甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2-x-2＜0，x∈R}，B={x|x2-1≥0，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A. B. 或 C. D. ‎ 2. 已知在数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（　　）‎ A. B. C. D. 2‎ 3. 在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 下列命题为真命题的是（　　）‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 5. 若a，b，c为△ABC的三边，B=120°，那么a2+c2+ac-b2的值（　　）‎ A. 大于0 B. 小于‎0 ‎C. 等于0 D. 不能确定 6. 等比数列{an}中，a1=，q=2，则a4与a8的等比中项是（　　）‎ A. B. ‎4 ‎C. D. ‎ 7. 在△ABC中，，则角C的度数为（　　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ 8. 点P（a，4）到直线x-2y+2=0的距离等于，且在不等式3x+y＞3表示的平面的区域内，则P点的坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 设a＞0，b＞0，若lga和lgb的等差中项是0，则a+b的最小值为（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. ‎ 10. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（　　）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ 11. 已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn=+…+，则Sn=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（　　）‎ A. 第58项 B. 第59项 C. 第60项 D. 第61项 二、填空题（本大题共3小题）‎ 13. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2，则a1=______，an=______．‎ 14. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于______ ．‎ 15. 已知函数，则的值为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 16. 若x，y满足约束条件，则x-y的取值范围是______． ‎ 1. 已知关于x的不等式ax 2+5x-2＞0的解集是 {x|＜x＜2}， （1）求a的值； （2）求关于x的不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集． ‎ 2. 已知的内角所对的边分别为，且,.‎ ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)若的面积，求的值． ‎ 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2 （1）求证：数列{an}是等差数列； （2）问{an}的前多少项和最大； （3）设数列{bn}的每一项都有bn =|an|，求数列{bn}的前n项和S′n． ‎ 4. 已知x＞2，求函数的最小值． ‎ 5. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若数列{bn}是等差数列，且，求非零常数c．‎ ‎ ‎ 1. 已知数列{an}满足a1=，点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=的图象上： （1）求数列{an}的通项公式； （2）若cn=（an-）n，Tn为cn的前n项和，求Tn． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由x2-x-2＜0，得-1＜x＜2， ∴A={x|x2-x-2＜0，x∈R}={x|-1＜x＜2}； 由x2-1≥0，得x≤-1或x≥1． ∴B={x|x2-1≥0，x∈R}={x|x≤-1或x≥1}． ∴A∩B={x|-1＜x＜2}∩{x|x≤-1或x≥1}={x|1≤x＜2}． 故选：D． 求解一元二次不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：在数列{an}中， ∵a1=-1，an+1=an-3， ∴数列{an}是首项为-1，公差为-3的等差数列， ∴a3=-1+（-3）×2=-7． 故选：A． 由已知得数列{an}是首项为-1，公差为-3的等差数列，由此能求出a3． 本题考查数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵B=135°，C=15°， ∴A=30°，且b为最大边， 又a=5，sinB=，sinA=， 根据正弦定理=得： b==5． 故选：C． 由B和C的度数，求出A的度数，根据三角形中大边对大角可得b为最大边，由a，sinB和sinA的值，利用正弦定理即可求出最大边b的值． 此题考查了三角形的边角关系，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误； 若a2＞b2，不一定有a＞b，如（-3）2＞（-2）2，但-3＜-2，选项B错误； 若，不一定有a＜b，如，当2＞-3，选项C错误； 若，则，即a＜b，选项D正确． 故选：D． 分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确． 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题． ‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵△ABC中，B=120°， ∴由余弦定理可得cosB=cos120°=-=， ∴化简可得a2+c2+ac-b2=0， 故选：C． 由条件利用余弦定理可得cos120°=-=，化简可得a2+c2+ac-b2的值． 本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设a4与a8的等比中项是x． 由等比数列{an}的性质可得，∴x=±a6． ∴a4与a8的等比中项x=±a6==±4． 故选：A． 利用等比数列{an}的性质可得，即可得出． 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵在△ABC中，若a=4、b=6， ∴△ABC的面积等于S=a•b•sinC=sinC=6， ∴解得sinC=， ∵C∈（0°，180°）， ∴C=45°或C=135° 故选：C． 由已知中在△ABC中，若a=4、b=6，其面积等于6，代入S=a•b•sinC可得sinC的值，进而根据特殊角的三角函数值，可得C的大小． 本题考查的知识点是三角形的面积公式，其中根据已知求出sinC的值，是解答的关键． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：P到直线的距离d==2，解得a=16或-4，则P（16，4）或（-4，4）， 又因为P在不等式3x+y＞3表示的平面区域内，所以P（16.4）， 故选：B． 根据点到直线的距离求出a的值，再根据所在区域进行取舍即可． 本题考查点到直线的距离，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为lga和lgb的等差中项是0，所以lga+lgb=0，即ab=1， a+b≥2=2，当且仅当a=b=1时等号成立， 故选：B． 由lga和lgb的等差中项是0，可得ab=1，利用基本不等式即可求得a+b的最小值． 本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设公比是q， 由题意得a1+a3+…+an-1=85， a2+a4+…+an=170， a1q+a​3q+…+an-1q=170， ‎ ‎∴（a1+a3+…+an-1）q=170， 解得q=2， an=2n-1， Sn==，（q≠1） 170+85=2n-1， 解得n=8． 故选：C． 由题意得a1+a3+…+an-1=85，a2+a4+…+an=170，由此利用等比数列的性质能求出这个数列的项数． 本题考查数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵ ∴Sn=+…+， = = = = = 故选：A． 由等差数列的通项公式可得an+1-an=d，可得，从而可得Sn=+…+，= 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，数列求和的裂项求和方法的应用，要注意本题裂项时要乘以是解题中容易漏掉的，这也是本题的解题关键与易错点． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有1个，为3的有2个，为4的有3个，按此规律，知出现在和为12那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故是分子分母和为12那一组的第5个数，因为和为12的是第11组，所以前10组共有个数，故是数列的第55+5=60个数，即第60项． 故选：C． 观察数列的排列特征，分析出数字排列规律，算出是第几项． 考查了归纳推理的数学思想，是基础题． 13.【答案】1   ‎ ‎【解析】解：∵Sn=n2-2n+2， 当n=1时可得，a1=s1=1， 当n≥2时，an=sn-sn-1=n2-2n+2-（n-1）2+2（n-1）-2=2n-3， 当n=1时不适合上式， ∴． 故答案为：1； 由Sn=n2-2n+2，n=1，a1=s1，当n≥2时，利用an=sn-sn-1可求． 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于基础试题 14.【答案】210 ‎ ‎【解析】解：∵S5=10，S10=50，∴S10-S5=40，S15-S10=S15-50， 又S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，所以402=10（S15-50）， 所以S15=210‎ ‎． 故答案为：210． 根据等比数列的性质可知S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，则S10-S5是S5和S15-S10的比例中项列出等式，把S5和S10的值代入即可求出前15项的和． 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题． 15.【答案】3027 ‎ ‎【解析】解：∵函数， ∴f（x）+f（1-x）==3， ∴=3×1009=3027． 故答案为：3027． 推导出f（x）+f（1-x）=3，由此能求出的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】[-3，0] ‎ ‎【解析】解：设z=x-y，则y=x-z， ∴z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示． 结合图形可知，当直线经过点B（1，1）时，z=x-y取得最大值0， 当直线经过点C（0，3）时，x-y取得最小值-3． ∴-3≤x-y≤0， 故答案为：[-3，0] 作出不等式组对应的平面区域，利用z=x-y的几何意义，利用平移即可得到z的取值范围． 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 17.【答案】解：（1）关于x的不等式ax 2+5x-2＞0的解集是 {x|＜x＜2}， 则+2=-，解得：a=-2； （2）由（1）a=-2， ax2-5x+a2-1＞0， 即（2x-1）（x+3）＜0， 解得：-3＜x＜， 故不等式的解集是{x|-3＜x＜}． ‎ ‎【解析】（1）根据韦达定理求出a的值即可； （2）代入a的值，解二次不等式，求出不等式的解集即可． 本题考查了韦达定理的应用，考查解一元二次不等式，是一道基础题． 18.【答案】解：（Ⅰ）∵B为​的内角，且cosB=，∴sinB=， ∵a=2，b=4， ∴由正弦定理得：sinA===； （Ⅱ）S△ABC=4=×‎2c×，∴c=5， ∴b= ​==． ‎ ‎【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；   ‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值． 19.【答案】（1）证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=34-2n，又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n， 故{an}的通项公式为an=34-2n， 所以an+1-an=34-2（n+1）-（34-2n）=-2， 故数列{an}是以32为首项，-2为公差的等差数列； （2）解：令an≥0得：34-2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前16项或前17项和最大， 此时S17=33×17-172=272． （3）解：当n≤17时，=a1+a2+…+an=32n+=33n-n2， 当n≥18时，=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an=2s17-sn=2（33×17-172）-（33n-n2）=n2-33n+544， ∴= ‎ ‎【解析】（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=34-2n，验证当n=1时，也满足，于是可求得{an}的通项公式为an=34-2n，利用等差数列的定义证明即可； （2）令an≥0可求得n≤17，从而可得答案． （3）分类讨论去掉绝对值，利用等差数列求和公式求得即可． 本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题． 20.【答案】解：∵x＞2，∴x-2＞0， ∴=x-2+≥=6， 当且仅当x-2=，即x=4时取等号， ∴f（x）min=6． ‎ ‎【解析】根据x＞2，可知x-2＞0，然后由=x-2+，利用基本不等式求出最小值． 本题考查了利用基本不等式求函数的最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题． 21.【答案】解：（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22 又a2+a5=a3+a4=22 ∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0 ∴a3=9，a4=13 ∴ ∴d=4，a1=1 ∴an=1+（n-1）×4=4n-3 （2）由（1）知， ∵ ∴，，， ∵{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴‎2c2+c=0， ∴（c=0舍去） ‎ ‎【解析】（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an​； （2）代入等差数列的前n和公式可求Sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c. 本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，以及构造法的运用，是一道综合性很好的试题． 22.【答案】解：（1）解∵点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=的图象上 ∴即 ‎ ‎∴ ∴ ∴{}是以为首项，以为公比的等比数列 ∴ ∴ （2）∵cn=（an-）n= ∴ …① ．② ①-②得 ∴ ‎ ‎【解析】（1）由已知代入可得，，利用an+1=Sn+1-Sn可得数列的项之间的关系，构造等比数列即可求解通项 （2）由（1）可求cn=（an-）n=，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用，而错位相减的求和方法是数列求和方法中非常重要的方法，要注意掌握 ‎