高二数学人教a必修5练习：3-3-2简单的线性规划问题word版含解析

高二数学人教a必修5练习：3-3-2简单的线性规划问题word版含解析

课时训练 18 简单的线性规划问题 一、求线性目标函数的最值 1.(2015 广东湛江高二期末,10)若实数 x,y 满足 - + 1 ≥ 0 , + ≥ 0 , ≤ 0 , 若 z=x+2y,则 z 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:作出不等式组对应的平面区域, 由 z=x+2y,得 y=- 1 2 x+ 2 ,平移直线 y=- 1 2 x+ 2 , 由图象可知当直线经过点 A(0,1)时,直线 y=- 1 2 x+ 2 的截距最大,此时 z 最大,代入目标函数得 z=2. 故选 B. 2.(2015 河南郑州高二期末,7)设变量 x,y 满足约束条件 + ≥ 3 , - ≥ - 1 , 2 - ≤ 3 , 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.23 答案:B 解析:画出不等式 + ≥ 3 , - ≥ - 1 , 2 - ≤ 3 表示的可行域,如图, 让目标函数表示直线 y=- 2 3 + 3 在可行域上平移,知在点 B 处目标函数取到最小值,解方程组 + = 3 , 2 - = 3 , 得(2,1). 所以 zmin=4+3=7.故选 B. 3.设变量 x,y 满足约束条件 ≥ , + 2 ≤ 2 , ≥ - 2 , 则 z=x-3y 的最小值为 . 答案:-8 解析:作出可行域如图阴影部分所示. 可知当 x-3y=z 经过点 A(-2,2)时,z 有最小值,此时 z 的最小值为-2-3×2=-8. 二、求非线性目标函数的最值 4.若实数 x,y 满足 - + 1 ≤ 0 , > 0 , 则 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 答案:C 解析:实数 x,y 满足 - + 1 ≤ 0 , > 0 的相关区域如图中的阴影部分所示. 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知, 的取值范围为(1,+∞). 5.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 2 + 3 - 6 ≤ 0 , + - 2 ≥ 0 , ≥ 0 所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值 是 . 答案: 2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示. 由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin=|- 2 | 2 = 2 . 三、求线性规划中的参数 6.x,y 满足约束条件 + - 2 ≤ 0 , - 2 - 2 ≤ 0 , 2 - + 2 ≥ 0 , 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数 a 的值为( ) A. 1 2 或 1 B.2 或 1 2C.2 或 1 D.2 或-1 答案:D 解析:作出可行域,如图中阴影部分所示. 由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优 解不唯一,则 a=2,当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1. 7.(2015 山东潍坊四县联考,15)已知 a>0,x,y 满足 ≥ 1 , + ≤ 3 , ≥ ( - 3 ), 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= . 答案: 1 2 解析:因为 a>0,作出不等式组 ≥ 1 , + ≤ 3 , ≥ ( - 3 ) 表示的平面区域, 得到如图的 △ ABC 及其内部,其中 A(1,2),B(1,-2a),C(3,0). 由 z=2x+y 得 y=-2x+z, 将直线 y=-2x 进行平移,可得当经过点 B 时,目标函数 z 达到最小值,此时 z=1,即 2-2a=1,解得 a= 1 2 . 8.当实数 x,y 满足 + 2 - 4 ≤ 0 , - - 1 ≤ 0 , ≥ 1 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 答案: 1 , 3 2解析:画出可行域,如图中阴影部分所示, 设目标函数 z=ax+y,则 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立, 则 a>0,数形结合知满足 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4 , 1 ≤ ≤ 4 , 1 ≤ + 3 2 ≤ 4 即可, 解得 1≤a≤ 3 2 ,所以 a 的取值范围是 1 , 3 2 . 四、线性规划中的实际应用 9.(2015 河南南阳高二期中,20)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从 A 地出发到相距 300 km 的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从 B 地出发到相距 50 km 的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是 x,y 小时.如果已知 所需的经费 p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么 v1,v2 分别是多少时走的最经济,此时花费多少元? 解:由题意得,x= 300 1 ,y= 50 2 , ∵30≤v1≤100,4≤v2≤20, ∴3≤x≤10, 5 2 ≤y≤ 25 2 . 由题设中的限制条件得 9≤x+y≤14, 于是得约束条件 9 ≤ + ≤ 14 , 3 ≤ ≤ 10 , 5 2 ≤ ≤ 25 2 , 目标函数 p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图), 设 z=3x+2y,当 y=- 3 2 x+ 2 平移到过(10,4)点时在 y 轴上的截距最大, 此时 p 最小. 所以当 x=10,y=4,即 v1=30,v2=12.5 时,pmin=93 元. (建议用时:30 分钟) 1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数 多个,则 m 的值为( ) A.- 7 20 B. 7 20 C. 1 2 D. 7 20 或 1 2答案:B 解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则 22 5 = - + , 3 = - 5 + , 解得 m= 7 20 . 2.设变量 x,y 满足约束条件 3 + - 6 ≥ 0 , - - 2 ≤ 0 , - 3 ≤ 0 , 则目标函数 z=y-2x 的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 答案:A 解析:作约束条件 3 + - 6 ≥ 0 , - - 2 ≤ 0 , - 3 ≤ 0 所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为 y=2x+z,z 表示直线在 y 轴 上的截距,截距越大 z 越大,作直线 l0:y=2x,平移 l0,当 l0 过点 A(5,3)时,z 取最小值,且为-7,选 A. 3.若 A 为不等式组 ≤ 0 , ≥ 0 , - ≤ 2 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的 那部分区域的面积为( ) A. 3 4 B.1 C. 7 4 D.2 答案:C 解析:如图所示,区域 A 表示的平面区域为 △ OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连续变化到 1 时 扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域. S 四边形 ODEC=S △ OBC-S △ BDE=2- 1 4 = 7 4 . 4.如果点 P 在平面区域 2 - + 2 ≥ 0 , - 2 + 1 ≤ 0 , + - 2 ≤ 0 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值为( ) A. 5 -1 B. 4 5 -1 C.2 2 -1 D. 2 -1 答案:A 解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点 P 到点 Q 的最小距离为点(-1,0)到点 (0,-2)的距离减去半径 1,|PQ|min= 1 2 + 2 2 -1= 5 -1. 5.已知 x,y 满足条件 ≥ 0 , ≤ , 2 + + ≤ 0 (k 为常数),若目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( ) A.-16 B.-6 C.- 8 3 D.6 答案:B 解析:由 z=x+3y 得 y=- 1 3 x+ 3 . 先作出 ≥ 0 , ≤ 的图象, 因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2),代入直线 2x+y+k=0,得 k=-6,选 B. 6.若变量 x,y 满足约束条件 ≤ 1 , + ≥ 0 , - - 2 ≤ 0 , 则 z=x-2y 的最大值为 . 答案:3 解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由 z=x-2y,得 y= 2 2 ,当直线 y= 2 2 在 y 轴上的截距最 小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点 A 时,在 y 轴上的截距最小, 由 + = 0 , - - 2 = 0 ,解得 A(1,-1). 所以 zmax=1-2×(-1)=3. 7.记不等式组 ≥ 0 , + 3 ≥ 4 , 3 + ≤ 4 所表示的平面区域为 D,若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围 是 . 答案: 1 2 , 4解析:作出如图所示的可行域,且 A(0,4),B(1,1). 又∵直线 y=a(x+1)过点 C(-1,0),而 kBC= 1 2 ,kAC=4. 从而直线 y=a(x+1)与 D 有公共点时,a∈ 1 2 , 4 . 8.已知变量 x,y 满足 2 - ≤ 0 , - 3 + 5 ≥ 0 ,则 z=x+y-2 的最大值为 . 答案:1 解析:作出可行域,如图所示的阴影部分, 由图知,目标函数 z=x+y-2 在点 A 处取最大值.又 A(1,2),∴zmax=1+2-2=1. 9.设 z=2y-2x+4,式中 x,y 满足 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2 , 2 - ≥ 1 , 求 z 的最大值和最小值. 解:作出满足条件 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2 , 2 - ≥ 1 的可行域如图: 作直线 l:2y-2x=t,当 l 过点 A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8. 当 l 过点 B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4. 所以,z 的最大值为 8,最小值为 4. 10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 min 的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/min 和 200 元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的 每分钟广告,能给公司带来的收益分别是 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台 的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是 x min,y min,总收益为 z 万元,由题意得: + ≤ 300 , 500 + 200 ≤ 90 000 , ≥ 0 , ≥ 0 , 目标函数为 z=3 000x+2 000y. 作出二元一次不等式组 + ≤ 300 , 5 + 2 ≤ 900 , ≥ 0 , ≥ 0 所表示的区域,即可行域,如图: 作直线 l,即 3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0.平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数 取得最大值. 由 + = 300 , 5 + 2 = 900 ,解得 = 100 , = 200 , 即 M(100,200). 则 zmax=3 000x+2 000y=700 000(元), 即该公司在甲电视台做 100 min 广告,在乙电视台做 200 min 广告,公司收益最大,最大收益是 70 万元.