高考数学全国卷1

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高考数学全国卷1

‎2013年高考理科数学试题解析(课标Ⅰ)‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合,则 ( )‎ A.A∩B=Æ B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B ‎2.若复数满足,则的虚部为 ( )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )‎ A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 ‎4.已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎5.运行如下程序框图,如果输入的,则输出s属于 A. B. C. D.‎ ‎6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高‎8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为‎6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设等差数列的前项和为,则 ( )‎ A.3 B‎.‎‎4 ‎ C.5 D.6‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎9.设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则 ( )‎ A.5 B‎.‎‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎10.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为,则的方程为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数,若||≥,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎12.设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 ‎ C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ‎ 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。‎ ‎13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.‎ ‎14.若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎15.设当时,函数取得最大值,则______‎ ‎16.若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是______.‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ ‎(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱ABC-A1B‎1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.‎ ‎(Ⅰ)证明AB⊥A‎1C;‎ ‎(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A‎1C 与平面BB‎1C1C所成角的正弦值。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。‎ ‎20.(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. ‎ ‎21.(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 ‎(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。 ‎ ‎(Ⅰ)证明:DB=DC;‎ ‎ (Ⅱ)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径。‎ ‎23.(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为。‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;‎ ‎(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.【解析】A=(-,0)∪(2,+), ∴A∪B=R,故选B.‎ ‎2.【解析】由题知===,故z的虚部为,故选D.‎ ‎3.【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C.‎ ‎4.【解析】由题知,,即==,∴=,∴=,∴的渐近线方程为,故选.‎ ‎5.【解析】有题意知,当时,,当时,,‎ ‎∴输出s属于[-3,4],故选.‎ ‎6.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则,解得R=5,∴球的体积为,故选A.‎ ‎7.【解析】有题意知==0,∴=-=-(-)=-2,‎ ‎= -=3,∴公差=-=1,∴3==-,∴=5,故选C.‎ ‎8.【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为 =,故选.‎ ‎9.【解析】由题知=,=,∴13=7,即=,‎ 解得=6,故选B.‎ ‎10.【解析】设,则=2,=-2,‎ ‎ ① ②‎ ‎①-②得,‎ ‎∴===,又==,∴=,又9==,解得=9,=18,∴椭圆方程为,故选D.‎ ‎11.【解析】∵||=,∴由||≥得,且,‎ 由可得,则≥-2,排除A,B,‎ 当=1时,易证对恒成立,故=1不适合,排除C,故选D.‎ ‎12.B ‎13.【解析】=====0,解得=.‎ ‎14.【解析】当=1时,==,解得=1,‎ 当≥2时,==-()=,即=,‎ ‎∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.‎ ‎15.【解析】∵==‎ 令=,,则==,‎ 当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.‎ ‎16.【解析】由图像关于直线=-2对称,则 ‎0==,‎ ‎0==,解得=8,=15,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==‎ ‎=‎ 当∈(-∞,)∪(-2, )时,>0,‎ 当∈(,-2)∪(,+∞)时,<0,‎ ‎∴在(-∞,)单调递增,在(,-2)单调递减,在(-2,)单调递增,在(,+∞)单调递减,故当=和=时取极大值,==16.‎ ‎17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;‎ ‎(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,‎ ‎∴=,∴=.‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,‎ ‎∵AB=,=,∴是正三角形,‎ ‎∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面, ‎ ‎∴AB⊥; ……6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,‎ 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,‎ ‎∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,‎ 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), ……9分 设=是平面的法向量,‎ 则,即,可取=(,1,-1),‎ ‎∴=,‎ ‎∴直线A‎1C 与平面BB‎1C1C所成角的正弦值为. ……12分 ‎19.【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分 ‎(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分 ‎20.【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为(,),半径为R.‎ ‎(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.‎ ‎(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时,其方程为,‎ 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.‎ 当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.‎ 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,‎ 综上,|AB|=或|AB|=.‎ ‎21.【解析】(Ⅰ)由已知得,‎ 而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,‎ 设函数==(),‎ ‎==,‎ 有题设可得≥0,即,‎ 令=0得,=,=-2,‎ ‎(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(2)若,则=,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(3)若,则==<0,‎ ‎∴当≥-2时,≤不可能恒成立,‎ 综上所述,的取值范围为[1,].‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G.‎ 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,‎ 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.‎ 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=,∠ABE=∠BCE=∠CBE=,‎ ‎∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于.‎ ‎23. 【解析】将消去参数,化为普通方程,‎ 即:,将代入得,‎ ‎,‎ ‎∴的极坐标方程为;‎ ‎(Ⅱ)的普通方程为,‎ 由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.‎ ‎24.【解析】当=-2时,不等式<化为,‎ 设函数=,=,‎ 其图像如图所示 从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.‎ ‎(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,‎ ‎∴对∈[,)都成立,故,即≤,‎ ‎∴的取值范围为(-1,].‎
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