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文档介绍
中考数学初中数学最值问题 集锦三轮冲刺
2013中考总结复习冲刺练： “最值问题” 集锦 ●平面几何中的最值问题………………… 01 ●几何的定值与最值……………………… 07 ●最短路线问题…………………………… 14 ●对称问题………………………………… 18 ●巧作“对称点”妙解最值题…………… 22 ●数学最值题的常用解法………………… 26 ●求最值问题……………………………… 29 ●有理数的一题多解……………………… 34 ●4道经典题……………………………… 37 ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可． 解 作DE⊥AB于E，则 x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以 2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有 2x+2y+πx=8， 若窗户的最大面积为S，则 把①代入②有 即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大． 3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？ 分析与解 因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限 状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值． 设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线． 为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′， 使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°， 所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°， 所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B． 4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL． 证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN． 因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D， 所以 ∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°． 因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以 ∠1=∠2=45°，∠3=∠4， 所以 △ADN∽△BDM， 又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以 △MDN∽△BDA， 所以 ∠BAD=∠MND． 由于∠BAD=∠LCD，所以 ∠MND=∠LCD， 所以D，C，L，N四点共圆，所以 ∠ALK=∠NDC=45°． 同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为 △AKM≌△ADM， 所以 AK=AD=AL．而 而 从而 所以 S△ABC≥S△AKL． 5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB． 证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1． 因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°， 所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角． 若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB； 若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C． 同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°， 则 P1C≤BC=AB． 对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB． 6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)． 解 如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论． (1)若l与BC相交于D，则 所以 只有当l⊥BC时，取等号． (2)若l′与B′C相交于D′，则 所以 上式只有l′⊥B′C时，等号成立． 7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值． 解 设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而 即 AB≥2． 当AO=BO时，AB有最小值2．从而 所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为 ●几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′， DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小， 本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． ⌒ 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ） A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动 C．保持30°不变 D．保持60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断． 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值． 【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=，BC=(>)，P为AB边上的一动点， 直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值． 思路点拨 设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值． ⌒ 【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关． 思路点拨 即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为 △ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2， 从而我们的证明目标更加明确． 注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题． 【例5】 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值． 思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=，CZ=，建立，的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值． 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是： (1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值． 学力训练 1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ． 2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ． 3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于 ． 4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为( ) A．1 B． C． D． 5．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( ) A． B． C． D． 6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( ) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定 7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N． (1)求证：MN∥AB； (2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题) 8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角． 9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F． (1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF； (2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由． 10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( ) A．8 B．12 C． D．14 11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( ) A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度． 13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值． 14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大? 15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米． (1)设矩形的边AB=(米)，AM=(米)，用含的代数式表示为 ． (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元． ①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式． ②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由． ③ 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由． (镇江市中考题) 16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)． 参考答案 ●最短路线问题 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题． 在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段． 这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲． 在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法． 例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来． 解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线． 作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线． 证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′． ∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB， 而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段， 所以PA+PB是最短路线． 此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题． 例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？ 解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线． 证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线． 由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线． 例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）） 解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择． ①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理， D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5． ②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5． ③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有： D′B2＝22+（1+4）2=29． ④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29． ⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图）， D′B2=（2+4）2+12=37． ⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37． 比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度． 利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线． 圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题． 例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？ 解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路． 圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题． 例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线． 解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求． 例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？ 分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了． 解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O． 因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去． 延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25． 即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米． 例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短． 分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决． 解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB． 例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？ 解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA． 证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F→B→A是最短路线． ●对称问题 教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。 教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。 一、点关于一条直线的对称问题 问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？ 问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示） 知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。 中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。 轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是：过M作MO垂直于PQ于点O，并延长MO到点N，使NO=MO，则点N就是点M关于直线PQ的对称点。 问题分析：过A作AO垂直于直 线L于点O，延长AO到点A’，使A’O=AO，连接A’B，交直线L于点 C，则小明沿着ACB的路径就可以满 足小狗喝上水，同时又使回家的路 程最短。 问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。 问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两 点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值） 提示：作PC平行于AB，且PC==AB，则问题变为：在直线L 上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。 问题的延伸2：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 提示：分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点P1和P2，连接P1P2分别与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。 二、桥该建在哪里： 问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？ 问题数学化：在直线L1和直线L2之间作一条垂线段CD，使得BC+CD+DA最短。 知识介绍： 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。 另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我们想办法把线段AD平移到和线段BC共线的位置，于是变化为下面两图。 问题的总结与结论：一般来说，我们利用图形的对称性寻找到最近的位置，然后利用三角形和对称的性质去证明你所选取的位置是题目中所要求的位置即可。 问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线段B’A’，交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？ 三、对称问题的进一步延伸。 我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？ 1、直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C，使得：A、B到C的距离的差的绝对值最小。 2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质？ 等腰三角形、矩形、正多边形等。 四、如何平分土地： 问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右图所示），应该怎样平分呢？ 问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。 问题分析： 1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所在直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的对称中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。 2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示： 问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？ 问题的分析：（如右图所示） 直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，取线段BC的中点为P，则直线PS就是满足两个农民要求的分界线。 问题的证明：与中，三组内角对应相等，且RS=PS，则两个三角形全等，所以两个三角形的面积相等，于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。 思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？ 五、台球桌上的数学问题 问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称问题。台球从球桌的一个角出发，若沿着角将球打到对边，然后，球经过几次碰撞，最后到另外的三个角落之一。如果台球桌的长和宽之比为2:1，需要碰撞几次？如果台球桌的长和宽之比为3:2、4:3、5:2、5:3……情况又会怎样？ 知识介绍：此题类似于物理中光线的反射，当光线入射到平面镜上的时候，光线会被镜子反射。把反射光线和入射光线看成两条直线的话，那么入射角等于反射角。这在数学上就是轴对称。在台球桌（长方形），由于入射角是，所以反射角也是，这样入射线和反射线形成一个直角，相应的，在台球桌上就构成了一个等腰直角三角形，利用这一性质我们可以得到一些有趣的结论。 问题分析：我们分下面几种情况进行分析： （1）如果长宽比为2:1，如图，则1次就够了； （2）如果长宽比为3:2，如图，则要碰撞3次，可以到左下角； （3）如果长宽比为4:3，如图，则要碰撞5次，可以进洞； （4）如果长宽比为5:3和7:5，分别如下图所示，分别需要6和10次碰撞可以进洞。 问题的总结： 台球桌的长a 台球桌的宽b 碰撞的次数c 可能的关系 2 1 1 2+1－2=1 3 2 3 3+2－2=3 4 3 5 4+3－2=5 5 3 6 5+3－2=6 7 5 10 7+5－2=10 a b ? 问题的猜想：如果台球桌的长和宽之比为m:n（其中m、n互质的正整数），那么碰撞的次数是： ●巧作“对称点”妙解最值题 在初中平面几何尤其在初中数学竞赛题中，我们经常会碰到求两线段和的最大值或和最小值的问题，对这类题目大家感到无从下手，求解有一定的难度，但只要通过作“对称点”都可迎刃而解的，现举例说明如下： 例1 如图1，点A、B表示两个村庄，直线L表示一条公路，（村庄A、B在公路的同侧）现要在公路L上建造一个汽车站，使车站到A、B两个村庄的距离之和最短，问车站应建在何处？ 解 作A点于L的对称点，连结B交L于C，则点C就是所建车站的位置。 证明 在直线L上另取一点连结AC，A，，，因为直线L是点A、的对称轴，点C在对称轴上，所以AC=A，A=， 所以AC+CB= A+CB=B， 在△中， 因为B<+， 所以AC+CB查看更多