高考模拟试卷江西汇编——压轴题

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高考模拟试卷江西汇编——压轴题

‎1.(江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟考试(理科))‎ ‎22.(本小题满分14分) ‎ ‎ 已知数列中,,.‎ ‎ (1)求;‎ ‎ (2)求 的通项公式;‎ ‎ (3)设Sn为数列的前n项和,证明:.‎ ‎22.【解析】: ‎ ‎1)由,得:…2分 ‎2)由(1)可归纳猜想:……………………3分,‎ ‎ 现用数学归纳法证明:‎ ‎ ①当n=1时,显然成立;‎ ‎ ②假设n=k(k∈N*)时成立,即,则:‎ ‎ n=k+1时:;‎ ‎ 所以,n=k+1时,猜想也成立。‎ ‎ 故:由①②可知,对任意n∈N*,猜想均成立。……………………………………8分;‎ ‎3)证明:设f(x)=x-sinx ,则f`(x)=1-cosx≥0,‎ ‎ ∴f(x)=x-sinx在上是增函数. ∴f(x)≥f(0)=0,即sinx≤x .‎ ‎ 又∵,∴,‎ ‎ ∴…………14分。‎ ‎2.(江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考理数)‎ ‎22.(本题满分14分)‎ 数列满足,.‎ ‎(1)求通项公式;‎ ‎(2)令,数列前项和为,‎ 求证:当时,;‎ ‎(3)证明:.‎ ‎22.【解析】(1),两边同除以得:‎ ‎∴‎ ‎∴是首项为,公比的等比数列………………4分 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2),当时,,………………5分 两边平方得:‎ ‎……‎ 相加得:‎ 又 ‎∴…………………………………………9分 ‎(3)(数学归纳法)‎ 当时,显然成立 当时,证明加强的不等式 假设当时命题成立,即 则当时 ‎∴当时命题成立,故原不等式成立……………………14分 ‎3.(江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文数)‎ ‎22.已知数列中,,对于任意的,有 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足:求数列的通项公式;‎ ‎(3)设,是否存在实数,当时,恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(1)取p=n,q=1,则    …………(2分)‎ ‎∴()‎ ‎∴是公差为2,首项为2的等差数列 ‎∴       …………(4分)‎ ‎(2)∵ ①‎ ‎∴  ②‎ ‎①-②得:     …………(5分)‎ ‎    …………(6分)‎ 当时, ∴满足上式    …………(7分)‎ ‎∴       …………(8分)‎ ‎(3)        ‎ 假设存在,使 ‎       …………(9分)‎ 当为正偶函数时,恒成立 当时 ‎∴        …………(11分)‎ 当为正奇数时,恒成立 ‎∴‎ 当时 ‎∴        …………(13分)‎ 综上,存在实数,且    …………(14分)‎ ‎4.(江西师大附中2010届高三上学期数学(理科)期中试卷)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知数列的前n项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列满足:,且 求证:;‎ ‎(3)求证:.‎ ‎22.解:(1)当时,,‎ ‎,可得:,‎ ‎.‎ 可得,‎ ‎(2)当时,,不等式成立.‎ 假设当时,不等式成立,即那么,当时,‎ 所以当时,不等式也成立.‎ 根据(),()可知,当时,‎ ‎(3)设 在上单调递减,‎ ‎∵当时,‎ ‎,‎ ‎5.(江西师大附中2010届高三上学期数学(文科)期中试卷)‎ ‎22.(本小题满分14分)设函数满足,且对任意,都有=‎ ‎。‎ (1) 求得解析式 (2) 若数列,且,求数列通项公式;‎ (3) 设数列的前项和为,求证:‎ ‎22.解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 两式想减得:‎ ‎ ‎ ‎6.(江西省南昌一中、南昌十中2009—2010学年度高三11月联考(数学理)‎ ‎22.已知各项均不为零的数列的前项和为 ‎ 且,其中 ① 求数列的通项公式 ② 求证:对任意的正整数,不等式都成立 ‎22.【解析】:时,由及得 ‎ 当时,得 ‎ ‎ ‎ 因为,所以 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②由①知,不等式 只需证即 令 ‎ 在上恒正,所以在上单调递增,当时,恒有 即原不等式得证 ‎7.(南昌三中高三第三次月考理科数学试卷)‎ ‎22.(本小题满14分)‎ 已知函数有两个极值点 ‎(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:. ‎ ‎22. 【解析】:‎ ‎ (Ⅰ)由题设知,函数的定义域是,‎ ‎ ,‎ ‎ 且有两个不同的根,故的判别式 ‎ ‎ 即 且 ①又故 ‎ 因此的取值范围是.‎ ‎ 当变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎()‎ ‎()‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此在区间和()是增函数,在区间是减函数.‎ ‎(Ⅱ)由题设和①知 ‎ 于是 ‎ ‎ 设函数 , 则 ‎ 当时, 当时,0,故在区间是增函数.‎ ‎ 于是,当时,‎ ‎ 因此 ‎8.(2010届鹰潭市高三第一次模拟考试(文)数学试题)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎(文科)在数列 ‎(1)求证:数列为等差数列;‎ ‎(2)若m为正整数,当 解:(I)由变形得:‎ 故数列是以为首项,1为公差的等差数列 (5分)‎ ‎ (II)(法一)由(I)得 ‎(7分)‎ 令 当 又 则为递减数列。‎ 当m=n时,‎ 递减数列。 (9分)‎ 要证:时,‎ 故原不等式成立。 (14分)‎ ‎(法二)由(I)得 ‎ (7分)‎ 令 上单调递减。(9分)‎ 也即证,‎ 故原不等式成立。 (14分)‎ ‎9.(2010届鹰潭市高三第一次模拟考试(理)数学试题)‎ ‎(理科)已知数列中,,当时,其前项和满足,‎ (1) 求的表达式及的值;‎ (2) 求数列的通项公式;‎ (3) 设,求证:当且时,。‎ 解:(1)‎ 所以是等差数列。则。。‎ ‎(2)当时,,综上,。‎ ‎(3)令,当时,有 (1)‎ 法1:等价于求证。‎ 当时,令 ‎,则在递增。‎ 又,所以即。‎ 法(2)‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ 因 所以 由(1)(3)(4)知。‎ 法3:令,则 所以 因则 ‎ 所以 (5) ‎ 由(1)(2)(5)知 ‎10.(江西省重点中学协作体2010届高三第三次联考(数学文理))‎ ‎22. 双曲线的离心率,是左,右焦点,过作 轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点,直线F1P与右准线交于Q点,已知 ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)设过的直线MN分别与左支,右支交于M、N ,线段MN的垂线平分线与轴交于点,若,求的取值范围。‎ ‎22.【解析】:(1) ,,,P ‎ ‎ ‎ ,设Q ‎ 三点共线 ‎ ‎ 得 ‎ ‎(2)设MN:代入 得:‎ ‎ ‎ ‎ 设M,N ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 在 上单调递增 ‎ 得 ‎ ‎11.(抚州一中2010届高三第二次同步考试 理科数学)‎ ‎22.已知数列,{)在直线上, ‎ ‎(1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)求证:(其中e为自然对数的底数);‎ ‎(3)记 ‎ 求证: ‎ ‎22.(I)【解析】:由题意, ‎ ‎ 为首项,为公比的等比数列。 ‎ ‎ 证明:‎ ‎ 构造辅助函数 ‎ ∵,单调递减,‎ ‎ ∴,即 令 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (III)证明:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时,‎ ‎ ‎ ‎ (当且仅当n=1时取等号)。 ‎ 另一方面,当时,‎ ‎.c.o.‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ (当且仅当时取等号)。‎ ‎ (当且仅当时取等号)。‎ ‎ 综上所述,有 ‎ ‎12.(抚州一中2010届高三第二次同步考试 文科数学)‎ ‎22.已知数列是首项为,公差为的等差数列,是首项为,公比为的等比数列,且满足,其中.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若数列与数列有公共项,将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列,求数列的通项公式;‎ ‎(3)记(2)中数列的前项之和为,求证:‎ ‎.‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)由题设. ‎ ‎ 由已知,所以.又b>0,所以a<3. ‎ ‎ 因为,则.又a>0,所以b>2,从而有. 因为,故. ‎ ‎(Ⅱ)设,即. ‎ 因为,则,所以.因为,且b∈N*,所以,即,且b=3.故. ‎ ‎(Ⅲ)由题设,. 当时,,当且仅当时等号成立,所以.于是. ‎ 因为S1=3,S2=9,S3=21,则 ‎. ‎ ‎13.(江西省八校2010届高三下学期联考试卷(数学理))‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 设数列,满足,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)对一切,证明成立;‎ ‎(3)记数列,的前项和分别为、,证明:.‎ ‎22【解析】‎ ‎(1)解:∵   ∴ ‎ ‎∴数列是以为首项,以为公比的等比数列 (2分)‎ ‎∴     ‎ ‎∴ (4分)‎ ‎(2)证明:‎ ‎    ‎ 构造函数 ( ‎ ‎    , (7分)‎ ‎∴在内为减函数,则 ‎ ‎∴ (‎ ‎∴,∴对一切,都成立 (9分)‎ ‎(3)证明:∵‎ ‎∵‎ 由(2)可知 ‎ ‎∴‎ ‎ (12分)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ (14分)‎ ‎14.(江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考理科数学试卷)‎ ‎22. 对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列 ‎.‎ 对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;‎ 又定义.‎ 设是每项均为正整数的有穷数列,令.‎ ‎(1)如果数列为5,3,2,写出数列;‎ ‎(2)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;‎ ‎(3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.‎ ‎【解析】:(1)解:,,;‎ ‎,.‎ ‎(2)证明:设每项均是正整数的有穷数列为,‎ 则为,,,,,从而 ‎.‎ 又,‎ 所以 ‎,故.‎ ‎(3)证明:设是每项均为非负整数的数列.‎ 当存在,使得时,交换数列的第项与第项得到数列,‎ 则.‎ 当存在,使得时,若记数列为,‎ 则.所以.‎ 从而对于任意给定的数列,由 可知.‎ 又由(Ⅱ)可知,所以.‎ 即对于,要么有,要么有.‎ 因为是大于2的整数,所以经过有限步后,必有.‎ 即存在正整数,当时,.‎ ‎15.(江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考文科数学试卷)‎ ‎22. 已知函数,函数其中一个零点为5,数列满足,且.‎ ‎(1)求数列通项公式;‎ ‎(2)试证明;‎ ‎(3)设,试探究数列是否存在最大项和最小项?若存在求出最大项和最小项,若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】:(1)解:函数有一个零点为5,即方程,有一个根为5,将代入方程得,∴,∴ ‎ 由得 ‎∴或 ‎ 由(1)知,∴不合舍去 由得 方法1:由得 ‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列 ‎∴,∴ ‎ ‎〔方法2:由---①得当时----②‎ ‎①-②得 ‎∴()即数列是首项为,公比为的等比数列 ‎∵,∴---------------③‎ 由①得代入③整理得〕‎ ‎(2)由(1)知 ‎ ‎∴= ‎ ‎∵对有,∴‎ ‎∴,即 ‎ ‎(3)由得 ‎∴=‎ 令,则,=‎ ‎∵函数在上为增函数,在上为减函数 当时,当时,当时,,当时,‎ ‎∵,且 ‎∴当时,有最小值,即数列有最小项,最小项为 ‎ ‎ 当即时,有最大值,即数列有最大项,最大项为.‎ ‎16.(江西省崇义中学2010届高三第一次月考(数学理))‎ ‎22.设函数,函数,其中为常数且,令函数。(1)求函数的表达式,并求其定义域;(2)当时,求函数的值域;(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由。‎ ‎22.【解析】:(1),其定义域为;‎ ‎(2)令,则且 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵在上递减,在上递增,‎ ‎∴在上递增,即此时的值域为 ‎(3)令,则且 ‎∴‎ ‎∵在上递减,在上递增,‎ ‎∴在上递增,上递减,时的最大值为,‎ ‎∴,又时 ‎∴由的值域恰为,由,解得:或 即的值域恰为时, ‎ 所求的的集合为www.jb1000.com www.jb1000.com 教学资源网 教学资源网 ‎17.(江西省赣州十一县(市)2010届下学期高三期中联考(数学理))‎ ‎22、(本小题满分14分) 已知数列是首项为,公差为的等差数列,是首项为,公比为的等比数列,且满足,其中.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若数列与数列有公共项,将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列,求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列的前n项之和为,求证:‎ ‎.‎ ‎22【解析】:(1)由题设. 1分 由已知,所以.又b>0,所以a<3. ‎ 因为,则.又a>0,所以b>2,从而有. ‎ 因为,故. 4分 ‎ ‎(2)设,即. ‎ 因为,则,所以. www.ks¥5……u.com 因为,且b∈N*,所以,即,且b=3. ‎ 故. 8分 ‎(3)由题设,. ‎ 当时,‎ ‎,当且仅当时等号成立,所以       10分 于是.12分 因为S1=3,S2=9,S3=21,则 ‎. 14分 ‎18.(江西省赣州十一县(市)2010届下学期高三期中联考(数学文))‎ ‎22. 如图,已知:及点,在上任取一点,连并作的中垂线,设与直线交于点,若点取遍⊙上的点.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线交于两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎22.【解析】:(1) ∵是线段A的中垂线,∴,‎ ‎∴||PA|-|P||=||P|-|P||=||=.‎ 即点P在以、A为焦点,以4为焦距,以为实轴长的双曲线上,‎ 故轨迹C的方程为. ………6分 ‎ ‎ (2)设,,则直线的方程为,则由,得 ‎ ,.由,得.‎ ‎∴,,.‎ 由,,,消去,得.‎ ‎∵,函数在上单调递增.‎ ‎∴,,所以 或.‎ 故直线的斜率的取值范围为. ………14分 ‎ www.ks5u.com www.ks5u.com ‎19.(江西省九江市2010届高考数学模拟试卷(文、理))‎ ‎22.(本小题满分14分)(理)已知数列中,。若是函数的一个极值点。‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求证:对于任意正整数,都有;‎ ‎(3)若,证明:。‎ ‎22.【解析】:(1),所以。‎ 整理得:。‎ 当时,是常数列,得;‎ 当时,是以为首项,为公比的等比数列,所以 方法一:由上式得,即 ‎,所以。‎ 又,当时上式仍然成立,故。‎ 方法二:由上式得:,所以是常数列,,。又,当时上式仍然成立,故。‎ ‎(2)。因为,所以,即。从而,,于是 ‎(3)且,所以 因为,‎ 所以,从而原命题得证。‎ ‎20.(江西省九江市六校2010届高三第二次联考数学理)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知数列的前n项和为,且 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列满足:,且,求证:;‎ ‎(3)求证:。‎ ‎22、【解析】:(1)当时,,‎ ‎ ,可得:,‎ ‎.‎ 可得,……………………….4分 ‎ (2)当时,,不等式成立. ‎ ‎ 假设当时,不等式成立,即那么,当时,‎ ‎ ‎ ‎ 所以当时,不等式也成立。‎ ‎ 根据(),()可知,当时,……………………….9分 ‎ (3)设 ‎ 在上单调递减,‎ ‎ ∵当时,‎ ‎ ,‎ ‎………………………14分 ‎21.(九江市六校联考第一次考试(理数))‎ ‎22.(本题满分14分)‎ ‎(理)已知,其中 ‎(1)若,求的极值;‎ ‎(2)求证:在(1)的条件下,;‎ ‎(3)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,请说 ‎ 明理由.‎ ‎22.(理)【解析】(1)∵,‎ ‎ ∴当,此时单调递减,‎ 当-1<x<0时,此时单调递增,‎ ‎∴的极小值为. …………4分 ‎(2)∵的极小值即在[-e,0)上的最小值为1,‎ ‎∴||min=1,‎ 令+, ‎ 又=,‎ ‎∴当,且在处连续 ‎∴在[-e,0)上单调递减,‎ ‎∴ ‎ ‎∴当[-e,0) 时, …………8分 ‎ ‎(3)假设存在实数 ‎ ‎①当≥时, 由于(-e,0), 则 ‎∴函数的增函数 ‎∴ ‎ ‎②当<时, 则当-e<<时,= 此时是减函数,‎ 当时,= 此时 是增函数,‎ ‎∴‎ 由①、②知,存在实数,使得当 [-e,0],时有最小值3…………14分 ‎22.(九江市六校联考第一次考试(文数))‎ ‎22.(本题满分14分)‎ ‎(文)设为奇函数,且 ‎(1)试求的反函数的解析式及的定义域;‎ ‎(2)设,是否存在实数,使得对于任意的,‎ 恒成立,如果存在,求实数的取值范围. 如果不存在,请说明理由.‎ ‎22.【解析】(文)(1)因为为奇函数,且所以,得, …………6分 ‎(2)假设存在满足条件的实数。‎ 因为,所以 ‎ 由得,所以,‎ 所以当时,恒成立 …………10分 即,又 所以的取值范围是 …………14分 ‎23.(江西省九江一中2010届高三上学期第二次月考理数)‎ ‎22.(本小题满分14分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小值;‎ ‎(Ⅱ)求证:;-‎ ‎(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设函数,,与是否存在“分界线”?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22. (Ⅰ)解:因为,令,解得,‎ 令,解得,‎ 所以函数在上递减,上递增,‎ 所以的最小值为. ‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知函数在取得最小值,所以,即 两端同时乘以得,把换成得,当且仅当时等号成立.‎ 由得,,, ,…‎ ‎ ,.‎ 将上式相乘得 ‎. ‎ ‎(Ⅲ)设.‎ ‎ 则.‎ ‎ 所以当时,;当时,.‎ 因此时取得最小值0,则与的图象在处有公共点.‎ 设与存在 “分界线”,方程为.‎ 由在恒成立,‎ 则在恒成立.‎ 所以成立.因此.‎ 下面证明成立.‎ ‎ 设,.‎ ‎ 所以当时,;当时,.‎ ‎ 因此时取得最大值0,则成立.‎ 所以,. ‎ ‎24.(江西省九江一中2010届高三上学期第三次月考理数)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知数列的首项为,前项和为,且对任意的,当时,总是与的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,是数列的前项和,,求;‎ ‎(3)设,是数列的前项和,,试证明:.‎ ‎22、【解析】:(1)依题意,对任意的,当时,有,‎ ‎,,‎ ‎∴.‎ 又,∴,∴,∴,‎ ‎∴数列是首项为2,公比为的等比数列,‎ ‎∴数列的通项公式为 ‎(2)由(1)知,,‎ 则 ①‎ ‎∴ ②‎ ‎①-②,得 ‎,‎ ‎∴.‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴‎ ‎. 即得证.‎ ‎25.(江西省六校2010届高三下学期联考(数学理))‎ ‎22、(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,对一切n∈N*, 点(n, )都在函数f(x)=x+的图象上。‎ ‎(1)求a1, a2, a3的值,猜想an的表达式,并证明你的猜想。‎ ‎(2)设An为数列{}的前n项积,是否存在实数a,使得不等式An对一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由。‎ ‎22.【解析】(1)∵点(n, )都在函数f(x)=x+的图象上,故=n+. ‎ ‎∴Sn=n2+an, 令n=1得a1=1+a1, ∴a1=2‎ 令n=2得a1+a2=4+a2, ∴a2=4‎ 令n=3得a1+a2+a3=9+a3, ∴a3=6‎ 由此猜想:an=2n (n∈N*), ……………………2分 下面用数字归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,由上面的求解知,猜想成立。 ……………………3分 ‎②假设n=k时猜想成立,即ak=2k成立,‎ 那么,当n=k+1时,由条件知,Sk=k2+ak,Sk+1=(k+1)2+ak+1, ‎ 两式相减,得ak+1=2k+1+ak+1-ak,‎ ‎∴ak+1=4k+2-ak=4k+2―2k=2(k+1)‎ 即当n=k+1时,猜想成立。‎ 根据①、②知,对一切n∈N*,an=2n成立。 ……………………6分 ‎(2)∵=1-, 故An=(1―)(1―)…(1―),‎ ‎∴An=(1―)(1―)…(1―)‎ 又f(a)-=a+-=a-‎ 故An<f(a)-对一切n∈N*都成立,就是 ‎(1―)(1―)…(1―)·<a-对一切n∈N*都成立. ………8分 设g(n)=(1―)(1―)…(1―),则只需g(n)max<a-即可。‎ ‎ ……………………9分 由于=(1-)·=·‎ ‎=<1‎ ‎∴g(n+1)<g(n), 故g(n)是单调递减,‎ 于是g(n)max=g(1)=, ………………………………12分 由<a-得>0解得-<a<0或a>.‎ 综上所述,使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在,且a的取值范围为(-, 0)∪(, +∞). …………………………14分 ‎26.(江西省南昌大学附属中学2010届高三第五次月考数学(理)试题)‎ ‎22.(本小题满14分)‎ 已知函数有两个极值点 ‎(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:. ‎ ‎22. 【解析】‎ ‎ (Ⅰ)由题设知,函数的定义域是,‎ ‎ ,‎ ‎ 且有两个不同的根,故的判别式 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 且 ①‎ ‎ 又故 ‎ 因此的取值范围是.‎ ‎ 当变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎()‎ ‎()‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此在区间和()是增函数,在区间是减函数.‎ ‎(Ⅱ)由题设和①知 ‎ ‎ ‎ 于是 ‎ ‎ 设函数 ,‎ ‎ 则 ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当时,0,故在区间是增函数.‎ ‎ 于是,当时,‎ ‎ ‎ ‎ 因此 ‎ ‎27.(江西省重点中学协作体2010届高三年级第二次联考 数学文)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 如图,已知抛物线:过点F(1,0)作两条互相垂直的弦,AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N。‎ ‎ (1)线段MN是否恒过一个定点?如果经过点,试求出它的坐标,如果不经过定点,试说明理由;‎ ‎ (2)求分别以弦AB,CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程,并说明它表示怎样的曲线。‎ ‎22.【解析】方程为:并整理得:‎ 设则有:‎ 所以点 …………3分 将t换成,即得:‎ 由两点式得直线MN的方程为:‎ ‎ …………5分 当y=0时,x=3,所以直线MN恒过定点T(3,0)。 …………6分 ‎ (2)以弦AB为直径的圆M的方程为:‎ ‎① …………9分 又将t换成,即得经弦CD为直径的圆N的方程为:‎ ‎②‎ ‎①—②得两圆公共弦所在直线方程为:③ …………11分 又直线MN的方程为:④ …………12分 联解③④,消去t,得两圆公共弦中点的轨迹方程为:‎ ‎,‎ 其轨迹方程是以OT为直径且过点T(3,0)的圆。 …………14分 ‎28.(江西省新余一中、宜春中学2010届高三11月联考(数学理))‎ ‎22、(14分)已知在数列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0,x=是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1 (n≥2)的一个极值点 ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式 ‎(Ⅱ)当时,令,数列前项的和为,‎ ‎ 求证:‎ ‎(Ⅲ)设,数列前项的和为,求同时满足下列两个条件的的值:(1) (2)对于任意的,均存在,‎ 当时,‎ ‎22、【解析】(Ⅰ)由题意得:f′()=0 即3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0‎ ‎ 故an+1-an=t(an-an-1)(n≥2)‎ ‎ 则当t≠1时,数列{an+1-an}是以t2-t为首项 ‎ t为公比的等比数列 ‎ ∴an+1-an=(t2-t)tn-1‎ ‎ 由an+1-an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) ‎ ‎ =t+(t2-t)[1+t+t2+…+tn-2]‎ ‎ =t+(t2-t)· =tn 此式对t=1也成立 ‎∴an=tn (n∈N)………………………………………4分 ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ) (1)当 时,由Ⅱ得 ‎ ‎ ‎ 取,当时,‎ ‎ (2)当时,,所以 ‎ ‎ ‎ 取因为,不存在,使得当时,‎ ‎ (3)当时,,‎ ‎ ,由(1)可知存在,当时 ‎ ,故存在,当时,‎ ‎ ‎ ‎ 综上,‎
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