- 2021-04-21 发布 |
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文档介绍
高中数学(人教版a版选修2-1)配套课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 章末总结 word版含答案
章末总结 知识点一 圆锥曲线的定义和性质 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重 要的解题策略;应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合思想、方程思想结合起来.总 之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为左、右焦点,P 为双曲线上一 点,且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12 3,求双曲线的标准方程. 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系:相交、相切、相离. 在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况,即直线与其交于一点和切于一点, 二者在几何意义上是截然不同的,反映在代数方程上也是完全不同的,这在解题中既是 一个难点也是一个十分容易被忽视的地方.圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲 线的两个交点无限靠近时的极限情况,反映在消元后的方程上,就是一元二次方程有两 个相等的实数根,即判别式等于零;而与圆锥曲线有一个交点的直线,是一种特殊的情 况(抛物线中与对称轴平行,双曲线中与渐近线平行),反映在消元后的方程上,该方程是 一次的. 例 2 如图所示,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1,y1), N(x2,y2)两点. (1)求 x1x2 与 y1y2 的值; (2)求证:OM⊥ON. 知识点三 轨迹问题 轨迹是解析几何的基本问题,求解的方法有以下几种: (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求 x、y 之间的关 系式. (2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为 已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式. (3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可 直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (4)参数法:当很难找到形成曲线的动点 P(x,y)的坐标 x,y 所满足的关系式时,借助第 三个变量 t,建立 t 和 x,t 和 y 的关系式 x=φ(t),y=Φ(t),再通过一些条件消掉 t 就间接 地找到了 x 和 y 所满足的方程,从而求出动点 P(x,y)所形成的曲线的普通方程. 例 3 设点 A、B 是抛物线 y2=4px (p>0)上除原点 O 以外的两个动点,已知 OA⊥OB, OM⊥AB,垂足为 M,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线? 知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点, 解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思想是明确的,定点、定值问题 必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、 数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点 或值,就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线 方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 例 4 若直线 l:y=kx+m 与椭圆x2 4 +y2 3 =1 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点), A2 为椭圆的右顶点且 AA2⊥BA2,求证:直线 l 过定点. 知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值、范围问题,是高考热点,主要有以下两种求解策略: (1)平面几何法 平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解. (2)目标函数法 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建 立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值. 例 5 已知 A(4,0),B(2,2)是椭圆x2 25 +y2 9 =1 内的两定点,点 M 是椭圆上的动点,求|MA| +|MB|的最值. 例 6 已知 F1、F2 为椭圆 x2+y2 2 =1 的上、下两个焦点,AB 是过焦点 F1 的一条动弦,求 △ABF2 面积的最大值. 章末总结 重点解读 例 1 解 如图所示,设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0). ∵e=c a =2,∴c=2a. 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c, 在△PF1F2 中,由余弦定理,得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°), 即 4c2=c2+|PF1||PF2|.① 又 S△PF1F2=12 3, ∴1 2|PF1||PF2|sin 60°=12 3, 即|PF1||PF2|=48.② 由①②,得 c2=16,c=4,则 a=2,b2=c2-a2=12, ∴所求的双曲线方程为x2 4 -y2 12 =1. 例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为:y=k(x-2). 把 y=k(x-2)代入 y2=2x, 消去 y 得 k2x2-(4k2+2)x+4k2=0, 由于直线与抛物线交于不同两点, 故 k2≠0 且Δ=(4k2+2)2-16k4=16k2+4>0, x1x2=4,x1+x2=4+ 2 k2 , ∵M、N 两点在抛物线上,∴y21·y22=4x1·x2=16, 而 y1·y2<0,∴y1y2=-4. 例 3 解 设直线 OA 的方程为 y=kx (k≠±1,因为当 k=±1 时,直线 AB 的斜率不存 在),则直线 OB 的方程为 y=-x k ,进而可求 A 4p k2 ,4p k 、 B(4pk2,-4pk). 于是直线 AB 的斜率为 kAB= k 1-k2 , 从而 kOM=k2-1 k , ∴直线 OM 的方程为 y=k2-1 k x,① 直线 AB 的方程为 y+4pk= -k k2-1 (x-4pk2).② 将①②相乘,得 y2+4pky=-x(x-4pk2), 即 x2+y2=-4pky+4pk2x=4p(k2x-ky),③ 又 k2x-ky=x,代入③式并化简, 得(x-2p)2+y2=4p2. 当 k=±1 时,易求得直线 AB 的方程为 x=4p. 故此时点 M 的坐标为(4p,0),也在(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0)上. ∴点 M 的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2 (x≠0), ∴其轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为 2p 的圆,去掉坐标原点. 例 4 证明 设 A(x1,y1), B(x2,y2), 联立 y=kx+m, x2 4 +y2 3 =1, 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, 则 Δ=64m2k2-163+4k2m2-3>0, x1+x2=- 8mk 3+4k2 , x1x2=4m2-3 3+4k2 . 即 3+4k2-m2>0, x1+x2=- 8mk 3+4k2 , x1x2=4m2-3 3+4k2 . 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 =3m2-4k2 3+4k2 . ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0. ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. ∴3m2-4k2 3+4k2 +4m2-3 3+4k2 + 16mk 3+4k2 +4=0. ∴7m2+16km+4k2=0, 解得 m1=-2k,m2=-2k 7 , 且均满足 3+4k2-m2>0. 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2), 直线过定点(2,0),与已知矛盾. 当 m2=-2k 7 时,l 的方程为 y=k x-2 7 ,直线过定点 2 7 ,0 , ∴直线 l 过定点. 例 5 解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点,设 A′为椭圆的左 焦点,则 A′(-4,0),由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10. 如图所示,则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB|-|MA′|=10+|MB|-|MA′|≤10+ |A′B|. 当点 M 在 BA′的延长线上时取等号. 所以当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时, (|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2 10. 又如图所示,|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|-|MA′|+|MB| =10-(|MA′|-|MB|) ≥10-|A′B|, 当 M 在 A′B 的延长线上时取等号. 所以当 M 为射线 A′B 与椭圆的交点时, (|MA|+|MB|)min=10-|A′B|=10-2 10. 例 6 解 由题意,|F1F2|=2. 设直线 AB 方程为 y=kx+1, 代入椭圆方程 2x2+y2=2, 得(k2+2)x2+2kx-1=0, 则 xA+xB=- 2k k2+2 ,xA·xB=- 1 k2+2 , ∴|xA-xB|= 8k2+1 k2+2 . S△ABF2=1 2|F1F2|·|xA-xB|=2 2× k2+1 k2+2 =2 2× 1 k2+1+ 1 k2+1 ≤2 2×1 2 = 2. 当 k2+1= 1 k2+1 ,即 k=0 时, S△ABF2 有最大面积为 2.查看更多