高中数学第二章几个重要的不等式3_1数学归纳法学案北师大版选修4-51

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高中数学第二章几个重要的不等式3_1数学归纳法学案北师大版选修4-51

3.1 数学归纳法 1.了解数学归纳法,理解数学归纳法的原理和实质. 2.掌握用数学归纳法解证明题的两个步骤,并能灵活应用. 对数学归纳法的理解 (1)数学归纳法原理: 数学归纳法原理是设有一个关于________的命题,若当 n 取__________时该命题成立, 又在假设当 n 取__________时该命题成立后可以推出 n 取__________时该命题成立,则该命 题对一切自然数________都成立. (2)数学归纳法: 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题.证明需要经过两个步骤: ①验证当 n 取______________(如 n0=1 或 2 等)时命题正确. ②假设当__________时(k∈N+,k≥n0)命题正确,证明当________时命题也正确.在完 成了上述两个步骤之后,就可以断定命题对于______________都正确. 【做一做 1】在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应检验( ). A.n=1 时成立 B.n=2 时成立 C.n=3 时成立 D.n=4 时成立 【做一做 2】已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1-1 2 +1 3 -1 4 +…+ 1 n-1 -1 n = 2 1 n+2 + 1 n+4 +…+ 1 2n 时,若已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时命题为真,则还需要 用归纳假设再证( ). A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 【做一做 3】用数学归纳法证明 1+1 2 +1 3 +…+ 1 2n-1 <n(n∈N+,且 n>1)时,在证明从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的项数是( ). A.2k B.2k-1 C.2k-1 D.2k+1 答案: (1)正整数 n 第 1 个值 n0 第 k 个值 第 k+1 个值 n≥n0 (2)第一个值 n0 n=k n=k+1 从 n0 开始的所有正整数 【做一做 1】C 多边形中至少有三条边,故应先验证 n=3 时成立. 【做一做 2】B 因为已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时命题为真,接下来应该证明 n =2 k 2 +1 , 即 n=k+2 时命题为真. 而选项中 n=k+1 为奇数,n=2k+2 和 n=2(k+2)均不满足递推关系, 所以只有 n=k+2 满足条件. 【做一做 3】A 1.用数学归纳法证明时注意事项 剖析:(1)n 的取值范围以及递推的起点;(2)观察首末两项的次数(或其他),确定 n=k 时命题的形式 f(k);(3)从 f(k+1)和 f(k)的差异,寻找由 k 到 k+1 的递推中,左边要加(乘) 上的式子. 2.数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题 剖析:这是因为第一步首先验证了 n 取第一个值 n0 时成立,这样假设就有了存在的基 础.假设 k=n0 成立,根据假设和合理推证,证明出 n=k+1 也成立.这实质上是证明了一 种循环.如验证了 n0=1 成立,又证明了 n=k+1 也成立,这就一定有 n=2 成立,n=2 成 立,则 n=3 也成立;n=3 成立,则 n=4 也成立.如此反复,以至无穷.对所有 n≥n0 的整 数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的 神奇. 题型一 用数学归纳法证明恒等问题 【例 1】用数学归纳法证明:n∈N+时, 1 1×3 + 1 3×5 +…+ 1 2n-1 2n+1 = n 2n+1 . 分析:在证明时,要严格按数学归纳法的步骤进行,并要特别注意当 n=k+1 时,等式 两边的式子与 n=k 时等式两边式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项. 反思:在解本题时,由 n=k 到 n=k+1 时,等式的左边增加了一项,这里容易因忽略 而出错. 题型二 用数学归纳法证明整除问题 【例 2】证明:n3+5n(n∈N+)能被 6 整除. 分析:这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,第一步应证明 n=1 时成立, 第二步应明确目标,在假设 k2+5k 能被 6 整除的前提下,证明(k+1)3+5(k+1)也能被 6 整除. 反思:在证明归纳递推时,要注意使用归纳假设,把“证明的目标”牢记在心. 题型三 利用数学归纳法证明几何问题 【例 3】平面内有 n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求 证:这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2-n+2(n∈N+)个部分. 分析:因为 f(n)为 n 个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这 n 个圆相交, 就有 2n 个交点,这些交点将增加的这个圆分成 2n 段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一 分为二,因此,增加一个圆后,平面分成的区域数增加 2n 个,即 f(n+1)=f(n)+2n.有 了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解. 反思:对于几何问题的证明,可以从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出 是怎样变化的,然后再去证明,也可以用“递推”的办法,比如本题,n=k+1 时的结果已 知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用 f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后从有限 的情况来理解如何增加的,也就好理解了. 答案: 【例 1】证明:(1)当 n=1 时,左边= 1 1×3 =1 3 ,右边= 1 2×1+1 =1 3 ,左边=右边, ∴等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥1)时等式成立, 即有 1 1×3 + 1 3×5 +…+ 1 2k-1 2k+1 = k 2k+1 , 则当 n=k+1 时, 1 1×3 + 1 3×5 +…+ 1 2k-1 2k+1 + 1 2k+1 2k+3 = k 2k+1 + 1 2k+1 2k+3 = k 2k+3 +1 2k+1 2k+3 = 2k2+3k+1 2k+1 2k+3 = k+1 2k+3 = k+1 2 k+1 +1 , ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N+,等式都成立. 【例 2】证明:(1)当 n=1 时,n3+5n 显然能被 6 整除,命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥1)时,命题成立,即 k3+5k 能被 6 整除. 则当 n=k+1 时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6 =(k3+5k)+3k(k+1)+6. 由假设知 k3+5k 能够被 6 整除,而 k(k+1)是偶数,故 3k(k+1)能够被 6 整除,从而(k3 +5k)+3k(k+1)+6,即(k+1)3+5(k+1)能够被 6 整除.因此,当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)知,命题对一切正整数成立,即 n3+5n(n∈N+)能被 6 整除. 【例 3】证明:(1)当 n=1 时,一个圆将平面分成两个部分,且 f(1)=1-1+2=2,所 以 n=1 时命题成立. (2)假设 n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即 k 个圆把平面分成 f(k)=k2-k+2 个部分, 则 n=k+1 时,在 k+1 个圆中任取一个圆 O,剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分, 而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点,这 2k 个交点将圆 O 分成 2k 段弧,每段弧将原平面一分为二, 故得 f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. ∴当 n=k+1 时,命题成立. 综合(1)(2)可知,对一切 n∈N+命题成立. 1 用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n >13 24 (n≥2)的过程中,由 n=k 递推到 n =k+1 时不等式左边( ). A.增加了一项 1 2 k+1 B.增加了两项 1 2k+1 和 1 2k+2 C.增加了 B 中的两项但减少了一项 1 k+1 D.以上均不正确 2 在用数学归纳法证明不等式“1+1 2 +1 4 +…+ 1 2n-1>127 64 成立”时,n 的第一个值应为 ( ). A.7 B.8 C.9 D.10 3 在数列{an}中,a1=1 3 ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为 __________. 4 证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)=1 2 n(n-3)(n≥4). 答案: 1.C n=k 时,左边= 1 k+1 + 1 k+2 +…+ 1 k+k .① n=k+1 时,左边= 1 k+1+1 + 1 k+1+2 +…+ 1 k+k + 1 k+1+k + 1 2 k+1 .② 观察比较①②两式,可发现增加的项是 1 2k+1 + 1 2k+2 - 1 k+1 ,故选 C. 2.B 左边= 1- 1 2 n 1-1 2 =2- 1 2 n-1, 若 2- 1 2 n-1>127 64 成立,解得 n>7. 3 . 1 4n2-1 由 a1 = 1 3 , 且 Sn = n(2n - 1)an , 得 a2 = 1 15 , a3 = 1 35 , a4 = 1 63 . 由 1×3,3×5,5×7,7×9,…,可得 an= 1 2n-1 2n+1 = 1 4n2-1 . 4.证明:(1)n=4 时,f(4)=1 2 ×4×(4-3)=2,四边形有两条对角线,命题成立. (2)假设 n=k(k≥4,k∈N+)时命题成立,即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)=1 2 k(k- 3)(k≥4). 则当 n=k+1 时,凸(k+1)边形是在 k 边形的基础上增加了一边,增加了一个顶点 Ak+1, 增加的对角线条数是顶点 Ak+1 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角 线条数为(k+1-3)+1=k-1, 则 f(k+1)=1 2 k(k-3)+k-1=1 2 (k2-k-2)=1 2 (k+1)(k-2)=1 2 (k+1)[(k+1)-3]. 由(1)、(2),可知对于 n≥4,n∈N+命题成立.
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