BE为直角边；‎ ‎（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到y=x，将y=x向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）①△OBC与△ABD全等，‎ 理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，‎ ‎∴∠OBA=∠CBD=60°，‎ OB=AB，BC=BD，‎ ‎∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，‎ 即∠OBC=∠ABD，‎ ‎∴△OBC≌△ABD（SAS）；‎ ‎②∵△OBC≌△ABD，‎ ‎∴∠BAD=∠BOC=60°，‎ ‎∴∠OBA=∠BAD，‎ ‎∴OB∥AD，‎ ‎∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；‎ ‎（2）如图2，∵AC2=AE•AD，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠EAC=∠DAC，‎ ‎∴△AEC∽△ACD，‎ ‎∴∠ECA=∠ADC，‎ ‎∵∠BAD=∠BAO=60°，‎ ‎∴∠DAC=60°，‎ ‎∵∠BED=∠AEC，‎ ‎∴∠ACB=∠ADB，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC，‎ ‎∵BD=CD，‎ ‎∴DE⊥BC，‎ Rt△ABE中，∠BAE=60°，‎ ‎∴∠ABE=30°，‎ ‎∴AE=AB=×2=1，‎ Rt△AEC中，∠EAC=60°，‎ ‎∴∠ECA=30°，‎ ‎∴AC=2AE=2，‎ ‎∴C（4，0），‎ 等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H，‎ ‎∴BH==，‎ ‎∴B（1，），‎ 设y1的解析式为：y=ax（x﹣4），‎ 把B（1，）代入得：=a（1﹣4），‎ a=﹣，‎ ‎∴设y1的解析式为：y1=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x，‎ 过E作EG⊥x轴于G，‎ Rt△AGE中，AE=1，‎ ‎∴AG=AE=，‎ EG==，‎ ‎∴E（，），‎ 设直线AE的解析式为：y=kx+b，‎ 把A（2，0）和E（，）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AE的解析式为：y=x﹣2，‎ 则，‎ 解得：，，‎ ‎∴P（3，）或（﹣2，﹣4）；‎ 由（2）知：OB∥AD，‎ ‎∴∠OBE=∠AEC=90°，‎ ‎∴△OBE是直角三角形，‎ ‎∴P在点O处时，也符合条件，‎ 综上所述，点P的坐标为：（3，）或（﹣2，﹣4）或（0，0）；‎ ‎（3）如图3，‎ y1=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+，‎ 顶点（2，），‎ ‎∴抛物线y2的顶点为（2，﹣），‎ ‎∴y2=（x﹣2）2﹣，‎ ‎∵直线y=x+m和组成图形M的抛物线y1有两个交点或一个交点或没有交点，‎ 抛物线y2有两个交点或一个交点或没有交点，‎ 要图象M和直线y=x+m只有3个交点，则直线y=x+m和y1或y2相切，‎ 当y2与l相切时，直线l与y2只有一个公共点，即：l与图形M有3个公共点，‎ 则，‎ ‎=﹣，‎ x2﹣7x﹣3m=0，‎ ‎△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）=0，‎ m=﹣，‎ 当y1与l相切时，直线l与y1只有一个公共点，l与图形M有3个公共点，‎ ‎∴，‎ ‎∴x2﹣x+3m=0，‎ ‎∴△=1﹣12m=0，‎ ‎∴m=，‎ 当直线经过（0，0）或（4，0）时，也符合题意，此时m=0或﹣4‎ ‎∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：m=﹣或m=或0或﹣4．‎ ‎【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题．‎ ‎　‎ ‎19．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．‎ ‎（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；‎ ‎（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；‎ ‎（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；‎ ‎（3）设点P（0，y）．分两种情况：‎ ‎①当m＜0时，如图2，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围；‎ ‎②当m＞0时，如图3，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），‎ 把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；‎ 对称轴是：直线x=﹣1；‎ ‎（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），‎ 由题意得：AD=1+1=2，OC=3，‎ S△ACE=S△ACD=×AD•OC=×2×3=10，‎ 设直线AE的解析式为：y=kx+b，‎ 把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，‎ ‎∴F（0，﹣m﹣3），‎ ‎∵C（0，﹣3），‎ ‎∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，‎ ‎∴S△ACE=FC•（1﹣m）=10，‎ ‎﹣m（1﹣m）=20，‎ m2﹣m﹣20=0，‎ ‎（m+4）（m﹣5）=0，‎ m1=﹣4，m2=5（舍），‎ ‎∴E（﹣4，5）；‎ ‎（3）设点P（0，y）．‎ ‎①当m＜0时，‎ 如图2，△POB∽△FGP，‎ 得=，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=y2+4y=（y+2）2﹣4，‎ ‎∵﹣4＜y＜0，‎ ‎∴﹣4≤m＜0．‎ ‎②当m＞0时，‎ 如图3，△POB∽△FGP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=﹣y2﹣4y=﹣（y+2）2+4，‎ ‎∴﹣4＜y＜0，‎ ‎∴0＜m≤4，‎ 综上所述，m的取值范围是﹣4≤m≤4且m≠0．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法，及三角形全等的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．‎ ‎（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为　（﹣1，﹣4）　，伴随直线为　y=x﹣3　，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　（0，﹣3）　和　（﹣1，﹣4）　；‎ ‎（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．‎ ‎①若∠CAB=90°，求m的值；‎ ‎②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；‎ ‎（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵y=（x+1）2﹣4，‎ ‎∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），‎ 由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，‎ 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，‎ ‎∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），‎ 故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；‎ ‎（2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，‎ ‎∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，‎ 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，‎ ‎∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），‎ 在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，‎ ‎∴C（﹣1，0），D（3，0），‎ ‎∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，‎ ‎∵∠CAB=90°，‎ ‎∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，‎ ‎∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣；‎ ‎②设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，‎ 过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，‎ ‎∵点P的横坐标为x，‎ ‎∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），‎ ‎∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，‎ ‎∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，‎ ‎∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，‎ ‎∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣m，‎ ‎∴S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：‎ ‎（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；‎ ‎（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．‎ ‎【分析】（1）把点（﹣2，0）和（﹣1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；‎ ‎（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），把顶点坐标代入y=﹣2x，得出﹣=﹣2×（﹣），即可求出b的值；‎ ‎（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，根据（2）的结论可知，b=﹣4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），根据﹣=﹣n﹣k，得出a==﹣，即第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，根据Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，进而求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），且该点在直线y=﹣2x上，‎ ‎∴﹣=﹣2×（﹣），‎ ‎∵a≠0，∴﹣b2=4b，‎ 解得b1=﹣4，b2=0；‎ ‎（3）这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，‎ 由（2）可知，b=﹣4或b=0．‎ ‎①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；‎ ‎②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．‎ 由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），‎ ‎∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），‎ ‎∴﹣=﹣n﹣k，∴a==﹣，‎ ‎∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，‎ ‎∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，‎ ‎∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，‎ ‎∵n，k为正整数，且n≤12，‎ ‎∴n1=5，n2=10．‎ 当n=5时，k=4，n+k=9；‎ 当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），‎ ‎∴D5（﹣15，10），‎ ‎∴正方形的边长是10．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等知识，有一定难度．设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，用含n的代数式表示Dn的坐标以及用含n、k的代数式表示第n+k条抛物线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．‎ ‎（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；‎ ‎（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．‎ ‎【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；‎ ‎（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；‎ ‎（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，‎ ‎∴C（0，3a），‎ ‎∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，‎ ‎∴D（2，﹣a）；‎ ‎（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，‎ ‎∴A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴AB=3﹣1=2，‎ ‎∴S△ABD=×2×a=a，‎ 如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，‎ 把C、D的坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，‎ ‎∴E（，0），‎ ‎∴BE=3﹣=‎ ‎∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，‎ ‎∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，‎ ‎∴k=3；‎ ‎（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），‎ ‎∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，‎ ‎∵∠BCD＜∠BCO＜90°，‎ ‎∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，‎ ‎①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；‎ ‎②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；‎ 综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用a表示出两三角形的面积是解题的关键，在（3）中由勾股定理得到关于a的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎23．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣，将点M的坐标代入求a的值即可；‎ ‎（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：‎ ‎①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣（a≠0），‎ 将点M（2，0）代入可得：a（2﹣）2﹣=0，‎ 解得a=1．‎ 故抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣；‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣．‎ 则对称轴为x=，‎ ‎∴点A与点M（2，0）关于直线x=对称，‎ ‎∴A（﹣1，0）．‎ 令x=0，则y=﹣2，‎ ‎∴B（0，﹣2）．‎ 在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=．‎ 设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．‎ ‎∴直角△AOG是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AGO=45°．‎ ‎∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．‎ 故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：‎ ‎①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，‎ 过点D作DN⊥y轴于点N，‎ 在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，‎ ‎∴DN=BN==，‎ ‎∴D（﹣，﹣﹣2），‎ ‎∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上，‎ ‎∴k=﹣×（﹣﹣2）=+；‎ ‎②此菱形以AB为对角线，如图2，‎ 作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y=（k＞0）的图象于点D．‎ 再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．‎ 在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，‎ ‎∴BE=DE．‎ 可设点D的坐标为（x，x﹣2）．‎ ‎∵BE2+DE2=BD2，‎ ‎∴BD=BE=x．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD=BD=x．‎ ‎∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（x）=（x+1）2+（x﹣2）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴点D的坐标是（，）．‎ ‎∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上，‎ ‎∴k=×=，‎ 综上所述，k的值是+或．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时要分类讨论，以防漏解．‎ ‎　‎ ‎24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；‎ ‎（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；‎ ‎（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC==，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，②当PC=CA=时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P3（0，），④当PC=CA=时，于是得到结论；‎ ‎（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x==，得到OG=，求得GN=t﹣，根据相似三角形的性质得到HG=t﹣，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）把A（3，0），且M（1，﹣）代入y=ax2+bx﹣2得，‎ 解得：；‎ ‎（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，‎ ‎∴C（0，﹣2），‎ ‎∴OC=2，‎ 如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC==，‎ ‎①当PA=CA时，则OP1=OC=2，‎ ‎∴P1（0，2）；‎ ‎②当PC=CA=时，即m+2=，∴m=﹣2，‎ ‎∴P2（0，﹣2）；‎ ‎③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，‎ 则△AOC∽△P3EC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴P3C=，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴P3（0，），‎ ‎④当PC=CA=时，m=﹣2﹣，‎ ‎∴P4（0，﹣2﹣），‎ 综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）；‎ ‎（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，‎ ‎∵NH∥AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴OM=，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，‎ ‎∴OG=1，‎ ‎①当0＜t≤1时，∴GN=1﹣t，‎ ‎∵GH∥OC，‎ ‎∴△NGH∽△NOM，‎ ‎∴，‎ 即=，‎ ‎∴HG=﹣t+，‎ ‎∴S=ON•GH=t（﹣t+）=﹣t2+t（0＜t＜1）．‎ ‎②当1＜t＜3时，‎ ‎∴GN=t﹣1，‎ ‎∵GH∥OC，‎ ‎∴△NGH∽△NOM，‎ ‎∴，‎ 即=，‎ ‎∴HG=t﹣，‎ ‎∴S=ON•GH=t（t﹣）=t2﹣t（1＜t＜3）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求得函数的系数，相似三角形的，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；‎ ‎（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；‎ ‎（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；‎ ‎（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；‎ ‎（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，‎ ‎（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，‎ ‎∴C（0，﹣5），‎ ‎∴OC=OB，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=45°，‎ ‎∴AB=6，BC=5，‎ 要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，‎ ‎①当时，‎ CD=AB=6，‎ ‎∴D（0，1），‎ ‎②当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD=，‎ ‎∴D（0，），‎ 即：D的坐标为（0，1）或（0，）；‎ ‎（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），‎ ‎∵CE∥x轴，‎ ‎∴点E的纵坐标为﹣5，‎ ‎∵E在抛物线上，‎ ‎∴x2﹣4x﹣5=﹣5，‎ ‎∴x=0（舍）或x=4，‎ ‎∴E（4，﹣5），‎ ‎∴CE=4，‎ ‎∵B（5，0），C（0，﹣5），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣5，‎ ‎∴F（t，t﹣5），‎ ‎∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∵CE∥x轴，HF∥y轴，‎ ‎∴CE⊥HF，‎ ‎∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2（t﹣）2+，‎ 当t=时，四边形CHEF的面积最大为．‎ 当t=时，t2﹣4t﹣5=﹣10﹣5=﹣，‎ ‎∴H（，﹣）；‎ ‎（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，‎ ‎∴K（2，﹣9），‎ ‎∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），‎ ‎∵M（4，m）在抛物线上，‎ ‎∴M（4，﹣5），‎ ‎∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），‎ ‎∴直线K'M'的解析式为y=x﹣，‎ ‎∴P（，0），Q（0，﹣）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，对称性，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF，解（4）的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．‎ ‎　‎ ‎26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．‎ ‎（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；‎ ‎（2）设P（m，m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；‎ ‎（3）求得E（0，﹣），得到CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）设P（m，m2﹣m﹣2），‎ ‎∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，‎ ‎∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），‎ ‎∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，PM+PN的最大值是；‎ ‎（3）能，‎ 理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，‎ ‎∴E（0，﹣），‎ ‎∴CE=，‎ 设P（m，m2﹣m﹣2），‎ 若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，‎ ‎①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，‎ ‎∴F（m，﹣m﹣），‎ ‎∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，或m2﹣m﹣2+m+=，‎ ‎∴m1=1，m2=0（舍去），m3=，m4=，‎ ‎②以CE为对角线，连接PF交CE于G，‎ ‎∴CG=GE，PG=FG，‎ ‎∴G（0，﹣），‎ 设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），‎ ‎∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，‎ ‎∴m=1，m=0（舍去），‎ 综上所述，F（1，﹣），（，﹣），（，）（﹣1，0）以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：直线l是⊙M的切线；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；‎ ‎（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=：2：1．则△PEF的面积=PF2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．‎ ‎（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．‎ 把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，‎ ‎∴A（0，4）．‎ 将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，‎ ‎∴B（8，0）．‎ ‎∴OA=4，OB=8．‎ ‎∵M（﹣1，2），A（0，4），‎ ‎∴MG=1，AG=2．‎ ‎∴tan∠MAG=tan∠ABO=．‎ ‎∴∠MAG=∠ABO．‎ ‎∵∠OAB+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．‎ ‎∴l是⊙M的切线．‎ ‎（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，‎ ‎∴∠FPE=∠FBD．‎ ‎∴tan∠FPE=．‎ ‎∴PF：PE：EF=：2：1．‎ ‎∴△PEF的面积=PE•EF=×PF•PF=PF2．‎ ‎∴当PF最小时，△PEF的面积最小．‎ 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．‎ ‎∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．‎ ‎∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为．‎ ‎∴P（，）．‎ ‎∴△PEF的面积的最小值为=×（）2=．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、锐角三角函数的定义，列出PF与x的函数关系式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．‎ ‎（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于　　；‎ ‎（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；‎ ‎（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离；‎ ‎（2）令y=0得到x2+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=﹣b，然后列出OE•AE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OE•AE的最大值，以及此时b的值，于是可得到抛物线的解析式；‎ ‎（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值．‎ ‎【解答】解：（1）当t=12时，B（4，12）．‎ 将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式y=x2﹣x．‎ ‎∴y=（x﹣）2﹣．‎ ‎∴D（，）．‎ ‎∴顶点D与x轴的距离为．‎ 故答案为：．‎ ‎（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，‎ ‎∵OA=4，‎ ‎∴AE=4﹣（﹣b）=4+b．‎ ‎∴OE•AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，‎ ‎∴OE•AE的最大值为4，此时b的值为﹣2，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x．‎ ‎（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．‎ ‎∵△DMN≌△FOC，‎ ‎∴MN=CO=t，DG=FH=2．‎ ‎∵D（﹣，﹣），‎ ‎∴N（﹣+，﹣+2），即（，）．‎ 把点N和坐标代入抛物线的解析式得：=（）2+b•（），‎ 解得：t=±2．‎ ‎∵t＞0，‎ ‎∴t=2．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标，全等三角形的性质，求得点N的坐标（用含b和t的式子表示）是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．‎ ‎【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；‎ ‎（3）过E作EF⊥‎ x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，‎ ‎∴B（3，0），C（0，3），‎ 把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），‎ 设M（2，t），且C（0，3），‎ ‎∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，‎ ‎∵△CPM为等腰三角形，‎ ‎∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，‎ ‎①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；‎ ‎②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；‎ ‎③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；‎ 综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；‎ ‎（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，‎ 设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，‎ ‎∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），‎ 即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中设出M点的坐标，利用等腰三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出△CBE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．‎ ‎①当PE=2ED时，求P点坐标；‎ ‎②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②‎ 由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，‎ ‎∴m=4+1=5，‎ ‎∴B（4，5），‎ 把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；‎ ‎（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），‎ 则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，‎ ‎∵PE=2ED，‎ ‎∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，‎ 当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，‎ ‎∴P（2，9）；‎ 当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，‎ ‎∴P（6，﹣7）；‎ 综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；‎ ‎②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），‎ ‎∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，‎ 当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，‎ 当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；‎ 当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；‎ 当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；‎ 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4‎ ‎﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎